Астахов Механика. Конспект лекций 2011
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
М. М. Астахов
МЕХАНИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Для физико-математического лицея
Издание 4-е, с изменениями и дополнениями
Москва 2011
УДК 531(075) ББК 22.251я7 А91
Астахов М. М. Механика. Конспект лекций. Изд. 4-е, с изм. и доп. Уч. пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011.-104 с.
Содержит теоретический материал, включающий в себя основные положения, определения и законы механики в соответствии с программой по физике 10 класса физико-математического лицея при МИФИ. В приложении даны необходимые математические определения и формулы.
Пособие предназначено для учеников 10-х классов физикоматематических лицеев и средней школы с углубленным изучением физики и математики.
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7262-1539-6
©Астахов М.М., 1991, 2008, 2011
©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 1991, 2008
©Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2011
ТЕМА 1. КИНЕМАТИКА
Физика наука, в которой изучаются основные (фундаментальные) законы природы.
Механика раздел физики, в котором изучаются законы движения тел или их частей относительно друг друга.
Тело (макроскопическое) совокупность большого числа взаимодействующих между собой микрочастиц атомов, молекул или ионов.
Кинематика раздел механики, в котором изучаются законы движение тел без рассмотрения причин, его вызывающих.
Физический закон формализованная взаимосвязь между различными физическими величинами и их изменениями.
Физическая величина (ФВ) характеристика тел, систем и процессов, которая может быть определена количественно (путем ее измерения).
Физические величины обозначаются в большинстве случаев буквами греческого и латинского алфавитов (приложение 1).
Измерение физической величины — количественное сравнение данной физической величины с однородной величиной, принятой за единицу.
Единица физической величины, например х, обозначается [х]. Значение физической величины представляется в виде некото-
рого числа принятых для нее единиц.
Единицы физических величин, используемые в различных разделах физики, образуют некоторую систему. В Международную систему единиц (СИ) входят семь основных и две дополнительные единицы (приложение 2).
Скалярная физическая величина (СФВ) — физическая величи-
на, значение которой определяется (при принятой единице) одним числом (приложение 4).
Векторная физическая величина (ВФВ) — физическая величи-
на, значение которой определяется (при принятой единице) модулем (абсолютной величиной) и направлением в пространстве.
Задание вектора (приложение 5) в пространстве эквивалентно заданию трех чисел, на плоскости двух чисел.
3
§1. Скорость
Движение тела (механическое) изменение положения тела в пространстве относительно другого тела (других тел) с течением времени.
Для описания движения тела необходима система отсчета. Система отсчета система, состоящая из тела отсчета, свя-
занной с ним системы координат (приложение 3) и счетчика времени (например, часов).
Время t СФВ, служащая для определения последовательности событий и длительности процессов.
Единица времени секунда: [ t ] = с.
Промежуток времени t СФВ, равная разности между конечным (tк) и начальным (tн) моментами времени:
t = tк − tн . |
(1.1) |
Промежуток времени является приращением (изменением) |
|
времени (приложение 4). |
|
Промежуток времени величина положительная. |
|
t > 0. |
(1.2) |
Материальная точка (м.т.) тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче.
Траектория линия, образованная совокупностью точек пространства, последовательно проходимых движущейся материальной точкой.
Траектории подразделяются на прямолинейные и криволинейные. Траектория и ее вид зависят от системы отсчета.
Кинематическое уравнение (закон) движения м.т. зависи-
мость радиус-вектора (приложение 5) м.т. от времени:
r = r(t), |
(1.3) |
или эквивалентная ей система зависимостей координат материальной точки от времени:
4
x = x(t), |
|
y |
|
|
|
|
(1.4) |
|
|
|
|
y = y(t), |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z(t). |
|
|
|
|
|
На рис.1.1 показана траекто- |
rн |
l, |
r |
К |
|
|
|
rк |
|||
рия м.т. (при ее движении в одной |
|
|
|||
плоскости), являющаяся |
графиком |
|
|
|
|
зависимости y(х), которая может |
O |
|
|
x |
|
быть получена исключением време- |
|
Рис. 1.1 |
|
||
ни из зависимостей x(t) и y(t). |
|
|
|
|
|
Длина пути (путь) S СФВ, равная длине траектории от на- |
|||||
чального положения (t = tн) до конечного (t = tк) положения матери- |
|||||
альной точки. |
|
|
|
|
|
Путь величина неотрицательная: |
|
|
|
||
S(t)≥ 0, |
(1.5) |
и неубывающая: |
|
S(t + t) ≥S(t). |
(1.6) |
На показанной траектории (см. рис.1.1) путь м.т. за промежуток времени t равен длине линии НК.
Перемещение l вектор, начало и конец которого совпадают с начальным (t = tн) и конечным (t = tк) положениями м.т. соответственно.
Перемещение равно приращению радиус-вектора м.т.:
l = r = rк − rн , |
(1.7) |
где rк и rн радиус-векторы конечного и начального положений м.т. соответственно (см. рис.1.1).
Единица пути и перемещения — метр: [S] = [l] = м.
Средняя путевая скорость <vs> СФВ, равная отношению пути S к промежутку времени t, за который пройден этот путь:
vs = |
S . |
(1.8) |
|
t |
|
5
Если известны пути Si (рис.1.2) и соответствующие им промежутки времени ti (i = 1,2,...,n) такие, что выполняются равенства:
S = ( |
|
|
|
n |
|
S1 |
+ |
S2 + ... + |
Sn )= ∑ Si , |
(1.9) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
t = ( |
|
|
|
n |
|
t1 |
+ |
t2 + ... + |
tn )= ∑ ti , |
(1.10) |
i=1
n
(знак ∑ означает сумму n слагаемых, см. приложение 4), то сред-
i=1
няя путевая скорость за весь промежуток времени t может быть найдена по формуле:
y |
|
|
Si |
|
ri |
<v> |
r |
|
|
Рис. 1.2 |
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑ Si |
|
|
|
v |
= |
i=1 |
. |
(1.11) |
|
n |
|||||
s |
|
|
|
||
|
|
∑ ti |
|
|
i=1
Путевая скорость (мгновен-
ная) vs СФВ, равная пределу отношения пути S к промежутку времени t, за который этот путь был пройден, при бесконечном уменьшении промежутка времени:
vs = lim |
S |
= |
dS |
(1.12) |
|
t |
dt |
||||
t→0 |
|
|
( dSdt производная пути по времени, см. приложение 4).
Средняя скорость <v> ВФВ, равная отношению перемещения r к промежутку времени t, за который это перемещение произошло:
v = |
r . |
(1.13) |
|
t |
|
|
6 |
|
Направление средней скорости за некоторый промежуток времени t совпадает с направлением перемещения м.т. за этот же промежуток времени (см. рис.1.2).
Если известны перемещения ri (см. рис.1.2) за соответствующие им промежутки времени ti (i = 1,2,...,n) такие, что выполняются следующие равенства:
r = ( |
|
|
|
n |
|
r1 |
+ |
r2 + ... + |
rn )= ∑ ri , |
(1.14) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
t = ( |
|
|
|
n |
|
t1 |
+ |
t2 + ... + |
tn )= ∑ ti , |
(1.15) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
то средняя скорость за промежуток времени |
t может быть найдена |
||
по формуле: |
|
|
|
|
n |
|
|
v = |
∑ ri |
|
|
i=1 |
|
(1.16) |
|
n |
|||
|
∑ ti |
|
|
i=1
Скорость (мгновенная) v ВФВ, равная пределу отношения перемещения r к промежутку времени t, за который это перемещение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:
v = lim |
r |
= |
dr |
|
t |
dt |
|||
t→0 |
|
( |
dr |
|
производная радиус-векто- |
y |
dt |
|
ра материальной точки по времени, которая может обозначаться также как r ).
Скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (на рис.1.3 — в т.Н).
Единица скорости метр в O
секунду: [v] = м/с.
(1.17)
v
ri ( t→0)
Н
<vi>
x
7
Соотношение между скоростями |
|
Путевая скорость равна модулю скорости: |
|
vs = v. |
(1.18) |
Средняя путевая скорость равна среднему значению модуля скорости:
vs = v . |
(1.19) |
Скорость м.т. связана со средней скоростью равенством (6.7), а ее модуль со средней путевой скоростью — равенством (6.6).
§2. Равномерное движение
Равномерное движение движение, при котором за любые
равные промежутки времени ( |
ti = const) пути материальной точки |
|
одинаковы ( Si = const). |
|
|
Это движение с постоянной путевой скоростью: |
|
|
vs |
= const, |
(2.1) |
при этом траектория может быть как прямолинейной, так и криволинейной.
v |
|
|
|
|
vn |
|
|
|
|
v1 |
|
vi |
Sn |
|
|
S1 |
|
||
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
tнi |
tкi |
t |
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
При равномерном движении:
путевая скорость
vs = vs , |
(2.2) |
путь (зависимость от времени)
S = v t. |
(2.3) |
Пусть имеется n участков равномерного движения, на каждом из которых скорость может быть от-
личной от скорости на любом другом участке.
Путь Si за промежуток времени ti в системе координат vОt равен площади (выраженной в единицах пути) прямоугольника (на рис.2.1 i = 1,2,3), ограниченного графиком vi(t), осью времени от начального (tнi) до конечного (tкi) моментов времени и отрезками
8
прямых t = tнi и t = tкi.
Зависимость пути от времени на i-м участке имеет следующий
вид:
Si = SHi + vi (t − tHi ), (2.4)
где Sнi путь м.т. в момент време-
ни tнi (он равен Sк(i-1)), vi модуль скорости в промежутке времени ti, причем на первом промежутке при
Sн1 = 0 и tн1 = 0
S1 = v1t. |
(2.5) |
S 
Sкn
Sкi
Sнi
О |
tнi |
tкi tкn t |
График зависимости S(t) пред-
ставляет собой линию, исходящую из начала координат и состоящую из n (на рис.2.2 n = 3) отрезков прямых. Тангенс угла наклона i-го отрезка прямой к оси времени пропорционален (кгр коэффициент пропорциональности) модулю i-й скорости:
tgαi = кгрvi, |
(2.6) |
и чем больше модуль скорости, тем больше этот угол.
Средняя путевая скорость при таком движении на всем пути может быть найдена из равенства:
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑vi |
ti |
|
|
v |
= |
i=1 |
|
, |
(2.7) |
n |
|
||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
∑ ti |
|
||
i=1
где vi модуль скорости на i-м участке траектории в течение соответствующего промежутка времени ti.
Равномерное прямолинейное движение движение, при кото-
ром за любые равные промежутки времени ( ti = const) перемещения материальной точки одинаковы ( ri = const).
Это движение с постоянной скоростью:
v = const. |
(2.8) |
9
При равномерном прямолинейном движении: |
|
|
средняя скорость |
|
|
<v> = v, |
|
(2.9) |
перемещение |
|
|
r = v t, |
|
(2.10) |
радиус-вектор |
|
|
r = rн + v |
t, |
(2.11) |
координата |
|
|
x = xн + vx |
t, |
(2.12) |
где хн — начальная координата, vx — проекция скорости на ось Ох,
путь
S = Sн + v t. |
(2.13) |
Если tн = 0, то t = t и, например, зависимость радиус-вектора от времени принимает следующий вид:
r = rн + vt. |
(2.14) |
Зависимость у(х) при прямолинейном равномерном движении
(в плоскости хОy) является линейной функцией и при vx ≠ 0
|
v |
y |
|
|
v |
y |
|
(2.15) |
y = yн − |
|
xн |
+ |
|
x. |
|||
vx |
|
|
||||||
|
|
|
vx |
|
||||
График зависимости у(х) прямая линия (рис.2.3), угол наклона которой к оси Ох определяется отношением проекций скорости на оси Oy и Оx.
y |
|
|
|
|
v |
|
rн |
rк |
|
|
|
О |
|
x |
|
|
Рис. 2.3 |
Приращение координаты м.т. по оси Ох за промежуток времени t при прямолинейном равномерном движении
x = vx t. |
(2.16) |
Приращение координаты хi (в системе координат vхОt) за промежуток времени ti равно площади (в единицах перемещения) прямоуголь-
10