1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 9
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
7.4. Начальные и центральные теоретические моменты
Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:
|
Х |
1 |
2 |
5 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
р |
0,6 |
0,2 |
0,19 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание X: |
|
|
|||
|
M(X) = 1 0,6 + 2 0,2 + 5 0,19 + 100 0,01 = 2,95. |
||||
Напишем закон распределения X2: |
|
|
|||
|
Х2 |
1 |
4 |
25 |
10000 |
|
р |
0,6 |
0,2 |
0,19 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание X2:
M(Х2) = 1 0,6 + 4 0,2 + 25 0,19 + 100000 0,01 = 106,15.
Видим, что М(X2) значительно больше М(X).
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X2 , соответствующее значению х = 100 величины X, стало равным 10000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).
Из этого следует, что переход от М(X) к М(X2)
позволяет лучше учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений, которые велики и имеют малую вероятность.
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом, если величина X имеет несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X2, а тем более к величинам X3 , X4 и т. д., позволяет еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений.
В таких случаях оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной)
4
Теория вероятностей и математическая статистика
Начальным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
k = M(Хk).
В частности,
1 = M(Х), 2 = M(Х2).
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(Х) = M(Х2) — [М(Х)]2 можно записать так:
D(Х) = 2 - 12 (*)
*Начальный (отсчет M(Хk) идет от начала координат). |
5 |
Теория вероятностей и математическая статистика
Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X — М(Х).
Центральным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х - M(Х))k :
k = M[(Х - M(Х))k ] .
В частности,
1 = M[Х - M(Х)], (**)
2 = M[(Х - M(Х))2 ] (***)
*Центральный (отсчет идет от M(Х), являющегося центром, около которого рассеяны возможные значения случайной величины).
6
Теория вероятностей и математическая статистика
Легко получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например,
сравнивая (*) и (***), получим
2 = 2 - 12 .
Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:
|
|
|
= |
- 3 + 2 3 |
, |
|
||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
= |
- 4 |
1 |
+ 6 |
2 + 3 4 . |
||||||
|
4 |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
||||
Моменты более высоких порядков применяются редко.
7
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. Моменты, рассмотренные выше,
называют теоретическими.
В отличие от теоретических моментов,
моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.
8
Теория вероятностей и математическая статистика
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
9
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1. Найти математическое ожидание дискретной
случайной |
величины |
Х, |
заданной |
законом |
|||||
распределения: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
-4 |
|
|
6 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
0,2 |
|
|
0,3 |
р3 |
|
|
Решение. Используем определение математического ожидания. Математическое ожидание М(Х) равно
сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности.
Шаг 1. Найдем вероятность р3 возможного значения 10.
р3 = 1 – (0,2+0,3) = 0,5.
Шаг 2. Вычислим М(Х), используя определение.
М(Х) = -4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 = 6
10