Учебники 80377

1, 2, 3…100 – номера узл ов, – номера КЭ,

– номера ин женерногеологически х элементов

Рис. 24. Примеры член ения расчётных схем (областей) на конечные элементы:

а – фрагмент полупространст ва, плоская деформация (прямоугольные КЭ); б – осесимметричная система (тело вращения) – свая круглого сечения, вдавливаемая в грунтовое основание осевой силой; стенка; 1 – пластинчатые КЭ, 2 – полосовая нагруз ка, 3 – буронабивная свая, 4 – плоскость (ось) симм етрии; 5 – кольцевой КЭ треугольного сечения, 6 – границы геологических слоёв

Рис. 25. Пл оский и пространственный стержневые КЭ с тремя (1, 2, 5) и шестью (1, 2, 3, 4, 5, 6) степенями свобод ы в узле

При идеализации п лоских и сплошных тел (сред) прилегающие друг к другу КЭ считаются шарнирно скреплёнными в узлах. Поэто му в узлах расчётных областей, напряжённ о-деформированное состояние кото рых соответствует условиям плоской задачи приняты степени свободы по направлениям осей X и

49

Z. Результатом расчёта таких систем являются нормальные σx, σz и касательные τxz компоненты напряжений (рисунок 26,а). В пространственных системах возможны перемещения по направлениям осей X, Y, Z, и в расчёте определяются все шесть компонентов напряжений: σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz (рис. 26,б).

На рис. 24,б изображено продольное сечение осесимметричной расчётной области (тела вращения) с кольцевыми КЭ треугольного сечения. Каждый узел такой системы имеет две степени свободы по направлениям X и Z, угловое перемещение относительно оси Z отсутствует. Определяемые компоненты напряжений (рис. 26,в) – σx, σz, σθ, τxz. Так как по векторам степеней свободы рассматриваемая задача не отличается от плоской, то и решается по аналогичной процедуре.

Как будет показано в дальнейшем, деление сплошных тел (сред) на КЭ не сопровождается разрывами на контактах. Задачи решаются так, чтобы условие совместности перемещений выполнялось не только в общих узлах, но и на границах КЭ. Поля перемещений в сплошных упругих (линейно деформируемых) телах (средах) являются непрерывными (согласованными), а поля деформаций, напряжений, углов поворота могут иметь (и чаще всего имеют) разрывы на границах КЭ.

а)

Рис. 26. Примеры плоских, пространственных и осесимметричного конечных элементов: а – плоские треугольные трёх- и шестиузловой КЭ, прямоугольные четырёх- и восьмиузловой КЭ с двумя степенями свободы в узле; б – пространственные КЭ: тэтраэдр и параллелепипед с тремя степенями свободы в узле; в – осесимметричный КЭ (фрагмент тела вращения) треугольного сечения с двумя степенями свободы в узле; 1, 2, 3 – векторы степеней свободы.

50

Связь МКЭ с методом перемещений. Наиболее известный проектировщикам и исследователям, применяемый в строительной механике вариант МКЭ основан на процедуре метода перемещений. Уравнения, связывающие перемещения узлов на концах (вершинах) КЭ и силы, действующие по направлениям этих перемещений, известны из теории и определены заранее. Эти соотношения формируют общую (глобальную) систему уравнений, выражающую равновесие сил и неразрывность перемещений в общих узлах контактирующих КЭ. Расчёт заключается в формировании и решении системы уравнений, неизвестными в которой являются перемещения свободных от связей узлов.

Применительно к стержневым расчётным схемам рассматриваемый способ реализации МКЭ может рассматриваться как матричная форма метода перемещений, отличающаяся долее глубокой формализацией алгоритма в связи

его ориентацией на использование ЭВМ.

Связь МКЭ с теорией упругости: общность и различия. В математической теории упругости существует ограниченное число решённых задач даже для однородных расчётных областей. Практическая значимость и привлекательность МКЭ связаны с возможностью получать решения научных и технических задач с любыми граничными условиями и такими усложняющими факторами как физическая неоднородность, взаимодействие с заделанными в ли- нейно-деформируемую среду стержневыми элементами, внутренние разрывы сплошности.

Как известно, в теории упругости используются три группы определяющих уравнений:

–закон равновесия в форме дифференциальных соотношений частных производных внутренних напряжений;

–линейные геометрические соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями, выражающие непрерывность и относительную малость перемещений;

–линейные физические уравнения (закон Гука) связи между напряжениями и относительными деформациями.

Кроме того, полученные решения должны удовлетворять уравнениям совместности Сен-Венана, выраженным через относительные деформации или напряжения.

В МКЭ (в отличие от теории упругости) статическое равновесие представлено уравнениями метода перемещений, выражающими равновесие узлов. Равновесие узловых сил и напряжений внутри КЭ описывается энергетически-

ми соотношениями по принципу Лагранжа со следующей формулировкой. Принцип Лагранжа. Если некоторое упругое тело находится в равнове-

сии под действием внешних сил, то из всех мыслимых вариаций перемещений материальных точек этого тела действительными являются те, при которых потенциальная энергия системы (т. е. тела и приложенных к нему сил) будет иметь стационарное (минимальное) значение.

51

В настоящем учебном пособии доказательство принципа Лагранжа не приводится, и основанные на нём соотношения МКЭ записываются без вывода.

Геометрические соотношения Коши используются в МКЭ в своей классической записи в соответствии с уравнениями (1.19) и (1.22).

В МКЭ уравнения закона Гука используются в обратной записи: напряжения определяются в зависимости от деформаций. Причина этого станет понятной при чтении п. 2.2.4. Матричная форма соотношений закона Гука, принятая в МКЭ, приводится в табл. 7.

2.2.Матрицы жёсткости конечных элементов

2.2.1.Общие положения

Рассмотрим построение матриц жёсткости КЭ, не касаясь пока вопроса о том, как они используются для решения задач МКЭ. Покажем это на примерах (рис. 27,а,б,в) стержня общего вида с тремя степенями свободы (связями) на концах, треугольного и прямоугольного КЭ плоской (плоское напряжённое состояние или плоская деформация) системы с двумя степенями свободы в каждой вершине.

52

а)

Рис. 27. Плоские конечные элементы (а – стержень общего вида, б – треугольник, в – прямоугольник), перемещения и узловые силы на их концах и вершинах

Предполагается, что действующие силы приложены только в узлах (1, 2 на рис. 27,а; a, b, с, d на рис. 27,б,в) и приведены к направлениям перемещений. Матрица жёсткости КЭ содержит коэффициенты уравнений, связывающих векторы сил и перемещений узлов по направлениям координатных осей.

2.2.2.Матрица жёсткости стержневого КЭ

Вобщем виде связь между перемещениями U1…U6 и узловыми силами F1…F6 (см. рис. 26,а) с постоянной жёсткостью растяжении-сжатии ЕА и изгибе EI выражается матричным соотношением

53

− матрица жёсткости КЭ. Каждый коэффициент Kij выражает реакцию (уз-

ловую силу) в закреплении по направлению i-й степени свободы (считая это закрепление неподвижным) на единичное перемещение Uj=1.

На рис. 28 показаны возможные перемещения Uj=1 (j=1…6) и вызывае-

мые ими силы Kij в закреплениях на концах стержня. Так, например, при U1=1

(рис. 28,а) K11=EA/l, K21=0, K31=0, K41=−EA/l, K51=0, K61=0. При U3=1 (рисунок 28,в) K13=0, K23=−6EI/l2, K33=4EI/l, K43=0, K53=6EI/l2, K63=2EI/l.

а) б)

Рис. 28. К построению матрицы жесткости стержня общего вида с шестью закреплениями на концах; а…е – усилия в закреплениях при перемещениях U1… U6; 1 – первоначальное положение стержня; 2 – деформированная ось; 3 – эпюра моментов

54

Полная запись системы уравнений (2.1), включающей матрицу жёсткости КЭ, имеет вид:

стержневых элементов с другими условиями закрепления концов.

2.2.3. Функции перемещений континуальных конечных элементов

Перейдём к рассмотрению матриц жёсткости плоских континуальных КЭ на рис. 27, б, в, в которых коэффициенты Kij по-прежнему обозначают реакции в закреплениях при единичных перемещениях узлов. Для того, чтобы выразить коэффициенты Kij через геометрические и физические характеристики конечных элементов, вводится допущение о форме уравнений (аппроксимирующих функций) для компонентов перемещений.

Выбор аппроксимирующих функций обусловливают следующие требования, которые станут понятными из последующего изложения:

1)количество коэффициентов в степенных полиномах, описывающих компоненты перемещений, должно быть равно числу степеней свободы (определяемых перемещений узлов) КЭ;

2)неразрывность перемещений не только в узлах, но и на границах КЭ; для этого показатели степеней членов полиномов должны быть на единицу

меньше числа узлов, скрепляющих контактирующие КЭ.

Здесь используется математическое правило о том, что через п точек можно провести одну кривую, изображающую полином (п–1) порядка, а через две точки – одну прямую.

Покажем построение функций перемещений на примерах простейших КЭ (трёхузлового треугольника и четырёхузлового прямоугольника) континуальных систем.

55

где S=½[(xa–xb)(za–zc)−(xa–xc)(za–zb)]=½(xbzc−xczb) – площадь треугольника.

В треугольных КЭ сплошность контакта на границах обеспечена в связи с линейным распределением перемещений. Поскольку смежные КЭ скреплены в двух узлах, то и смежные грани, проходящие через эти узлы, после деформиро-

вания остаются на одной (общей) прямой.

Прямоугольный КЭ. Для четырёхузлового прямоугольного КЭ с восьмью степенями свободы (см. рис. 27, в) функции перемещений записываются в

где обозначения u=u(x,z), v=v(x,z), x, z, а также αk, сохраняют те же значения, что в уравнениях (2.5).

Повторим изложенный выше способ определения коэффициентов αk для прямоугольного КЭ на рис. 26, в, принимая координатные функции в виде уравнений (2.8).

Отметим, что и в этом случае соблюдается равенство числа неизвестных коэффициентов αk (k=1…8) и степеней свободы узлов. Перемещения на границах распределены линейно, т. е. требование их совместности (непрерывности) выполняется.

Матричная форма уравнений для перемещений узлов имеет следующий

вид:

57

Системы уравнений (2.8) так же, как (2.6), разрешимы относительно αk. Для прямоугольного КЭ с началом координат в узле а решение имеет следующий вид:

где l и m – стороны прямоугольника на рис. 27,в.

В табл. 8 представлены формы и функции перемещений наиболее известных плоских и пространственных КЭ, используемых в расчётах конструкций и оснований. Минимальное число узлов (возможные перемещения которых являются степенями свободы) соответствует числу вершин геометрических фигур. Такие КЭ занимают первые пять строк таблицы. Количество неизвестных коэффициентов αk равно удвоенному (в плоских и осесимметричном КЭ) и утроенному (в пространственных КЭ) числу вершин. Функции перемещений являются полиномами первых степеней координат.

Последние две строки занимают примеры КЭ с удвоенным (по сравнению с минимальным) числом узлов. Функции перемещений в таких КЭ построены на основе многочленов второй степени каждой из переменных. Возможно дальнейшее повышение степени многочленов и увеличение числа узлов (степеней свободы) КЭ. Усложнение КЭ (увеличение числа узлов и повышение порядка уравнений, описывающих перемещения) позволяет повысить точность решения, т. е. эквивалентно увеличению частоты членения расчётной области.

58