Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники 80377

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

9.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Таблица 8

Характеристика некоторых континуальных КЭ

	Наименование КЭ	Форма КЭ, система координат, векто-	Компоненты напряжений в	Функции перемещений
		ры степеней свободы в узлах	точках
	Трехузловой тре-			u=α1+α2x+α3z
	угольный КЭ
	плоской системы			v=α4+α5x+α6z

	Четырехузловой			u=α1+α2x+α3z+α4xz
59	прямоугольный			u=α1+α2x+α3z+α4xz
59	прямоугольный
	КЭ плоской сис-			v=α5+α6x+α7z+α8xz
	темы			v=α5+α6x+α7z+α8xz
	темы

	Осесимметрич-
	ный пространст-			u=α1+α2x+α3z
	венный КЭ тре-
	угольного сече-			v=α4+α5x+α6z
	ния

			Продолжение табл. 8

Наименование КЭ	Форма КЭ, система координат, векто-	Компоненты напряжений в	Функции перемещений
	ры степеней свободы в узлах	точках

Тетраэдр, про-			u=α1+α2x+α3y+α4z
Тетраэдр, про-
странственное			v=α5+α6x+α7y+α8z
напряженное со-			v=α5+α6x+α7y+α8z
напряженное со-
стояния			w=α9+α10x+α11y+α12z
			w=α9+α10x+α11y+α12z

			u=α1+α2x+α3y+α4z+
Параллелепипед,			+α5xy+α6yz+α7xz+α8xyz
пространственное			v=α9+α10x+…
напряженное со-			v=α9+α10x+…
напряженное со-
стояние			w=α17+α18x+…
			w=α17+α18x+…

Окончание табл. 8

Наименование КЭ

Форма КЭ, система координат, векто-

Компоненты напряжений в

Функции перемещений

ры степеней свободы в узлах

точках

u=α1+α2x+α3z+α4xz+

+α

x2+α z2

Шестиузловой

треугольный КЭ

v=α7+α8x+α9z+α10xz+

+α11x2+α12z2

u=α1+α2x+α3z+α4xz+

+α

x2+α z2+α x2z+α xz2

Восьмиузловой

прямоугольный

v=α9+α10x+α11z+α12xz+

КЭ

+α

x2+α

z2+α

x2z+α xz2

2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных КЭ

Треугольный КЭ. Общий вид связи между узловыми перемещениями и силами в вершинах треугольника на рис. 27, б представляет собой матричное соотношение

{F}=[K]{U},

(2.10)

подобное (2.1), где {F} и {U} по-прежнему векторы-столбцы сил и перемеще-

ний в узлах КЭ:

FxaFxb

{F}= Fxc ,Fza

FzbFzc

UaUb {U}= Uc

, (2.11)

VaVbVc

[K] – матрица жёсткости, подобная (2.4), которую необходимо построить. Условно принимается, что в матричном соотношении (2.10) силы {F} не-

известны, а шесть перемещений {U} узлов заданы.

Исходными соотношениями для решения поставленной задачи (определения коэффициентов Kij, формирующих матрицу [K]) являются соотношения Коши (1.19), уравнения закона Гука (табл. 7) и координатные функции (2.5) с коэффициентами αk (k=1…6) в соответствии с уравнениями (2.7).

Построение уравнений связи между известными перемещениями {U} и неизвестными силами {F} осуществляется в три этапа.

1.Определение относительных деформаций. Подстановка функций (2.5)

вдифференциальные соотношения Коши (1.19) позволяет получить следующие значения относительных деформаций εх, εz, γxz:

= ∂u = α

;

= ∂v = α

;

= ∂u

∂v

= α

+ α

(2.12)

∂x

∂z

∂x

где α2, α3, α5, α6 – коэффициенты в соответствии с (2.7).

ε x

Соотношения между столбцами деформаций

{ε}= ε z

и {U} могут

γ xz

быть представлены в матричной форме:

{ε}=[В]{U},

(2.13)

где

zb − zc

zc − za

za − zb

[B]=

− x

(2.14)

xc − xb

xa − xc

xb − xa

zb − zc

zc − za

za − zb

− матрица соотношений Коши. Размерность матрицы [B] м–1.

2.Переход от деформаций к компонентам напряжений. Относительные деформации связаны с напряжениями σх, σz, τxz уравнениями закона Гука:

σ x	ε x
{σ }= [D]{ε} или σ z	= [D] ε z , {σ}=[D] [В]{U},	(2.15)

τ xz	γ xz

где [D] – матрица закона Гука из табл. 7 для плоской деформации.

Рассмотрим уравнения (2.5), (2.7) и (2.12) – (2.15). Перемещения u, v являются линейными функциями координат, относительные деформации {ε}, как первые производные перемещений, постоянны на всей площади треугольника. Компоненты напряжений, связанные с деформациями матрицей констант [D], также не изменяются от точки к точке, т. е. являются постоянными в пределах

треугольного КЭ.

3.Определение узловых сил по известным напряжениям. Заключительный этап построения матрицы жёсткости КЭ связан с получением уравнений связи между матрицами-столбцами напряжений {σ} и узловых сил {F}. В связи с невозможностью реализовать обычные условия равновесия при построении матриц жёсткости континуальных КЭ используется принцип Лагранжа минимума потенциальной энергии системы. В МКЭ использование принципа Лагранжа выражается в виде следующего матричного соотношения, которое (применительно к плоским системам) записывается без вывода:

{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS,

(2.16)

где t=1 м – толщина КЭ в условиях плоской деформации, S – площадь КЭ, [В]Т

– транспонированная матрица [В] со следующей записью:

			zb − zc	0	xc − xb
			zb − zc	0	xc − xb
			zc − za	0	xa − xc
Т		1	za − zb	0	xb − xa
[B]	=			xc − xb	zb − zc	.	(2.17)
[B]	=	2S	0			.	(2.17)
		2S	0
			0	xa − xc	zc − za
			0	xb − xa	za − zb
				63

Для треугольного КЭ с постоянными напряжениями на всей площади треугольника ∫∫SdS=S выражение (2.17) принимает вид

{F} = St [В]Т{σ}.

(2.18)

В развёрнутой записи соотношения (2.18) имеют следующий вид:

Fxa

[σ x (zb − zc ) + τ xz (xc − xb )], Fxb

[σ x (zc − za ) + τ xz (xa − xc )],

Fxc

[σ x (za − zb ) + τ xz (xb − xa )], Fza

[σ z (xc − xb ) + τ xz (zb − zc )],

Fzb

[σ z (xa − xc ) + τ xz (zc − za )], Fzc

[σ z (xb − xa ) + τ xz (za − zb )].

В окончательном виде матричное соотношение между узловыми силами и перемещениями узлов треугольника представляет собой следующее выражение:

{F} = St [В]Т [D] [В] {U}=[K]{U},	(2.19)
где
[K]= St [В]Т [D] [В] −	(2.20)

−матрица жёсткости треугольного КЭ.

Вразвёрнутой записи матрица (2.20) имеет следующий вид:

		Azbc2 +	− Azaczbc −	Azabzbc +	− Bxbczbc	Cxaczbc +	−Cxabzbc −
		+Gx2	−Gxacxbc	+Gxabxbc	− Bxbczbc	+Gxbczac	−Gxbczab
		+Gx2	−Gxacxbc	+Gxabxbc		+Gxbczac	−Gxbczab
		bc
			Azac2 +	− Azabzac −	Cxbczac +	− Bxaczac	Cxabzac +
			+Gx2	−Gxabxac	+Gxaczbc	− Bxaczac	+Gxaczab
			+Gx2	−Gxabxac	+Gxaczbc		+Gxaczab
			ac
				Azab2 +	−Cxbczac −	Cxaczab +	− Bxabzab
[K]=	t			+Gxab2	−Gxabzbc	+Gxabzac	− Bxabzab
	t			+Gxab2	−Gxabzbc	+Gxabzac		.	(2.21)
	4S				Axbc2 +	− Axacxbc −	Axabxbc +	.	(2.21)
	4S				Axbc2 +	− Axacxbc −	Axabxbc +
					+Gz2	−Gzaczbc	+Gzabzbc
					bc
						Axac2 +	− Axabxac −
						+Gz2	−Gzabzac
						ac
							Axab2 +
							+Gzab2
					64

В матричном		выражении (2.21) приняты следующие					обозначения:
xab=xa−xb, xbc=xb−xc, xac=xa−xc, zab=za−zb, zbc=zb−zc,						zac=za−zc; A, B, C,
G=E/2(1+ν) – коэффициенты, включающие параметры закона Гука. Для пло-
ской деформации
A =		E(1− v)	, B =	E	, C =	Ev		.	(2.22)
	(1+ v)(1− 2v)			2(1+ v)(1− 2v)		(1+ v)(1− 2v)

Размерность коэффициентов Kij – Нм-1, кНм-1.

Четырёхузловой прямоугольный КЭ. Исходной базой для построения матрицы жёсткости прямоугольного КЭ является схема на рис. 27, в и уравнения (2.8) функций перемещений с коэффициентами α1…α8 в соответствии с (2.9).

Для построения матрицы жёсткости необходимо получить соотношения [B], т. е. определить относительные деформации как частные производные уравнений (2.9) с подстановкой в них значений αk (k =1…8):

ε x =

∂U

= α2 + α4 z =

−U

∂x

∂V

Vb −Va

Vd + Va −Vb −Vc

ε z =

= α7 + α8 x =

∂z

∂U

+ ∂V

(2.23)

γ xz =

= α3 + α4 x + α6 + α8 z =

∂z

∂x

−U

−V

−V −V

x +

где l и m – размеры сторон прямоугольника.

В матричной форме эти соотношения выглядят так:

U a

ε x

{ε}= [B]{U};

{ε}= ε z ,

{U}= Ud

;

(2.24)

γ xz

− m + z m − z − z z

[B]=

0 0

− l + x

− x

l − x

(2.25)

− l + x

− x

l − x x − m + z m − z − z

где S = lm − площадь КЭ.

Матрица [B] может быть представлена как матричное произведение:

[B]= [L] [Q],

(2.26)

где

	1			0			0			0			0			0		0				0
		m		m			0			0			0			0		0				0
	− S			S			0			0			0			0		0				0
	−		l	0				l		0			0			0		0				0
	−		S	0				S		0			0			0		0				0
			S					S
		1		−	1		−		1		1		0			0		0				0
[Q]=		S		−	S		−		S		S		0			0		0				0		,	(2.27)
[Q]=		S			S				S		S		1			0		0				0		,	(2.27)
	0			0			0			0			1			0		0				0
	0			0			0			0			− m			m		0				0
															S	S
	0			0			0			0			−		l	0				l		0
	0			0			0			0			−		S	0			S			0
															S				S
	0			0			0			0				1		−	1	−			1		1
	0			0			0			0				S		−	S	−			S		S
														S			S				S		S
							1			0		z	0			0	0	0
						0	1			0		z	0			0	0	0
				[L] =		0	0			0		0	0			0	1	x		.					(2.28)
						0	0			1		x	0			1	0	z

Матрица [Q] выражает связи между столбцами {α} и {U} ({α}=[Q]{U}) в соответствии с (2.19) и включает только постоянные величины. Матрица [L] выражает связи между {ε} и {α} в соответствии с (2.23): {ε}= [L]{α}.

Транспонированная матрица [B] имеет вид:

			− m + z	0	− l + x
			− m + z	0	− l + x
			m − z	0	− x
			− z	0	l − x
[B]Т = [Q]T [L]T =	1		z	0	x	(2.29)
	1
	S		0	− l + x	− m + z
	S		0	− l + x	− m + z
			0	− x	m − z
			0	l − x	− z
			0	x	z
		66

Теперь не остаётся препятствий к тому, чтобы, руководствуясь соотношением (2.16), получить матрицу жёсткости четырёхузлового прямоугольного КЭ:

{F} = t∫∫S [В]Т{σ}dS= t∫∫S [В]Т [D] [В] {U}dS=[K]{U},

(2.30)

где

[K] = t∫[B]T [D][B]dS ;

(2.31)

−

C − G

G − C

−

− C

C − G

−

− Am

− G

G − C

−

+ Gl

G − C

C − G

−

[K ]= t ×

−

, (2.32)

−

Симмет −

рично

−

+ Gm

− Gm

+ Gm

где А, В, С – жёсткостные характеристики в соответствии с (2.22) и G=E/2(1+ν).

Восьмиузловой пря моугольный КЭ. Выше было рассмотрено построение матриц жёсткости простейших плоских КЭ: треугольника и прямоугольника с шестью и восьмью ст епенями свободы. Продолжим постр оение матриц жёсткости на примере более сложного КЭ – восьмиузлового прямоугольника с 16- ю степенями свободы в узлах. Покажем, что при любом уровне сложности КЭ процедура построения матрицы жёсткости остаётся одной и т ой же. Достаточно получить матрицу [B]=[L] [Q], и последующий математический процесс состоит только из перемножения, транспонирования готовых матриц и интегрирования в соответствии со следую щим выражением:

[K]=t∫∫S[B]T[D][B] dS = t∫∫S[Q]T [L]T [D][L] [Q] dS.

(2.33)

Запишем функции перемещений для восьмиузлового прямоугольника с 16ю степенями свободы в у злах (рис. 29):

u = α	1	+ α	2	x + α		3		z + α		4	xz + α		5	x2		+ α	6	z2		+ α	7	x2 z + α			8	xz2		,
	1		2			3				4			5				6				7				8
v = α		+ α			x + α				z + α			xz + α				x2 + α				z2 + α				x2 z + α					xz2	(2.34)
v = α	9	+ α	10		x + α		11		z + α		12	xz + α			13	x2 + α			14	z2 + α			15	x2 z + α			16		xz2	.
	9		10				11				12				13				14				15				16

Рис. 29. Восьмиузлов ой прямоугольник с 16ю степенями свободы в узлах; 1…16 – номера степеней свободы

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20227.77 Mб16Учебники 80372.pdf
#
01.05.20228.13 Mб2Учебники 80373.pdf
#
01.05.20229.29 Mб6Учебники 80374.pdf
#
01.05.20229.38 Mб22Учебники 80375.pdf
#
01.05.20229.39 Mб8Учебники 80376.pdf
#
01.05.20229.63 Mб5Учебники 80377.pdf
#
01.05.202210.41 Mб5Учебники 80378.pdf
#
01.05.202210.71 Mб3Учебники 80379.pdf
#
01.05.2022341.51 Кб6Учебники 8038.pdf
#
01.05.202211.07 Mб5Учебники 80381.pdf
#
01.05.202212.73 Mб23Учебники 80382.pdf