23. Критерии устойчивости критерий Найквиста.

Критерием устойчивости называется косвенный метод определения знаков вещественной части корней характеристического уравнения, не требующий решения этого уравнения.

Критерий Найквиста относится к частотным критериям устойчивости.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ (рис. 7.10) по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

На комплексной плоскости начало вектора (1+W_раз(jω)) находится в точке с координатами: (-1; j0), а конец на АФЧХ разомкнутой системы, т.к. W_раз(jω) есть амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

Из этого следуют формулировки критерия Найквиста.

1) Если разомкнутая система автоматического управления устойчивая (k=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами [-1; j0] (рис. 7.11).

2) Если же разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ неустойчивой разомкнутой системы (k>0) при изменении частоты от 0 до +∞ охватывала точку в положительном направлении k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Назовём переход W_раз(jω) через вещественную ось слева от точки , т.е. через интервал , положительным, если он идёт сверху вниз, и отрицательным, если он идёт снизу вверх. Если W_раз(jω) начинается на интервале при или заканчивается на нем при , то в этих случаях считают, что она совершила полперехода.

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: 3) если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой САУ через отрезок вещественной оси при изменении частоты от 0 до +∞ была равна k/2, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САУ.

24. Критерии устойчивости критерий Михайлова.

Критерием устойчивости называется косвенный метод определения знаков вещественной части корней характеристического уравнения, не требующий решения этого уравнения.

Критерий Михайлова относится к частотным критериям устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова

Так же, как и критерий Гурвица, критерий Михайлова рассматривает характеристическое уравнение замкнутой системы. Выведем этот критерий. Разделим характеристическое уравнение системы (6.1) на коэффициент при высшей производной (при высшей степени p).

Это уравнение в общем случае имеет n комплексных корней

То есть мы можем разложить уравнение на множители:

Комплексное число может быть изображено на комплексной плоскости d, jω вектором, выходящим изначала координат (рис, 8-2).

Длина вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образуемый вектором с положительным направлением вещественной оси, – его аргументу, если вектор записан в показательной форме p_i=A_i·e ^jθ. Координаты точки, лежащей в конце вектора, дают возможность записать его в форме (8-7).

Множители (р-р_i) выражения (8-8) представляют собой разность векторов, которая геометрически изображается вектором, проведённым из конца вычитаемого вектора р_i­ к началу уменьшаемого р (рис. 8-3).

Так как вектор р – произвольное комплексное число, то оно может быть принято и чисто мнимым. Вектор, изображающий это число, совпадает с направлением мнимой оси. Множители, входящие в уравнение (8-8), будут иметь вид

При меняющейся величине ω разность (8-9) представляет семейство векторов, показанное на рисунке 8-4.

Проследим за поворотом вектора jω-p_i при изменении ω от 0 до бесконечности. Начало этого вектора находится в неподвижной точке, соответствующей концу вектора p_i. Конец вектора будет скользить по мнимой оси от 0 до +∞, а сам вектор будет поворачиваться вокруг конца вектора p_i в ту или иную сторону в зависимости от того, по какую сторону от мнимой оси расположен вектор p_i.

Если корень p_i вещественный отрицательный, то вектор разности jω-p_i при изменении ω от 0 до +∞ повернётся против часовой стрелки на угол +π/2.

Если корень p_i вещественный положительный, то вектор разности при изменении ω от 0 до +∞ повернётся по часовой стрелке на угол -π/2.

При комплексных сопряжённых корнях с отрицательной вещественной частью углы поворота составят , при корнях с положительной вещественной частью

Характеристическое уравнение (8-8) можно рассматривать как произведение векторов вида jω-p_i, представляющие собой новый вектор, модуль которого равен произведению модулей векторов множителей, а аргумент – сумме аргументов векторов множителей. При изменении ω от 0 до +∞ угол поворота вектора произведения будет равен сумме углов поворота векторов множителей.

В устойчивой системе в характеристическом уравнении которой все вещественные части корней отрицательны и их n штук, суммарный угол поворота будет равен πn/2. В случае сопряжённых комплексных корней дополнительные углы +γ и -γ взаимно уничтожаются. В неустойчивой системе, в характеристическом уравнении которой содержатся отрицательные и положительные вещественные части корней, суммарный угол поворота вектора произведения меньше πn/2.

Чтобы получить наш критерий устойчивости – достаточно построить АФЧХ. Для этого надо сделать следующее. В наше характеристическое уравнение подставить p=jω, а затем отделить мнимую и действительную часть.

В случае устойчивой системы, когда угол поворота вектора равен πn/2, годограф пройдёт через n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через начало координат (рис. 8-5, кривая 1).

Если система неустойчива, то общий угол поворота будет меньше πn/2 и годограф не пройдёт через n квадрантов (рис. 8-5, кривая 2).

Формулировки критерия Михайлова:

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке а_n‚ последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, – система устойчива.

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома F(jω) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол πn/2‚ где n — степень характеристического полинома, и нигде не становится нулём, – система устойчива.

Примеры годографов в зависимости от n.