1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

На самом деле это не так.

Оказывается, что при некоторых сравнительно

широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величии почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

Для практики очень важно знание таких условий, при

выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом,

под законом больших чисел понимают ряд теорем, устанавливающих для тех или иных условий факт приближения средних характеристик массовых случайных явлений к определенным постоянным неслучайным величинам.

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Закон больших чисел говорит об устойчивости средних значений:

При очень большом числе случайных явлений, протекающих в одинаковых условиях, их средние значения перестают быть случайными и могут быть предсказаны с большой степенью определенности.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

Закон больших чисел говорит об устойчивости средних значений:

При очень большом числе случайных явлений, протекающих в одинаковых условиях, их средние значения перестают быть случайными и могут быть предсказаны с большой степенью определенности.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры:

Частота случайного события при большом числе опытов будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события.

Математическое ожидание случайной величины при большом числе опытов будет сколь угодно мало отличаться от среднего арифметического наблюденных значений этой величины.

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Различные формы закона больших чисел образуют ряд так называемых предельных теорем, — это теоремы Чебышёва, Маркова и их следствия — теоремы Бернулли и Пуассона (имеются и другие теоремы, которые мы не будем рассматривать).

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Доказательства предельных теорем основываются на неравенстве Чебышёва, которое является для них леммой*, и определении «сходимости по вероятности» последовательности случайных величин к некоторой неслучайной величине.

*Лемма (греч. λημμα — предположение) — доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты рассмотрим это неравенство для дискретных величин.

Пусть дискретная случайная величина X, задана слудующей таблицей распределения:

30