29. Построение областей устойчивости в плоскости параметров системы автоматического управления. D–разбиение. Выделение областей устойчивости
С помощью рассмотренных выше критериев устойчивости можно определить, устойчива ли система автоматического регулирования с заданными параметрами. Однако критерии не дают возможности определить, в каких пределах можно менять тот или иной параметр или два параметра одновременно, чтобы система оставалась устойчивой. Это можно сказать с помощью некоторых критериев устойчивости лишь по отношению к коэффициенту усиления.
Впервые вопросом выделения областей устойчивости занялись Вышнеградский и Неймарк. Этот метод получил название Д-разбиения.
Построение областей устойчивости в плоскости параметров системы автоматического управления. D–разбиение.
При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или каких-либо двух параметров, влияние которых на устойчивость исследуют, а также построение семейства областей устойчивости в плоскости двух параметров при различных фиксированных значениях третьего параметра. Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Часто для этих целей используют критерий Михайлова.
Понятие о d–разбиении
Характеристическое уравнение замкнутой системы n–порядка имеет вид:
(9.1)
или
(9.2)
где
.
При создании реальной системы управления бывает необходимо знать не только запас устойчивости, который можно оценить с помощью какого-либо критерия, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.
Рассмотрим суть метода D-разбиения по одному параметру D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:
(9.3)
Заменив в уравнении (9.1) р на
,
получим уравнение
(9.4)
соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова.
Разрешим его относительно D:
.
(9.5)
Получили комплексное представление
параметра D, что позволяет изобразить
его в виде вектора на комплексной
плоскости. Конкретное числовое значение
частоты определяет положение вектора
.
При изменении со в диапазоне от
до
его
конец выписывает на комплексной
плоскости кривую
D-разбиением, представляющую
собой границу устойчивости (её также
можно рассматривать как отображение
мнимой оси плоскости корней).
Кривая D-разбиения симметрична относительно вещественной оси (рис. 9.3) поэтому достаточно построить её часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить отображением относительно вещественной оси.
Рис. 9.3. Иллюстрация построения кривой D-разбиения:
1—3 — подобласти с различным распределением корней
Отметим, что эта кривая разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для определения области устойчивости необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном значении D, то она будет устойчива и при всех его значениях из этой области.
Метод D-разбиения можно применять и для
построения области устойчивости по
двум параметрам
и
,
которые входят линейно в характеристическое
уравнение
(9.6)
В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид
(9.7)
и распадается на два независимых уравнения:
(9.8)
Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.
Рис. 9.8. Д-разбиение одного параметра
В устойчивой системе все корни находятся слева от мнимой оси, если двигаться в направлении от -∞ к +∞. Поскольку линия Д-разбиения является отображением мнимой оси, то область устойчивости также будет находиться слева от этой линии, если двигаться по ней в направлении от значения ω = -∞ к значению ω = +∞. Чтобы выявить область устойчивости, на линию Д-разбиения наносится штриховка слева при указанном перемещении -∞ к +∞.
Область, внутрь которой направлено больше штриховки, возможно является областью устойчивости. На рис. 9.8 –это область I. С помощью любого критерия устойчивости проверяется устойчивость системы для любой точки вещественной оси, лежащей в интересующей нас области. Если система устойчива для этой точки, значит, данная область является областью устойчивости. Может случиться, что область устойчивости отсутствует. Следовательно, система неустойчива при любом значении рассматриваемого параметра.