1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_15_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи».
= ( /) − 1,
где n – объем выборки.
Величина S2(n-1)/ 2 распределена по закону 2 с n-1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через .
Плотность распределения имеет вид
|
|
|
−2 2/2 |
|
|||
, |
= |
|
|
|
|
. |
(**) |
2( −2)/2Г |
−1 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
||
Это распределение |
не |
зависит |
от оцениваемого |
||||
параметра , а зависит лишь от объема выборки n.
31
Теория вероятностей и математическая статистика
Преобразуем неравенство s(1 — q) < < s(1 + q) (*) так, чтобы оно приняло вид 1 < < 2. Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т. е.
2 , = .
1
Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так:
1 |
|
< |
1 |
< |
1 |
. |
(1+ ) |
|
|
||||
|
|
(1− ) |
||||
Умножив все члены неравенства на S − 1, получим
−1 |
< |
|
−1 |
< |
−1 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ |
|
|
1− |
||||||
или
1+−1 < < 1−−1.
32
Теория вероятностей и математическая статистика
Вероятность того, что это неравенство, а следовательно,
и равносильное ему неравенство s(1 — q) < < s(1 + q)
(*) будет осуществлено, равна
−1/(1− )
, = .
−1/(1+ )
Из этого уравнения можно по заданным n и найти q.
Практически для отыскания q пользуются таблицей Приложения 4.
33
Теория вероятностей и математическая статистика
Приложение 4
Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий с заданной надежностью , т. е. интервал
s(1 — q) < < s(1 + q). |
34 |
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
35
Теория вероятностей и математическая статистика
Решение. По таблице Приложения 4 по данным =0,95 и n = 25 найдем q = 0,32.
Искомый доверительный интервал s(1 — q) < < s(1 + q)
таков: |
0,8(1 - 0,32) < < 0,8(1 + 0.32), |
или |
0,544 < < 1,056. |
36
Теория вероятностей и математическая статистика Замечание. Выше предполагалось, что q < 1 . Если q > 1,
то неравенство s(1 — q) < < s(1 + q) примет вид (учитывая, что > 0)
0 < < s(1+q),
или (после преобразований, аналогичных случаю q < I)
−1 < < ∞. 1+
Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из
уравнения
∞
, = .
−1/(1+ )
Практически для отыскания значений q>1, соответствующих различным заданным n и , пользуются таблицей Приложения 4.
37
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,16. Найти
доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.
38
Теория вероятностей и математическая статистика
Решение. По таблице Приложения 4 по данным = 0,999 и n =10 найдем q=1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:
0 < < 0,16(1 + 1,80),
или 0 < < 0,448.
Приложение 4
39
Теория вероятностей и математическая статистика
14.16. Оценка точности измерений
В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения случайных
ошибок измерений.
40