26. Осн теорема алгебры и ее следствие. Теорема о кратности корней алгебраич многочлена.
опр.
если
,
тогдаz=а
– корень кратности α, z=b
корень кратности β. Если z=a
корень кратности α => f(z)=((z-a)^α)*φ(z),
где
φ(а)
не =0
теор. Любой алгебраический многочлен в ненулевой степени имеет хотя бы 1 корень.
теор2 (как следствие). любой алгебраич многочлен в n степени имеет точно n корней.
док-во:
есть
хотя бы 1 корень (по теореме)α1
- корень Р(х)=(х- α1)ϕ(х),
где ϕ(х)
многочлен (n-1)
степени
=>
есть α2
–корень
Р(х)= (х- α2)ϕ1(х)
=> Р(х)= (х- α1)(х-
α2)ϕ1(х)
=> Р(х)= (х- α1)(х-
α2)…(х-
αn)
=> многочлен имеет n
корней, ч.т.д.
утв. пусть число а – корень кратности α для f(z), тогда а корень кратности (α-1) для f’(z).
Док-во: f(z) имеет а – корень кратности α => f(z)=((z-a)^ α )ϕ(х), где f(a) не =0 => f’(z)= (α(z-a)^ (α-1) + (z-a)^ α )*ϕ’(х) = ((z-a)^( α-1))*[ αφ’(z) + (z-a) φ’(z)]= ((z- a1)^( α -1))*ϕ1(х); ϕ1(х)=[…]
ϕ1(a)= α ϕ(х) не =0.
f’(x) = ((z- a1)^( α -1))*ϕ1(х) => а корень кратности (α-1),ч.т.д.
теор.
Чтобы число а являлось корнем кратности
α для f(z)
необход и достаточно, чтобы выполнялось:
и
ф-лы Виета дают выраж-е для отношений всех коэфф-в к старшему.
ПР: n=3. p(x)=x3+a1x2+a2x+a3, и пусть 1,2,3 – корни ур-я. x3+a1x2+a2x+a3=(х-1)(х-2)(х-3) =
=х3+(-1-2-3)х2+(12+13+23)х+(-123)
Приравниваем коэфф-ты при одинак степ х:
х2: а1= -(1+2+3),
х: а2=12+13+23 . х0: а3=-123.
теор.
=>
Док-во: f(x)=(x-1) (x-2)(x-3) = (x^2 - 1x - 2x + 12)(x-3) = [(x^2 – x(1 + 2) +12)](x-3) = x^3 – x^2(12) + x12 - 3x^2 - x3(1+2) - 1 23 = x^3 – (x^2)(1+2+3) + x(12+13+23) - 123
=>
:
x1
= - (1+2+3)
= a1;
x2
= 12+
13+
23
= a2;
123.=
a3
28. Нод. Алгоритм Евклида.
опр. НОД 2-х многочленов f(z), φ(z) назөся такой делитель, который делится на любой друой делитель этих многочленов.
Пр. 12=2*2*3; 8=2*2*2 => нод=2
НОД (f(z), φ(z)) -? степень φ(z) < степени f(z) => f(z)= φ(z)*f(z) + r1(z)
степень r(x) < степ φ(z), r1 – остаток. Делим φ(z) на r1(z) => φ(z)=r1(z) * φ(z) + r2(z).
степень r2(z) < степ r1(z) => r1(z) = r2(z) φ2(z)+r3(z)
3. если f(x) дел-ся на j(х) произв-е f(x) на мн-н g(x) тоже дел-ся на j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) f(x)*g(x)= j(х)[y(х)*g(x)]
4. из 2 и 3 если мн-н f1(x)…fк(x) дел-ся на j(х) на j(х) дел-ся и мн-н f1(x)g1(x)…fк(x)gк(x), где g1(x)…gк(x) – произв мног-ны.
5. мн-н f(x) дел-ся на мн-н нулевой степени. Д-во: если f(x)=а0хn+a1xn-1+…an а с –произв число0, т.е. мн-н нулевой степени f(x)=с(а0хn/с+a1xn-1/с+…an/с).
6. если f(x) дел-ся на j(х) f(x) дел-ся и на с*j(х). Д-во: т.к. f(x)=j(х)*y(х) f(x)=[cj(х)]*[c-1y(х)].
7. Мн-ны сf(x), с0 – только они – делители мн-на f(x), имеющие такую же степень что и f(x). Д-во: f(x)=с-1[сf(x)] т.е. f(x) дел-ся на сf(x).
Если же f(x) дел-ся на j(х), причем их степени совп-ют степень частного от деления f(x) на j(х) должна =0, т.е. f(x)=dj(х), d0 j(х)=d-1 f(x)
8. f(x) и g(x) одноврем-но дел-ся друг на друга g(x)=сf(x), с0
9. из 1 и 8 дел-ль 1-го из 2-х мн-ов f(x), сf(x), с0 – дел-ль и для другого мн-на.