1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

•Первое требование (попарная независимость) выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных.

•Второе требование (одинаковость математических ожиданий) выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному значению а.

•Третье требование (равномерная ограниченность дисперсий) выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышёва: при достаточно большом n вероятность неравенства

как угодно близка к единице.

52

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, при достаточно большом числе

измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, теорема Чебышёва указывает

условия, при которых описанный способ измерения может быть применен.

54

Теория вероятностей и математическая статистика

Однако, нельзя забывать, что, увеличивая

число измерений, невозможно достичь сколь угодно большой точности.

Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ± ; поэтому каждый из результатов

измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое, будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

55

Теория вероятностей и математическая статистика

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

56

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. О качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

Пример 2. Качество зерна определяют по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

57

Теория вероятностей и математическая статистика

Из приведенных примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.

58

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1. Последовательность независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … задана законом распределения

Применима ли к данной последовательности теорема Чебышёва?

59

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышёва, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины по условию задачи независимы, то они подавно попарно независимы, то есть первое требование теоремы Чебышёва выполняется.

60