1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Если достаточно мало, то мы оценим, таким образом,

вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

Неравенство Чебышёва. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем 1—D(Х)/ 2:

Р(|Х — М(Х)| < ) 1— D(Х)/ 2.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку.

Однако теоретическое значение неравенства Чебышева весьма велико.

Как уже отмечалось ранее, доказательства

предельных теорем основываются на неравенстве Чебышёва.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

Чебышёв Пафнутий Львович (1821—1894). Русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы. В теории вероятностей доказал центральную предельную теорему, предложил простое и общее доказательство закона больших чисел (1867). От Чебышёва и его учеников ведут свое начало важнейшие направления русской и советской математики.

35

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

36

Теория вероятностей и математическая статистика

8.2. Теорема Чебышёва

Теорема Чебышёва. Если Х1, Х2, ...., Хn, ...— попарно

независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, в условиях теоремы

Теорема Чебышева утверждает:

Если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что

отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы

предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания.

На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание.

Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Рассмотрим частный случай теоремы Чебышёва,

когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание и дисперсии этих величин ограничены.

40