1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_15_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Приняв во внимание, что математическое ожидание показательного распределения равно 1/ (см. раздел 11.9 лекции 12), имеем
1/ = хВ.
Отсюда
= 1/ хВ.
Итак, искомая точечная оценка параметра , показательного распределения равна величине, обратной выборочной средней:
* = 1/ хВ.
61
Теория вероятностей и математическая статистика
Б. Оценка двух параметров. Пусть задан вид плотности
распределения f(х; 1; 2), определяемой неизвестными параметрами 1 и 2, . Для отыскания двух параметров необходимы два уравнения относительно этих параметров.
Следуя методу моментов, приравняем, например, начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка:
1 = M1, 2 = m2.
62
Теория вероятностей и математическая статистика
Учитывая, что 1 = M(Х), 2 = D(X) (см. раздел 7.4 лекции 8). Можно показать, что 1 = В, 2 = DВ. Откуда следует:
|
|
= |
|
, |
|
|
В |
(**) |
|||||
|
|
= . |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
Математическое ожидание и дисперсия есть функции от1 и 2, поэтому (**) можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными 1 и 2. Решив эту систему относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки 1 и 2. Эти оценки являются функциями от вариант выборки:
1= 1(x1, x2, … , xn),2= 2(x1, x2, … , xn).
.
63
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 2. Найти методом моментов по выборке x1, x2, … , xn точечные оценки неизвестных параметров а и нормального распределения
= |
|
1 |
− − 2/(2 2). |
|
|
||
|
|
2 |
|
Решение. Приравняем |
начальные теоретические и |
||
эмпирические моменты первого порядка, а также центральные и эмпирические моменты второго порядка:
1 = M1, 2 = m2.
Учитывая, что 1 = M(X), 2 = D(X), 1 = В, m1 = DВ,
получим
(Х) = В, D(Х) = DВ.
64
Теория вероятностей и математическая статистика
Приняв во внимание, что математическое ожидание нормального распределения равно параметру а, дисперсия равна 2 (см. раздел 11.1, лекция 11), имеем:
= , 2 = .
Итак, |
искомые |
точечные |
|
оценки |
параметров |
||
нормального распределения: |
|
|
|
||||
|
|
= |
|
, |
= |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Теория вероятностей и математическая статистика
4.19. Другие характеристики вариационного ряда.
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.
Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда
варианта . . . . 1 4 7 9 частота . . . . 5 1 20 6
мода равна 7.
66
Теория вероятностей и математическая статистика
Медианой me, называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Если число вариант нечетно, т. е. n = 2k+1, то me = хk+1; при четном n = 2k медиана
me = (xk + xk+1)/2.
Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда
2 3 5 6 7 9 медиана равна (5+6)/2 = 5,5.
67
Теория вероятностей и математическая статистика
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:
R = xmax - xmin.
Например, для ряда 1 3 4 5 6 10 размах равен 10 —1 = 9.
Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
68
Теория вероятностей и математическая статистика
Средним абсолютным отклонением в называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:
= |
|
|
| − |
|
| / |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
69
Теория вероятностей и математическая статистика
Средним абсолютным отклонением в называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:
= |
|
|
| − |
|
| / |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
70