1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величии через а; тогда среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а.

41

Теория вероятностей и математическая статистика

Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если Х1, Х2, ...., Хn, ... — попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было положительное число ,

вероятность неравенства

случайных величин достаточно велико.

42

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

43

Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность теоремы Чебышёва:

Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а

именно к числу (М(X1) + М(X2) + ...+ М(Xn))/n (или к числу а в частном случае).

44

Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность теоремы Чебышёва:

Иными словами, отдельные случайные величины

могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

45

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

46

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, среднее арифметическое достаточно большого

числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

47

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема Чебышёва справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин, подтверждая связь между случайностью и необходимостью.

48

Теория вероятностей и математическая статистика

8.3. Использование теоремы Чебышёва при решении практических задач.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения

можно считать правильным?

Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай). Покажем это.

49

Теория вероятностей и математическая статистика

Результаты каждого измерения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, . . . , Хn. К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если:

1)они попарно независимы;

2)имеют одно и то же математическое ожидание;

3)дисперсии их равномерно ограничены.

50