16. Типовые звенья сау. Дифференцирующие звенья (идеальное и реальное).
В звеньях дифференцирующего типа
линейной зависимостью
связаны в установившемся режиме выходная
величина и производная входной (рис.
в), откуда и произошло название этого
типа звеньев.
Идеальное дифференцирующее звено имеет уравнение
и передаточную функцию
,
где – коэффициент пропорциональности. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
,
.
Рис. 3.10. Идеальное дифференцирующее звено:
а) передаточная функция;
б) амплитудно-фазовая характеристика; в) логарифмические амплитудная и фазовая характеристики; г) переходная функция
Временные характеристики дифференцирующих звеньев
17. Типовые звенья сау. Интегрирующие звенья (идеальное и реальное).
В звеньях интегрирующего типа
линейной зависимостью
производная
выходной величины и входная величина
в установившемся режиме (рис. б). В этом
случае для установившегося режима будет
справедлива равенство
,
откуда и произошло название этого типа
звеньев.
Интегрирующее звено описывается уравнением:
а его передаточная функция
.
Здесь
– коэффициент пропорциональности. Его
величина и размерность определяются
физической природой звена и размерностями
переменных
и
.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
описывается уравнением
.
Рис. 3.7. Интегрирующее звено: а) передаточная функция;
б) амплитудно-фазовая характеристика; в) логарифмические амплитудная и фазовая характеристики; г) переходная функция
Временные характеристики интегрирующих звеньев
18. Общий метод составления дифференциальных уравнений и передаточные функции систем автоматического управления.
Порядок составления дифференциального уравнения динамического звена
Порядок составления дифференциального уравнения звена:
1. Определяют входную (-ые) и выходную (-ые) величины (координаты) звена и устанавливают дополнительные факторы, от которых зависит выходная величина.
2. Используя основные законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемое звено:
законы Кирхгофа для электрических звеньев;
законы Ньютона для звеньев механической природы;
законы сохранения энергии и вещества для гидравлических и пневматических звеньев, составляют математическое описание звена в форме дифференциального уравнения.
3. Вводят те или иные упрощающие предположения (допущения) с целью упрощения исходного математического описания.
4. При необходимости осуществляют линеаризацию полученного дифференциального уравнения с целью получения линейного дифференциального уравнения звена.
Стандартная форма записи дифференциальных уравнений. Передаточные функции систем регулирования
Процессы в линейных системах автоматического регулирования и их элементах обычно описываются дифференциальными уравнениями. При этом члены, содержащие выходную величину y и её производные, записываются в левой части уравнения, а воздействия x и их производные и cf – в правой:
(2.1)
Здесь , и – коэффициенты (параметры) уравнения. В большом числе случаев их можно принять постоянными. В тех случаях, когда они изменяются во времени, а скорость этого изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе, то эту систему принято называть нестационарной, или системой с переменными параметрами.
Уравнение (2.1) системы регулирования удобно представить в символической (операторной) форме, заменив символ дифференцирования оператором p:
тогда
. (2.2)
Разделив все члены полученного уравнения на коэффициент при выходной переменной y, получим стандартную форму дифференциального уравнения системы регулирования:
(2.3)
Здесь
;
.
Многочлен, стоящий в скобках при выходной переменной y, принято называть собственным (характеристическим) оператором, а при входной величине x – входным оператором, или оператором воздействия. Коэффициенты , имеющие размерность времени, называют постоянными времени.
Операция замены носит название алгебраизации дифференциального уравнения (2.1). В линейных системах с постоянными параметрами звеньев она формально соответствует преобразованию Лапласа, в котором функции , заданной во времени t и называемой оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной p, определенная интегралом
и называемая изображением функции по Лапласу.
Передаточная функция
Важной, очень удобной в практических приложениях характеристикой, компактно описывающей динамические свойства звена (или системы), является передаточная функция звена (или системы), определяемая как отношение изображений выходной переменной ко входной , взятое при нулевых начальных условиях:
В частности, для системы регулирования, описываемой уравнением (2.3), можно записать выражение для изображения выходной переменной:
Здесь
и
– передаточные функции системы регулирования по каналам «входной сигнал – выходная переменная » и «возмущение – выходная переменная ». Напомним, что уравнения (2.1) и (2.2) адекватны только при нулевых начальных условиях.