1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_15_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

− < (1 − )/.

Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

[(t2/n) + 1)]р2 - 2[w + (t2/n)]р + w2 < 0.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому его корни действительные и различные:

меньший корень

больший корень

Итак, искомый доверительный интервал p1 < p < p2, где p1 и p2 находят по формулам (***) и (****).

При выводе предполагалось, что w > p. Тот же результат получается при w < p.

52

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Решение. По условию, n = 80, m = 16, = 0,95. Найдем относительную частоту появления события A:

w = m/n = 16/80 = 0,2.

Найдем t из соотношения Ф(t) = /2 = 0,95/2 = 0,475; по таблице функции Лапласа (Приложение 2) находим t=1,96. Подставив n = 80, w = 0,2. t = 1,96 в формулы (***)

и (****), получим соответственно р1 = 0,128, р2 = 0,299.

Итак, искомый доверительный интервал

0,128 < р < 0,299.

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 1. При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые t2/(2n) и (t/(2n))2 очень малы и множитель n/(t2 + n) 1,

поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

p1 = w — t ( − )/ и p2 = w + t ( − )/.

Замечание 2. Чтобы избежать расчетов концов доверительных интервалов, можно использовать таблицу 28 книги: Янко Я. Математико-статистические таблицы / Пер. с чешского А.Ф. Маслова; Под ред. А.М. Длина. - Москва : Госстатиздат, 1961. - 243 с.

54

Теория вероятностей и математическая статистика

14.18. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

Можно доказать, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов того же порядка. На этом основан метод моментов, предложенный К. Пирсоном.

Достоинство метода — сравнительная его простота.

55

Теория вероятностей и математическая статистика

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в

соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

56

Теория вероятностей и математическая статистика

А. Оценка одного параметра. Пусть задан вид плотности распределения f(х, ), определяемой одним неизвестным параметром . Требуется найти точечную оценку параметра .

Для оценки одного параметра достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра.

Следуя методу моментов, приравняем, например, начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:

1 = M1.

57

Теория вероятностей и математическая статистика

Учитывая, что 1 = M1(Х) (см. раздел 7.4, лекции 8) и что M1 = хВ, получим

M(Х) = хВ. (*)

Математическое ожидание М(Х), как видно из

соотношения

∞

−∞

есть функция от , поэтому выражение (*) можно рассматривать как уравнение с одним неизвестным .

58

Теория вероятностей и математическая статистика

Решив уравнение M(Х) = хВ (*) относительно параметра, тем самым найдем его точечную оценку *, которая является функцией от выборочной средней, следовательно, и от вариант выборки:

* = (х1, х2, …, хn).

59

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Найти методом моментов по выборке х1, х2, …, хn точечную оценку неизвестного параметра , показательного распределения, плотность распределения которого = − (x 0).

Решение. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: 1 = M1 . Учитывая, что 1 = M(X), M1 = хВ , получим

M(Х) = хВ.

60