29.Теорема Безу. Схема Горнера.

пр. p(x)=2z^2+7x-1; Q(x)=x-1. Остаток? частное 2х+9, остаток 8

теор. Остаток при делении любого многочлена Р(х) на (х-а) равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а).

Док-во: Разделим Р(х) на (х-а). Тогда остаток лтбо многочлен нулевой степени, либо 0. r(z) = R = const => P(x) = (x-a)(Q(x) + r(x) => Подставляя a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R.

gр. P(x)=x^4 + 2x^3 +10 x+1, делим на (х+2) => P(-2) = 16-16+20+1=5

cледствие1: P(x): x-a => a корень этого многочлена

следствие2: P(x): [(x-α)(x- α1)…(z- αn)]

следствие3: число разл корней многочлена – не более, чем его степень.

опр. пусть P(x) = (x-a) => r(x) = 0 => P(a) = 0 => a корень P(z). Пусть P(a) = 0 => r(x)=0 => P(x) делится на (х-а)

Теорема Безу позволяет найти остаток при делении многочлена на двучлен (х-а). Но требуется найти частное. Помогает схема Горнера. Старший коэффициент частного – старщем коэффициенту делимого. Для поучения каждого следующего коэффициента частного надо найти соответствующий коэф-нт делимого, сложить с предыдущим коэф-том частного, умноженного на а.

Нужно свободный член делимого сложить со своб членом частного

-			…	а2	а1	а0
а					b0=a1+ab1	a0+ab0

пр. P(x)=2x^4 + 3x^3 – 5x^2 – 7x +2. Найти частное и остаток при делении на (х-3) => a=3

-	2	3	-5	-7	2
3	2	3+3*2=9	-5+3*9=22	-7+3*22=53	2+3*53=179

30. Разложение рацион дробей на сумму простейших. Метод неопред коэф-тов.

опр. Рацион дробь – отношение 2-х алгебраических многочленов f(z)/φ(z); f(z) = , φ(z)= . Рацион дробь наз=ся правильной, если степень многочлена, стоящая в числителе < степени многочлена, стоящего в знаменателе. Иначе – неправ дробь.

теор1. P(z)/Q(z) – прав рацион дробь, =>

Лемма. P(z)/Q(z) – прав рацион дробь. , где φ(а) не =0. а – корень кратности α дляQ(z) => (1) А – некое комплексное число = Р(а)/φ(а); к – целое число ≥1, ψ(z) – некоторые многочлены, причем 2-ое слагаемое в (1)

=> .=>

a – корень f(z) => f(a)=0 => f(a)=0

f(z)=- также корень многочлена.

Док-во случая, когда коэф-ты вещественны: Пусть - корень многочлена,-также корень => ; ( ; ) => (2) Отсюда, с учетом (2) получаем (1)

Метод Неопред коэф-та.

пр. Разложить

опр. противоп элемент –А = (-1)А

утв. L (V,W) – множество операторов, действующих V →W, тогда относительно «+» и «λ» - это множество объявляется линейным пространством

1. А + В = В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3.(А+В)х=АХ + ВХ (В+А)х

утв. В множестве операторов L (V,W) выполняется: 1) λ(AB)=( λA)B 2) (A+B)c = Ac + Bc 3) A(B+c) = AB + AC 4) (AB)C = A(BC) 5) AB не = BA

Докажем свойство2: , ((А+В)С)(х) = (А+В) (СХ) = А(Сх) + В (Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х => (А+В)С = АС + ВС ч.т.д.

пр. А: V → V, Ах=х, Ix = x – тождественный оператор, I – линейный оператор

. I(x+y) = x+ y= Ix + Iy; I(λx) = λx= λIx => I – линейный оператор

пр. , т.е.Af = df/ dx

A(f1+f2) = (f1+f2)’ = f’1 + f’2; A(λf) = (λf’) = λf’ = λAf => А – лин оператор

пр.

A – линейн оператор.

опр. пусть . Линейн оператор В изL(V,V) наз-ся обратным для оператора А, сли выполняется: 1) AB = BA = I, I – тождественный оператор. B = A^(-1); A*A^(-1)=(A^(-1))*A=I => , (A^(-1))*A*x=A*(A^(-1))*x=x

опр. ядром для линейн оператора наз-ся множество элементов.ker A = множество {,Ax=0} = линейное подпространство прост-ва V. x1+x2

утв. если ядро А явл-ся нулевым kerA=0, то А явл-ся взаимнооднозначным V → V.

Док-во: Пусть Ax=0 => x=0 => если x1 не = x2 => Ax1 не = Ax2

если Ax1=Ax2 => A(x1-x2)=0 => x1=x2 (несоотвествие) => разным элементам соотв-ют разн образы => взаимноодн соответствие