1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания X и Y. M(X) = 5, M(Y) = 3.

Решение. Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим :

М(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 3

= 11.

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 3. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: х1 = -1, х2 = 0, х3 = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х) = 0,1; М(Х2) = 0,9. Найти вероятности р1, р2, р3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.

Решение. Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, а также принимая во внимание, что М(Х) = 0,1, М(Х2) = 0,9 составим систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:

М(Х)М(Х2)

Решая эту систему, найдем: р1 = 0,4; р2 = 0,1; р3 = 0,5.

12

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 4. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов.

Решение. Обозначим через Х число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы

и вероятности интересующего нас события (в

одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула

М(Х) = N(P), (*)

где N – общее число опытов; P – вероятность того, что в одном опыте откажет ровно m элементов.

13

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем вероятность Р по формуле Бернулли:

14

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат), получим

D(Z) = D(3X+2Y) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 5 + 4 6 = 69.

15

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 6. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

Решение. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

D(X) = npq.

По условию, n = 5; p = 0,2. Определим q. q = 1-0,2 = 0,8.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 5 0,2 0,8 = 0,8.

16

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 7. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) = 1,2.

Решение 1. Возможные значения величины Х таковы:

х1 = 0 (событие не появилось), х2 = 1 (событие появилось 1 раз), х3 = 2 (событие появилось 2 раза).

Шаг 1. Найдем вероятности возможных значений по

формуле Бернулли ( = −):

17

Теория вероятностей и математическая статистика

Шаг 2. Напишем закон распределения Х:

Шаг 3. Найдем М(Х):

M(X) = 2pq + 2p2 = 2p(q+p) = 2p.

Шаг 4. По условию М(Х) = 1,2. То есть 2p = 1,2. Откуда

P=0,6 и, следовательно, q = 1- 0,6 = 0,4.

Шаг 5. Найдем искомую дисперсию по формуле

D(X) = npq = 2 0,6 0,4 = 0,48.

18

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 7. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) = 1,2.

Решение 2.

Шаг 1. Воспользуемся формулой M(X) = np. По условию М(Х) = 1,2; n = 2. Следовательно, 1,2 = 2p. Откуда р = 0,6 и, значит, q = 0,4.

Шаг 2. Найдем искомую дисперсию:

D(X) = npq = 2 0,6 0,4 = 0,48.

19

Теория вероятностей и математическая статистика

8. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

8.1. Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно.

Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить

закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

20