1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_15_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание 2.
Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то
минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле
n = t2 2/ 2.
Эта формула является следствием равенства = t / .
11
Теория вероятностей и математическая статистика
14.14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется
оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов.
Разумеется, невозможно воспользоваться результатами предыдущего параграфа, в котором предполагалось известным.
12
Теория вероятностей и математическая статистика
Легко показать, что по данным выборки можно построить случайную величину T (ее возможные значения будем обозначать через t ):
−= / ,
которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1
степенями свободы. Здесь Х - выборочная средняя, S — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, а
— неизвестное математическое ожидание, n — объем выборки.
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Плотность распределения Стьюдента
, |
= 1 + |
|
2 |
|
− /2 |
|
|
, |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
−1 |
|
||
|
|
|
|||
|
Г( |
|
) |
|
|
|
где = |
|
|
. |
|||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
−1 Г( |
−1 |
) |
||||
|
2 |
|||||
Распределение Стьюдента определяется параметром n
– объемом выборки (или числом степеней свободы k = n -1) и не зависит от неизвестных параметров а и .
*
14
Теория вероятностей и математическая статистика
Так как , - четная функция от t, вероятность осуществления неравенства
− / < γ
Определяется так
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
|
< = 2 |
, = . |
|||
|
|||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
||
15
Теория вероятностей и математическая статистика
Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
< < + |
|
|
= . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
Таким образом, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал
|
|
|
|
|
|
||
− |
|
|
|
< < + |
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
покрывающий неизвестный параметр а с надежностью .
Здесь случайные величины и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке.
По таблице приложения 3 по заданным n и можно
найти . |
16 |
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены выборочная средняя х = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание с надежностью 0,95.
17
Теория вероятностей и математическая статистика Решение. Найдем . По таблице приложения 3 по
=0,95 и n=16 найдем =2,13.
Приложение 3
18
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, =2,13.
Найдем доверительные границы.
|
|
|
0,8 |
|
|
− |
|
|
= 20,2 − 2,13 ∙ |
|
= 19,774. |
|
|
|
|||
|
|
16 |
|||
|
|
|
0,8 |
|
|
+ |
|
|
= 20,2 + 2,13 ∙ |
|
= 20,626. |
|
|
|
|||
|
|
16 |
|||
Таким образом, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а
заключен в доверительном интервале
19,774 < a < 20,626.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
Из предельных соотношений
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
− /2 |
lim = |
, lim |
1 + |
|
|
= −2/2, |
|||
|
|
|
|
|||||
→∞ |
|
2 |
→∞ |
|
−1 |
|
||
|
|
|
||||||
следует, что при неограниченном возрастании
объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному.
Поэтому практически при n>30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.
20