- •24. Комплексные числа и операции над ними.
- •25. Алгебраические многочлены и их корни.
- •27. Формулы Виета
- •26. Осн теорема алгебры и ее следствие. Теорема о кратности корней алгебраич многочлена.
- •28. Нод. Алгоритм Евклида.
- •29.Теорема Безу. Схема Горнера.
- •30. Разложение рацион дробей на сумму простейших. Метод неопред коэф-тов.
- •32. Теорема о размерности ядра и образа оператора.
- •31. Линейные операторы и их свойства. Обратный оператор.
- •33. Теорема о ранге оператора.
- •34. Матричная запись оператора. Матрица оператора.
- •36. Характеристический многочлен лин оператора. Собст значение и вектор лин операторов.
- •37. Теорема об условии диагональности матрицы лин оператора.
- •35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •38. О линейной независимости собственных векторов лин оператора, отвечающих различн собств значениям.
- •39. Билинейные формы в Евкл пространстве. Теорема о представлении билинейной формы.
- •42. Теорема о матрице билинейной формы.
- •43. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билин формы.
- •44. Приведение квадратичной формы к канонич виду методом Лагранжа.
- •40. Сопряж операторы в Евклид пространстве. Самосопряж операторы и их свойства.
- •41. Нормы линейн пространства.
- •45. Приведение квадратич формы к канонич виду методом ортогон
- •46. Приведение к канонич виду уравнения кривой 2 порядка. Приведение к канонич виду уравнений поверхности 2 порядка.
46. Приведение к канонич виду уравнения кривой 2 порядка. Приведение к канонич виду уравнений поверхности 2 порядка.
опр. Уравнение кривой 2-го порядка в прямоугольной системе координат ОХУ имеет след вид: а11*(х^2)+а12*х*у+а22*(у^2)+2*b1*x+2*b2y+c=0; ,и с – коэф-ты квадратичной формы.
т-ма. С помощью поворота и параллельного переноса осей координат можно придти к такой системе координат, в которой уравнение кривой имеет канонический вид, т.е. ∑(i от 1 до n)= λ
повороту ОХУ и параллельного переноса.
1 шаг: 11*x^2 – 20*x*y – 4*y^2;
A= (11 -10 (11-λ -10
-10 -4) x=Py; P - ? -10 4- λ ) = 0 => λ1=-9; λ2=16
det [(A- λ*I)x]=0 |20x -10|
|-10 -5x| =0
P= |-2|
|2-11|λ1=-9
(20 -10
-10 5) => (система) 20x -10y=0; -10x+5y=0 => y=2x; x=1, y=2; z(x,y) => |z|=
вектор (1/; 2/). При λ=16 находим 2 столбец
(-5 -10 (х
-10 -10) * у) = (система) -5x-10y=0; -10x-10y=0 => x=-2y=> y=1; x=-2
вектор (-2/ ; 1/)
Р = (1/ 2/ det P = 1; cos φ=-1/;
2/ 1/) sin φ= 2/; φ=arcos 1/
(x| |x’| |1/ -2/| |x’| |1/ x’ -2/ y’|
|y) = P* |y’| = |2/ 1/| * |y’| = |2/ x’ 1/ y’|
(система) x= 11/ x’ – 2/ y’; y=2/ x’ + 1/ y’
λ1 ((x’)^2) + ((y’)^2) = -9 (x’)^2 + 16*(y’)^2
-9 (x’)^2 + 16*(y’)^2 – 36/ x’ + 32/ y’ +1=0
-9 (x’+ 2/)^2 + 16(y’ +1/)^2 +5 = 0
-9 (x’)^2 – 36/ x’ = -9((x’)^2 + 4/ x’) = -9 (x’ +2/)^2 + 9(2/)^2
║перенос; x’+ 2/ = x’’ -9(x’’) + 16 (y’’)^2-=-5
y’ + 1/ = y’’ (x’’)^2/ (5/6) – (y’’)/ (5/6) =1 (гипербола начинается в (/3;0))
Уравнение поверхности 2-го порядка: а11*(x^2)+ a22*(y^2)+a33*(z^2)+2*a12*x*y+ 2*a23*y*z+ 2*b1*x + 2*b2*y + 2*b1*z + c=0
|x| |x’|
|y| = P* |y’| λ1- собств значение А
|z’|
A(x,y,z)= λ1*(x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3* (z’)^2
A= |a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a31 a33| симметр матрица. С помощью паралл переноса,
замены x,y,z на x’, y’, z’ => λ1*(x’’)^2 + λ2*(y’’)^2 + λ3* (z’’)^2=c