Учебники 80377

Изменение угла в плоскости XOZ (см. рис. 16):

Аналогичным путём (при помощи проекций на плоскости XOY, YOZ) получим относительную деформацию εy и углы γxy, γyz.

Рис. 16. Проекция и перемещения элементарного объёма упругого тела

Положительные направления εx, εy, εz соответствуют удлинению по соответствующим направлениям, а γxy, γxz, γyz – уменьшению углов.

Уравнения закона Гука для сплошных изотропных расчётных областей имеют следующий вид.

Плоская деформация:

ε x = 1+Eν [σ x (1−ν )−νσ z ], εz = 1+Eν [σz (1−ν )−νσx ],

Пространственное напряженное состояние:

εx = E1 [σ x −ν (σ y + σ z )], εy = E1 [σy −ν(σx +σz )], εz = E1 [σz −ν(σx +σy )],

(1.24)

29

В уравнениях (1.23) и (1.24) обозначено: E –модуль де формации, ν – ко-

E

эффициент Пуассона (поперечной деформации), G = ( ) – модуль сдвига.

2 1+ν

Продолжим рассмотрение тех же постулатов применительно к условиям осесимметричного напряж ённого состояния и деформирования (рис. 17), принимая следующие обозна чения: U, V – составляющие перемещений в точке в направлениях радиальной X и вертикальной Z осей; εx, εz, εθ, σx, σz, σθ – относительные деформации и н апряжения в радиальном, вертикальном и тангенциальном направлениях; γxz, τxz – угловые деформации и касател ьные напряжения в плоскости XOZ; ε1, ε2, ε3, σ1, σ2, σ3 – главные относительные деформации и напряжения.

Рис. 17. Схема осесимм етричного напряженного состояния

Соотношения Коши и уравнения закона Гука:

второй инвариант девиатора деформаций:

30

Характеристики деформируемости грунтов. В рассматриваемых ниже расчётных моделях используются три деформационные характеристики грунтов: модуль деформации Е, модуль упругости Ее и коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) ν. Различие между модулями Е и Ее заключается в том, что первый из них отражает полную деформацию, состоящую из линейной и нелинейной (обратимой и необратимой) составляющих на допредельной стадии деформирования, второй отражает только упругую (восстанавливающуюся) часть деформаций, которая фиксируется при снятии и повторном приложении нагрузки.

Назначение деформационных характеристик относится к числу наиболее ответственных решений при проектировании, особенно в сочетании с численными методами, ведущими к расширению области использования деформационных расчётов. Существуют многочисленные таблицы (в том числе в приложении Б СП 22.13330.2011), связывающие модули деформации Е с физическими характеристиками грунтов. Табличные данные используются на практике в связи с ограниченными возможностями проведения специализированных ин- женерно-геологических изысканий при проектировании объектов средней технической сложности. В указанном нормативном документе предусмотрена возможность упрощённого назначения модуля упругости по соотношению Ее=5Е.

Для коэффициентов ν также существуют табличные значения, последний вариант которых содержится в табл. 5, повторяющей данные СП 22.13330.2011,

табл. 5.10.

Таблица 5

Коэффициенты поперечной деформации

Табличные данные в нормативно-методических документах отражают обширный эмпирический материал, основанный на полевых и лабораторных измерениях. Знание схем и способов проведения различных видов испытаний позволяет лучше понимать физическое содержание рассматриваемых характеристик, учитывать погрешности их измерений.

Одним из способов лабораторного определения деформационных характеристик является рассмотренный выше метод трёхосного сжатия образцов грунта по версии консолидированно-дренированного испытания. Модуль деформации и коэффициент поперечной деформации в опыте при постоянном значении напряжений σ1,2 определяются по формулам

поперечной и объёмной деформаций образца; ∆h, ∆V – абсолютные вертикальное и объёмное сжатие образца грунта с учётом поправки на сжатие камеры, h, V – начальные высота и объём образца.

Другими известными способами определения Е и ν являются следующие эксперименты. Лабораторные испытания: компрессионные, одноосные. Полевые измерения: штамповые, прессиометрические испытания, статическое и динамическое зондирование. Их описание не относится

к задачам настоящего издания.

Фазы напряжённого состояния грунтов. Диаграмма Прандтля. В

теории механики грунтов принято выделять две фазы напряжённодеформированного состояния грунта: 1) фазу уплотнения и локальных сдвигов; 2) фазу значительных сдвигов.

Первая фаза характеризуется преобладанием деформаций уплотнения, близкой к линейной зависимостью между напряжениями и деформациями, быстрым затуханием деформаций. Если оценивать напряжённое состояние грунта в соответствии с условиями текучести Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина, то на данной стадии площадки сдвига (пластические области) только зарождаются либо не образуются вообще. Состояние грунта оценивается как допредельное.

При возрастании величины и неравномерности нагрузки площадки скольжения соединяются, образуя развитые поверхности. Грунт переходит в близкое к предельному состояние, которому присущи разрывы

32

сплошности или образование обширных пластических областей с нелинейной связью между напряжениями и деформациями. Такое напряжённое состояние, если оно приближается к исчерпанию несущей способности или характеризуется прогрессирующей текучестью, является недопустимым.

При проектировании (расчётах) геотехнических объектов с использованием в качестве теоретической основы законов Гука, Кулона, уравнений Мора-Кулона, Мизеса-Шлейхера-Боткина принимается билинейная зависимость ε=f(σ), известная в теории как диаграмма Прандтля (рис. 18), позволяющая получить качественно верную, удовлетворяющую практическим требованиям картину напряжённо-деформированного состояния. Точка А на билинейной диаграмме изображает предел текучести. Условия деформирования грунта на наклонном и горизонтальном участках билинейной диаграммы качественно отличаются и описываются разными уравнениями.

Для наклонного участка ОА принимается модель линейнодеформируемого тела, описываемая обобщённым законом Гука и характеризуемая модулем деформации Е и коэффициентом Пуассона ν.

Рис. 18. Двухмерная аналогия зависимостей ε = f (σ ) к модели упругопластиче-

ского тела в соответствии с диаграммой Прандтля

В соответствии с уравнениями закона Гука направления векторов главных напряжений (σ1,2) и главных относительных деформаций (ε1.2) совпадают или (в терминах теории деформируемых тел) соосны, коаксиальны. Объёмная деформация в теле Гука

Девиатор напряжений {σ1–σm σ2–σm σ3–σm} не воздействует на объёмную деформацию.

Достижение предела текучести связано с наступлением предельного напряжённого состояния грунта в соответствии с уравнениями Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина. На горизонтальном участке диаграммы ОАВ чис-

33

ленные значения деформаций (перемещений) не определяются, а их векторы описываются соотношениями теории пластичности, которые рассматриваются

ниже.

Понятие о векторах пластических деформаций. Дилатансия. При решении смешанных задач теории упругости и пластичности требуется расчётное описание вектора относительных деформаций на ветви АВ (см. рис. 18) диаграммы Прандтля. При этом рассматриваются два вопроса: об ориентации осей тензора-девиатора деформаций и о влиянии формоизменения на объёмное деформирование.

На стадии пластического течения векторы главных напряжений и деформаций так же, как и на упругой стадии, принимаются соосными. Однако в этом случае рассматриваемое положение вводится не как следствие физических уравнений, а в качестве самостоятельного допущения, основанного на экспериментальных данных или полученного при помощи соотношений теории пластического течения.

Изложенные выше положения позволяют считать соосными векторы главных напряжений, линейных и пластических составляющих главных деформаций на всех стадиях деформирования элементарного объёма (точки) грунтовой среды.

Ещё одним положением теории деформирования на стадии пластического формоизменения является наличие дилатансии, т. е. изменения (как правило, увеличения, «разрыхления») объёма. Явление дилатансии при сдвиге грунтов зафиксировано во многих экспериментах и объясняется как следствие изменения взаимного положения («переупаковки») частиц грунта при формоизменении.

Пластическое деформирование элементарного объёма грунта в условиях плоской деформации происходит в соответствии со схемой на рис. 18 по уравнению

где ε1,2р – пластические составляющие главных деформаций; λ – малая скалярная величина; Λ* – параметр дилатансии, константа, отражающая изменение объёма при формоизменении (сдвиге) грунта в условиях плоской деформации. Из уравнения (1.32) следует, что

Наличие коэффициента Λ*≠0 отличает деформацию в соответствии с уравнени-

ем (1.32) от течения при постоянном объёме, где ε1,2p=± λ , а на площадках, на-

2

34

клонённых под углом 450 по отношению к осям главных напряжений, имеет

Рис. 19. Формоизменение и дилатансия элементарного объема грунта при пластическом деформировании:

1 – первоначальные размеры; 2 – сдвиг при постоянном объеме (Λ*=0);

3 – формоизменение с дилатансией (Λ*>0)

Ассоциированный и неассоциированный законы течения. Теория пластического течения связывает поле скоростей (приращений) пластических

где λ – неопределённый положительный коэффициент пропорциональности, малая скалярная величина. Пластический потенциал F(σij)=0 описывает в п- мерном пространстве напряжений некоторую поверхность. Математически зависимость (1.34) означает перпендикулярность вектора приращений (скоростей) пластических деформаций к линии или поверхности F=0.

В частном случае, если в качестве пластического потенциала принять уравнение текучести (1.7) или (1.20) F =Fр=0, соотношение

будет выражать ассоциированный закон течения. Данный термин связан с общей (ассоциированной) записью зависимостей, определяющих предельное напряжённое состояние и вектор пластического течения.

Уравнениям пластических потенциалов

35

F p = (σ1 − σ 2 ) + (σ1 + σ 2 ) sinϕ − c cosϕ = 0,

22

F p = I2 + aI1 − k = 0

можно придать более общий вид путём подстановки вместо sinφ и α параметров дилатансии Λ*, Λ, определяемых экспериментальным путём, выражающих линейную связь объёмных деформаций и формоизменения в условиях плоской деформации и пространственного напряжённого состояния. Новые соотношения [3]

описывают пластические потенциалы неассоциированного закона течения.

Из уравнений (1.34)–(1.37) следуют важные в практическом отношении зависимости. При F=0, определяемом уравнением (1.36), в условиях плоской деформации

Обратим внимание на то, что соотношения последней строки повторяют приведенные выше уравнения (1.32), (1.33) с графической иллюстрацией на рис. 19.

Графической формой уравнений (1.32)–(1.38) являются диаграммы на рис. 20, изображающие пластические потенциалы Fр=0 и F=0 и векторы ассоциированного и неассоциированного законов течения на плоскости главных напряжений σ1, σ2.

Рис. 20. Пластические потенциалы неассоциированного (ассоциированного) законов течения 1(2) и соответствующие им векторы пластических деформаций 3(4)

36

При F=0 в соответствии с (1.37) в условиях пространственной задачи

В соответствии с последним уравнением объёмная пластическая деформация Jр1=εр1+εр2+εр3=3λΛ, а выражение

Откуда следует

В научной литературе и некоторых программах расчётов геотехнических объектов используется термин «угол дилатансии», связывающий объёмную деформацию при сдвиге с деформацией сдвига ψ=arc tg Λ* (или Λ).

Следствием изложенного выше являются следующие кинематические свойства рассматриваемой модели:

–тензоры-девиаторы скоростей пластических деформаций и напряжений соосны (коаксиальны);

–пластические деформации формоизменения должны сопровождаться относительным увеличением объёма со скоростью λΛ* или 3λΛ.

Указанные выше положения подтверждаются большинством экспериментов, и их практическое использование можно считать пригодным для приклад-

ных задач. Обобщение большого числа опытных исследований (А. К. Бугров, 19801) позволило сделать вывод о том, что относительное увеличение объёма,

сопровождающее формоизменение, меньше или близко к значениям ассоциированного закона: в экспериментах с плотными грунтами Λ*=(0.87÷1.00)sinφ, а

вопытах с грунтами рыхлыми и средней плотности Λ*=(0.30÷0.50)sinφ.

1Бугров А.К. Напряжённо-деформированное состояние оснований и земляных сооружений с областями предельного равновесия грунта // Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. – Ленинград, 1980.

37

О сопротивлении грунта растяжению. При проектировании, а также реальном поведении сооружений возможны условия, когда на некоторой части грунтового массива возникает растяжение. Грунты слабо сопротивляются растягивающим напряжениям, в зонах их действия образуются трещины, отрыв поверхностей фундаментных конструкций от основания (например, при воздействии на сваю горизонтальной силы). В расчётах обычно принимается, что грунт работает только на сжатие, не воспринимает растягивающие напряжения, деформируется при их воздействии без сопротивления. Важным аргументом в пользу такого допущения является соображение о том, что даже в тех случаях, когда растягивающие напряжения незначительны и не вызывают разрывов, теряет силу закон внутреннего трения и модуль деформации значительно ниже, чем при сжатии.

1.5.Расчётные модели геотехнических систем

1.5.1.Упрощённые модели

Вдействующих нормативных документах и в практике проектирования геотехнических объектов используются две группы расчётных моделей (РМ), осно-

ванные на одном из наборов рассмотренных выше физических уравнений и изображаемые диаграммами 1 и 2 на рис. 21:

– модели теории линейного деформирования;

– модели жёсткопластических сред (теории предельного равновесия и предельного напряжённого состояния грунтовых оснований и массивов).

Вобеих теориях (группах теорий) общими и основополагающими являются условия равновесия, а также допущения о сплошности и изотропности расчётных областей.

Рис. 21. Двухмерная аналогия зависимостей ε = f (σ ) к моделям линейно де-

формируемого 1, жесткопластического 2 и упругопластического 3 тел

Следует иметь в виду, что диаграммы на рис.18 и 21 представля-

ют собой не реальные графики, а двухмерные аналогии зависимостей ε=f(σ). Общее число компонентов напряжений и деформаций в точке

(элементарном объёме) грунтовой среды больше двух (четыре, шесть, двенадцать) и, следовательно, не может быть изображено в виде точки на плоскости или трёхмерном пространстве.

38