Астахов Механика. Конспект лекций 2011
.pdf§15. Механическая энергия
Кинетическая энергия м.т. K — СФВ, равная половине произведения массы m м.т. на квадрат модуля v ее скорости:
K = |
mv2 |
. |
(15.1) |
|
2 |
||||
|
|
|
Кинетическая энергия, обусловленная движением м.т., зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:
K≥ 0. |
(15.2) |
Единица кинетической энергии — джоуль: [К] = Дж. Теорема о кинетической энергии — приращение кинетической
энергии м.т. равно работе равнодействующей силы Aр:
K = Aр. |
(15.3) |
Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ Аi всех сил Fi (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:
n |
|
Ар = ∑Аi . |
(15.4) |
i=1
Модуль скорости материальной точки: при Aр > 0 — увеличивается; при Aр < 0 — уменьшается; при Aр = 0 — не изменяется.
Кинетическая энергия системы м.т. Kс равна сумме кинети-
ческих энергий Кi всех n м.т., принадлежащих данной системе:
n |
n |
2 |
|
|
|
Кс = ∑Кi = ∑ |
mi vi |
, |
(15.5) |
||
2 |
|||||
i=1 |
i=1 |
|
|
||
где mi и vi — масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.
Приращение кинетической энергии системы м.т. равно сумме работ Арi всех равнодействующих сил, приложенным к i-м материальным точкам системы:
n |
|
Кс = ∑Арi . |
(15.6) |
i=1
61
Потенциальная энергия П — СФВ, являющаяся функцией взаимного расположения взаимодействующих материальных точек системы (частей тела).
Единица потенциальной энергии — джоуль: [П] = Дж. Теорема о потенциальной энергии — убыль потенциальной
энергии системы материальных точек (тела) равна работе консер-
вативных сил:
− П = Пн − Пк = Aк.сл. |
(15.7) |
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Потенциальная энергия м.т. в какой-либо точке потенциального поля может быть определена через работу консервативных сил этого поля при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:
П = Aк.сл. |
(15.8) |
Потенциальная энергия упругодеформированной пружины
Пупр = |
кx |
2 |
+ C, |
(15.9) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
П |
a) |
где х — смещение незакрепленного конца |
|||
|
б) |
пружины; к — жесткость пружины, С — |
|||
|
произвольная постоянная (выбирается из |
||||
|
в) |
условия удобства решения задачи). |
|
||
|
|
Графики Пупр(х) при различных посто- |
|||
О |
|
янных: а) С > 0; б) С = 0; в) С< 0 парабо- |
|||
x |
лы (рис.15.1). |
|
|
|
|
|
|
При условии Пупр(0) = 0, С = 0 и тогда |
|||
Рис. 15.1 |
|
Пупр = |
кx |
2 |
(15.10) |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия м.т. в однородном поле сил тяжести
Птяж = mgh + C, |
(15.11) |
где m — масса; h — высота м.т. над поверхностью Земли (или
62
глубина под поверхностью Земли, при этом h < 0); С — про- |
||||||
извольная постоянная. |
|
|
|
|
||
Графики Птяж(h) при различных постоянных: а) С > 0; б) С = 0; |
||||||
в) С = − mgh0 прямые линии |
|
|
|
|||
(рис.15.2). |
|
|
|
П |
a) |
|
При условии Птяж(0) = 0, С = 0 |
|
|||||
и тогда |
|
|
|
|
б) |
|
|
Птяж = mgh. |
(15.12) |
|
|||
Потенциальная энергия гра- |
О |
в) |
||||
|
|
|||||
витационного |
взаимодействия |
h0 |
h |
|
||
двух материальных точек: |
|
|
|
|||
Пгр = −G Mm + C, |
(15.13) |
Рис. 15.2 |
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
где G — гравитационная постоянная, М и m — массы взаимодей- |
||||||
ствующих м.т., r — расстояние между ними, С — произвольная |
||||||
постоянная. |
|
|
|
|
|
|
Равенство (15.13) справедливо и для случаев а) и б), приведен- |
||||||
ных в законе всемирного тяготения (12.1). Если в случае б) одним |
||||||
из тел является |
планета, |
например Земля, тогда r не может быть |
||||
меньше радиуса Земли RЗ. |
|
|
|
|
||
Графики зависимости Пгр(r) для системы, состоящей из Земли |
||||||
и материальной точки, при различ- |
П |
|
|
|||
ных постоянных: а) С = 0; б) С = |
|
|
||||
= Mзm/Rз |
участки |
гипербол |
|
б) |
|
|
(рис.15.3). |
|
|
|
Rз |
|
|
При условии Пгр(∞) = 0, С = 0 и |
|
r |
||||
тогда |
|
|
|
О |
a) |
|
|
Пгр = −G Mзm , |
|
|
|
||
|
(15.14) |
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
где r — расстояние от центра Земли |
Рис. 15.3 |
|
|
|||
до материальной точки (Rз ≤ r < ∞). |
|
|
|
|||
Механическая энергия м.т. (системы м.т.) E — СФВ, равная |
||||||
сумме кинетической и потенциальной энергий м.т. (системы м.т.): |
||||||
63
E = K + П. |
(15.15) |
Единица механической энергии — джоуль: [Е] = Дж. Приращение механической энергии м.т. (системы м.т.) E
равно сумме приращений кинетической и потенциальной энергий м.т. (системы м.т.):
E = K + П. |
(15.16) |
Замкнутая консервативная система м.т. (з.к.с) — замкнутая система м.т., в которой действуют только консервативные силы.
Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется с течением времени при движении материальных точек системы:
Eз.к.с = const. |
(15.17) |
Уравнению (15.17) эквивалентно уравнение:
Eз.к.с = 0. |
(15.18) |
Замкнутая (неконсервативная) система м.т. (з.с) — замкну-
тая система м.т., в которой наряду с консервативными действуют неконсервативные силы.
Полная энергия системы м.т. W — СФВ, равная сумме внут-
ренней U (сумма кинетической и потенциальной энергий молекул тел) и механической энергии E м.т.:
W = U + E. |
(15.19) |
Закон сохранения полной энергии
Полная энергия замкнутой (неконсервативной) системы м.т.
не изменяется с течением времени при движении материальных точек системы:
Wз.с = const. |
(15.20) |
Уравнению (15.20) эквивалентно уравнение: |
|
Wз.с = 0. |
(15.21) |
Приращение внутренней энергии замкнутой (неконсерватив-
64
ной) системы м.т. равно убыли их механической энергии:
Uз.с = − Eз.с. |
(15.22) |
Приращение механической энергии замкнутой (неконсерва-
тивной) системы м.т. равно работе внутренних неконсервативных сил:
Eз.с = Aвнутр.нк.сл. |
(15.23) |
Незамкнутая (неконсервативная) система м.т.(нз.с.) — не-
замкнутая система м.т., в которой действуют как консервативные, так и неконсервативные силы (внутренние и внешние вместе или по отдельности).
Механическая энергия незамкнутой (неконсервативной) системы м.т.
Eнз.с = Kс + Пс + Пвнеш, |
(15.24) |
где Kс кинетическая энергия системы, Пс потенциальная энергия системы, Пвнеш потенциальная энергия системы во внешнем потенциальном поле.
Приращение механической энергии незамкнутой (некон-
сервативной) системы м.т. равно работе внутренних и внешних неконсервативных сил:
Eнз.с = Aнк.сл = Aвнутр.нк.сл + Aвнеш.нк.сл. |
(15.25) |
Столкновение однородных шаров Центральный удар однородных шаров — удар, при котором
скорости шаров направлены вдоль прямой линии, проходящей через их центры.
Абсолютно упругий удар шаров — удар, при котором механи-
ческая энергия шаров не изменяется.
Скорости однородных шаров после их абсолютно упругого центрального удара, определенные с использованием законов сохранения импульса и механической энергии системы, равны:
v |
= |
|
1 |
|
|
|
m |
− m |
2 ) |
v |
+ 2m |
|
v |
, |
(15.26) |
m + m |
|
|
|
||||||||||||
1к |
|
|
( |
1 |
|
1н |
|
2 |
|
2н |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
v |
|
= |
|
1 |
|
|
|
m |
|
− m |
v |
|
+ 2m v , |
(15.27) |
|
m + m |
|
|
|
|
|||||||||
|
2к |
|
|
( |
|
2 |
1 ) |
|
2н |
1 1н |
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где v1н и v2н — скорости шаров массой m1 и m2, соответственно, до удара, v1к и v2к — скорости этих шаров после удара.
В случае если масса одного шара (например, первого) много меньше массы другого шара (m1 << m2) и начальная скорость второго шара равна нулю, то скорость первого шара изменяется по направлению, практически не изменяясь по модулю:
v1к = −v1н, |
(15.28) |
если начальная скорость второго шара не равна нулю, то |
|
v1к = −v1н +2v2н. |
(15.29) |
Абсолютно неупругий удар шаров — удар, при котором силы взаимодействия между шарами являются неконсервативными.
После абсолютно неупругого центрального удара шары движутся со скоростью, равной скорости центра масс шаров до удара:
|
1 |
|
(m1v1н + m2 v2н ). |
|
|
vк = |
|
|
|
(15.30) |
|
|
+ m2 |
||||
m1 |
|
|
|
||
где m1 и m2 — массы шаров, v1н и v2н — их скорости, соответственно, до удара.
Механическая энергия системы не сохраняется и частично или полностью переходит во внутреннюю энергию шаров. Например, при абсолютно неупругом центральном ударе двух шаров, начальные импульсы которых равны по модулю, но противоположны, вся механическая энергия превращается во внутреннюю энергию шаров (их скорость после удара равна нулю).
Приращение механической энергии системы при абсолютно
неупругом центральном ударе двух шаров |
|
|
|
|
||||||
E = − |
|
m1m2 |
|
|
(v |
− v |
|
)2 |
< 0. |
(15.31) |
2 |
(m + m |
|
) |
|
||||||
|
2 |
1н |
|
2н |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
66
§16. Момент силы и момент импульса
Момент силы относительно точки Мт — ВФВ, равная век-
торному произведению (приложение 5) радиус-вектора r, начало которого находится в данной точке О, а конец — в точке приложения силы, на силу F:
|
|
Mт = [r,F]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.1) |
Момент силы Мт относительно точки О перпендикулярен |
|||||||||||
плоскости, в которой находятся век- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
торы r и F (рис.16.1), причем векторы |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||
Мт, r и F образуют правую тройку |
|
|
|
|
Mт |
|
|||||
векторов: поворот вектора r (который |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стоит на первом месте в векторном |
О |
|
|
|
|
|
|
F |
|||
произведении) к вектору F (векторы r |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и F должны быть совмещены своими |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
α |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
началами), приводящий к уменьше- |
A′ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нию угла α между этими векторами, |
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||
виден со стороны конца вектора Мт |
Рис. 16.1 |
|
|||||||||
происходящим |
против |
часовой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль момента силы относительно точки |
|
||||||||||
|
|
Mт = rFsinα = Fd, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.2) |
где α — угол между r и F, d — плечо силы относительно точки О, равное длине перпендикуляра (см. рис.16.1), опущенного из этой точки на линию действия силы.
Момент силы относительно оси M — проекция момента силы относительно точки на данную ось, проходящую через эту точку.
Если момент силы относительно точки Мт и ось имеют одинаковые направления, то момент силы относительно оси положителен:
М = Мт; |
(16.3) |
если момент силы относительно точки Мт и ось направлены в противоположные стороны, то момент силы относительно оси отрицателен:
М = −Мт. |
(16.4) |
67
Момент импульса м.т. относительно точки Lт — ВФВ, рав-
ная векторному произведению радиус-вектора r, начало которого находится в данной точке О, а конец — в точке нахождения м.т., и импульса p этой материальной точки:
|
|
|
|
|
Lт = [r,p] = [r,mv]. |
(16.5) |
||
|
|
Модуль момента импульса м.т. относительно точки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Lт = rpsinα = pd, |
(16.6) |
|
|
|
L |
|
где α — угол между векторами r и p, d — |
||||
|
|
|
|
|
плечо импульса относительно точки О, рав- |
|||
О |
|
|
|
p |
ное длине перпендикуляра, опущенного из |
|||
|
|
r |
этой точки на прямую, на которой находится |
|||||
|
||||||||
|
|
|||||||
|
|
|
α |
импульс м.т. (рис.16.2). |
|
|||
|
|
|
d |
В инерциальной системе отсчета (ИСО) |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
скорость изменения момента импульса ма- |
|||
|
|
|
Рис.16.2 |
|
териальной точки относительно |
некоторой |
||
|
|
|
|
|
точки равна моменту равнодействующей |
|||
сил, приложенных к м.т., относительно этой же точки: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dLт |
= Mт , |
(16.7) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
где Mт может быть представлен также в виде суммы моментов всех n сил, приложенных к данной м.т., относительно выбранной точки:
n |
|
Mт = ∑Mтi . |
(16.8) |
i=n
Момент импульса системы материальных точек относи-
тельно точки Lc — ВФВ, равная сумме моментов импульса относительно этой точки всех материальных точек, принадлежащих данной системе:
n |
|
Lс = ∑Lтi . |
(16.9) |
i=n
В инерциальной системе отсчета (ИСО) скорость изменения
68
момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил, приложенных к каждой материальной точке:
dLc |
n |
|
|
= ∑Mi внеш = Mвнеш , |
(16.10) |
||
|
|||
dt i=1 |
|
||
где Mвнеш — суммарный момент внешних сил, приложенных к материальным точкам данной системы.
Закон сохранения момента импульса
Момент импульса замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется:
Lз.с = const. |
(16.11) |
Условие сохранения момента импульса незамкнутой системы материальных точек
Момент импульса незамкнутой системы м.т. с течением времени не изменяется, если сумма моментов всех внешних сил, приложенных к материальным точкам системы, равна нулю:
L.с = const при Mвнеш = 0. |
(16.12) |
Из последнего выражения следует, что момент импульса движущейся свободной м.т. относительно какой-либо точки – величина постоянная.
69
ТЕМА 4. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Статика твердого тела — раздел механики, в котором изучается равновесие твердых тел.
Равновесие тела — состояние покоя в какой-либо инерциальной системе отсчета.
Твердое тело может быть представлено как система взаимодействующих материальных точек.
Абсолютно твердое тело (АТТ) — тело, деформация которого мала настолько, что ею в данной задаче можно пренебречь.
Для абсолютно твердого тела сила является скользящим вектором — точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.
§17. Равновесие и центр тяжести твердых тел
Пусть к абсолютно твердому телу приложены силы, лежащие в одной плоскости (на рис.17.1 в плоскости листа), перпендикулярной оси вращения ОО′ (показана на рисунке в виде точки О).
Момент силы, приложенной к абсолютно твердому телу, от-
|
|
|
носительно оси вращения |
вели- |
F3 |
F |
|
чина, равная взятому со |
знаком |
|
|
|
плюс или минус произведению мо- |
|
d |
|
|
дуля силы на плечо этой силы отно- |
|
|
|
сительно оси: |
|
|
|
|
F1 |
|
|
O |
|
M = ±Fd, |
(17.1) |
|
|
|
|||
F2 |
|
|
где F модуль силы, d плечо |
|
Рис.17.1 |
|
|
силы, равное кратчайшему расстоя- |
|
|
|
|
нию от оси вращения до линии дей- |
|
ствия силы (длине перпендикуляра, опущенного из т.О на линию действия силы); моменты сил, стремящиеся вращать (или вращающие) тело в противоположные стороны, имеют разные знаки: можно принять, что момент силы относительно оси положителен (отрицателен), если сила может вращать тело вокруг оси против часовой стрелки, и отрицателен (положителен), если сила может вращать тело по часовой стрелке.
70