33. Теорема о ранге оператора.
теор.
Пусть
1) rang AB ≤ rang A 2) rang AB ≤ rang B
Док-во:
1) imAB
≤im
A.
По
определению {(АВ)(х)
=A(BX): im AB = {
(AB)(x)=y}
=
A(Bx)
= Az, где
у
явл-ся образом А:
у
≤ im A (y=Az,
)
=> 1) dim (im AB) ≤ dim (im A) => rang AB ≤ rang A, .ч.т.д.
2) ker B ≤ ker AB (т.к.: пусть
=>
Bx = 0=> A(Bx) = 0 =>
)
=> dim ker B ≤ dim ker (AB) => dim V – dim (kerAB) ≥ dimV
– dim (ker AB) => dim (im AB) ≤ dim (im B) => rang AB ≤
rang B
теор2.
Пусть
,
dim V = n => rang (AB) ≥
rang A + rang B - n
следствие. пусть rangA = n => rang (AB) = rang (BA)=rang B
Док-во: rang (AB) ≤ rang B, rang AB ≥ rang B (по теор2). Если в теор2 rang A =n=> rang AB = rang B, ч.т.д.
rang BA ≤ rang B (теор1); rang BA ≥ rang B => rang BA = rang B
если rang A = dim (im A), dim (ker A) = 0 => AB =BA
34. Матричная запись оператора. Матрица оператора.
.
.
Тогда оператор явл-ся линейным, если
,
=>A(x+z)
=
=Ax+Az
=> выполняется адитивность оператора.
А(λх)=(А λ)х – выполняется однородность
=> оператор линейный, и кроме того,
единств.
- лин независ система, тогда
-
единств
теор2. А – лин оператор из V в V. => rangA = rang |[A]|, где [A] матрица оператора А.
Док-во:
rangA
= dim
(im
A).
rang
[A]
– max
число
лин незав строк или столбцов. im
A
– линейная оболочка
(ранг А – число лин незав
,
-базис
=> он лин незав => ранг А = числу независ
строк из (5)) => число лин незав
=
числу лин незав строк [A]
=> rang
[A]
= rang
A,
ч.т.д.
Пр. {e1,e2} – произвольный базис. f1=(0,1), f2=(1,0) => f1 = 0*e1 + e2, f2=e1. A – линейный оператор. Ae1=(2,3), Ae2 = (4,5). Ae1 = 2*e1 + 3*e2; Ae2 = 4*e1+ 5*e2. Найти: 1. матрицу А в базисе {e1,e2} 2. матрицу А в базисе {f1,f2}
решение: f1=e2, f2=e1; Af1 = Ae2 = e*e1 +3*e2 = 2*f2 + 3*f1; Af2 = Ae1 = 4*e1 + 5*e2 = 4*f2 +
зависят от выбора базиса.
Док-во:
из теоремы
;det
u
* det
u^(-1)
= 1=>
ч.т.д.
Пр.
=>
=>
36. Характеристический многочлен лин оператора. Собст значение и вектор лин операторов.
о
пр.
А – лин оператор, I
– тождественный оператор.
,
комплексное
число. Характеристическим многочленом
оператора А наз-ся многочлен относительно
λ: det(A-
λI).
Если матрица линейного оператора А
имеет вид
,
то характеристический многочлен:det(A-
λI)=
коэффициенты
характерист многочлена,
не зависит от выбора
2
шаг:
=>
λ=6 (трехкратный корень характерист
ур-ния)
3
шаг:
х(1,0,0) – собств вектор, соответсвующий собст знач λ=6
Следствие: каждый линейн оператор имеет собств значение.
Док-во: det(A- λI)=0, это уравнение относительно λ. многочлен n степени => имеет n корней. Корень уравнения – собств значение => существует собственное значение оператора А.
37. Теорема об условии диагональности матрицы лин оператора.
А
– линейный оператор, V
- n-мерное
пространство. [A]
– матрица А в базисе
.
теор.
Чтобы [A]
в
была
диагон,
необход и достаточно, чтобы базисные
векторы
были собственными векторами этого
оператора, т.е.
.(1)
Док-во:
(необход)
-
базисные векторы пространстваV,
и пусть они яв-лся собств векторами
оператора А, т.е.
V
– линейн
пространство,
dimV=n,
базисV,
,
,
-
координата х по базису е, А – линейн
оператор изV
в V.
(1)
(2) (разложение по е). Подставим (2) в (1):
;
(3). Пусть
-
координаты у, Ах=у (4), причем имеет место
(3),т.е. координаты у выражаются ч/з х по
(3). Матрица линейн оператора, заданного
в базисе
:
(5).
Замечания: 1) если а – нулевой оператор,
то [A]
– нулевая матрица.. 2) если а – тождеств
оператор, то [A]
– единичная матрица.
теор.
V
– лин пространство,
базис [A]
- квадратичн матрица,j=1,..n,
k=1..n
=> существует единств лин оператор А,
матрицей которого явл-ся [A]
Док-во:
А определим равенством (4), где
- элементы заданные матрицей, т.е.
5*f1
=>
