- •24. Комплексные числа и операции над ними.
- •25. Алгебраические многочлены и их корни.
- •27. Формулы Виета
- •26. Осн теорема алгебры и ее следствие. Теорема о кратности корней алгебраич многочлена.
- •28. Нод. Алгоритм Евклида.
- •29.Теорема Безу. Схема Горнера.
- •30. Разложение рацион дробей на сумму простейших. Метод неопред коэф-тов.
- •32. Теорема о размерности ядра и образа оператора.
- •31. Линейные операторы и их свойства. Обратный оператор.
- •33. Теорема о ранге оператора.
- •34. Матричная запись оператора. Матрица оператора.
- •36. Характеристический многочлен лин оператора. Собст значение и вектор лин операторов.
- •37. Теорема об условии диагональности матрицы лин оператора.
- •35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •38. О линейной независимости собственных векторов лин оператора, отвечающих различн собств значениям.
- •39. Билинейные формы в Евкл пространстве. Теорема о представлении билинейной формы.
- •42. Теорема о матрице билинейной формы.
- •43. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билин формы.
- •44. Приведение квадратичной формы к канонич виду методом Лагранжа.
- •40. Сопряж операторы в Евклид пространстве. Самосопряж операторы и их свойства.
- •41. Нормы линейн пространства.
- •45. Приведение квадратич формы к канонич виду методом ортогон
- •46. Приведение к канонич виду уравнения кривой 2 порядка. Приведение к канонич виду уравнений поверхности 2 порядка.
32. Теорема о размерности ядра и образа оператора.
А: V → V, ,ker A, im A – линейн подпространства простр-ва L. dim (ker A), dim (im A) – размерности.
теор1. V – линейн пространство, dim V = n, =>dim (im A) + dim (ker A) = n
Док-во: ker A – подпрост-во V => подпространство прост-ваV: V = V1 ker A
dim V1 + dim (ker A) = n, докажем, что dim V1 = dim (im A)
пусть dim V1 -=p, dim(im A) = q, p=q, Ax=y.Пусть ,,k=1,…q
- лин незав: - лин незав => =1,…q => - лин независ.V1 – содержит q линейн независ элементов.
явл-ся прав дробью
Док-во леммы: А = Р(а)/φ(а), φ(а) не = 0 , где Ф(z)=P(z) - A φ(z) (2); Ф(a)=P(a) - A φ(a)=0 => a – корень некоторой кратности k>1 => , где ψ(а) не = 0.
(2) => ,ч.т.д.
Док-во теор1:Сначала применим док-во леммы. P(z)/Q(z), а – корень кратности α для Q(z) => (1). В правой части еще раз применим лемму, а – корень знаменателя указанной прав части кратности (α-к)>0. b – корень кратности β этого знаменателя (по условию теоремы). Продолжая аналогичные рассуждения для всех корней Q(z), получим требуемое разложение в теореме.
Примечание: в данной теореме P(z), Q(z) были многочленами с комплексными коэф-тами.
Случай, когда коэф-ты вещественны: - приведенный алгебраический многочлен,, коэф-ты вещественны.(1)
теор2. Если число а (комплексное) явл-ся корнем алгебраич многочлена с вещественными коэф-тами, то сопряженное число а’ также явл-ся корнем этого многочлена, причем если а – корень кратности λ, а’ – тоже к. кр-ти λ.
Док-во: a=x + iy => a’=x-iy
еслиf(x) многочлен с веществ коэф-тами, то f(z’) явл-ся сопряженной к f(z). . По формуле Муавра
Сравнивая коэф: В1+М=2 В2+N-2M=4 B2+M-2N=1 –B1+B2+N=2. Решив эту систему: В1=2 В2=3 М=0 N=1
[2х3+4х2+х+2]/(х-1)2(х2+х+1) = 2/(x-1) + 3/(x-1)2+1/(x2+x+1)
Теор: прав-ая рац-ая дробь, знам-ль которой имеет вид: Q(x)= (x-b1)1(x-b2)2…(x-bm)m(x2+p1x+q1)1..(x2+pnx+qn)n, разлаг-ся в сумму простейших дробей:
P(x)/Q(x)= B1(1)/(x-b1)+B2(1)/(x-b1)2+…+B1(1)/(x-b1)1+…+ B1(m)/(x-bm)+B2(m)/(x-bm)2+…+Bm(m)/(x-bm)m +[M1(1)x+N1(1)]/ [x2+p1x+q1]+[M2(1)x+N2(1)]/ [x2+p1x+q1]2+..+[M1(1)x+N1(1)]/ [x2+p1x+q1]1+…+[M1(n)x+N1(n)]/ [x2+pnx+qn]+…+ [Mn(n)x+Nn(n)]/[x2+pnx+qn]n – (2).
В этом разлож-ии В1(1)… Bm(m),М1(1)…Mn(n),Nn(n) – некоторые веществ постоянные, часть их которых может =0.
Для конкретного определения этих постоянных – привести (2) к общему знамен-лю, сравнить коэф при одинаковых степенях х в числ-ле.
31. Линейные операторы и их свойства. Обратный оператор.
опр. W1, W2 – произвольные линейные пространства, соответствующих размерностей n и m. Оператором А из V в W наз-ся отображение вида А: V →W
опр. оператор А, действующий V →W, наз-ся линейным, если для любых х1, х2 и λ (чисел) 1) А (х1 + х2) = Ах1 + Ах2 (свойство адитивности) 2) А(λч) = λАч (однородность)
опр. образом линейн оператора А, действующего V →W, наз-ся множество у=Ах.im A = {}.
Сумма операторов и умножение на число.
А: V →W; В: V →W
(А + В)(х) = Ах+Вх
(λ)(А)(х) = λ (Ах); λ
опр. нулевым оператором θ:
утв. если (A^(-1))*A*x=0, то х=0
опр. Говорят, что линейн оператор действует взаимнооднозначноV → V, если 2-м разл элементам х1 не = х2 (из V) → Ах1 не = Ах2. Отображение на: V на V отображает оператор А в этом случае, т.е.
утв. пусть взаимнооднозначное отображение => ө линейно независимые элементы простр-ва V → - лин незав элементыV.
Док-во: -лин независ => => => отсюда вытекает отображение на => -лин незав, ч.т.д.
теор. Чтобы имел обратный оператор А^(-1) необх и дост, чтобы этотоператор А действовал взаимнооднозначноV → V.
Док-во: (необх) пусть сущест-ет А^(-1). Предположим противное, А не явл-ся взаимнооднозначным , т.е. х1 – х2 не = о, но Ах1=Ах2.
Ах1-Ах2 = А(х1-х2)=0 => x1-x2=0 при х1 не = х2 => несоответствие => А – взаимооднозн, ч.т.д.
(достаточн) Пусть А: V → V: осущ-ет взаимноодназн отображение. Надо доказать,ч то сущест-ет А^(-1). => . А^(-1) – лин оператор => обратн оператор (согласно определению).
p=dimV1 => p ≥ q. p>q – противоречие. (докажем, что противоречие). Пусть p>q, - лин незавV1 дополним так, чтобы составило базис вV1. p>q, q – dim (im A) => - линейн незав вV1. => не все =0: => => но -базис V1 => противоречие.
=> p=q => dimV1 = dim (imA) => dim (im A) +dim (ker A) =n
опр. rang A = dim (im A). рангом оператора наз-ся число, равное размерности образа этого оператора.
следствие. Чтобы имелA^(-1) необход и дост, чтобы rang A = dim V = n
док-во: по теор1 dim (imA) + dim (ker A) = n. dim (im A)=n, rang A=n => dim (ker A) =0 => dim (ker A) = 0 => ker – θ => А взаимооднозначно V =>
теор2. Пусть (подпространства), гдеdimV =n. dim V1+dimV2=dimV => V1 = im A, V2 = ker A
Док-во: пусть dim V1 = p; dim V2 = q. -базис V такой,чтобы вV1
A: Ae1=g1, Ae2=g2,,=>=>=> V1= im A = {; Ax=y}
A- линейн, тк А(х+у) = Ах +Ау