П12=α12·Т=(α1-α2)·T, |
(3.19) |
где α1 и α2 абсолютные коэффициенты термо-ЭДС контактирующих веществ.
3.3. Эффект Томсона
Исследуя термоэлектрические явления, В. Томсон (лорд Кельвин) обнаружил, что, если проводник нагрет неравномерно, то при пропускании через него тока происходит выделение или поглощение тепла, которое либо добавляется к джоулевому теплу, либо вычитается из него.
Эффект Томсона объясняется следующим образом. Пусть конец 1 проводника (рис. 3.10) имеет более высокую температуру по сравнению с концом 2. В более нагретом конце проводника 1 тепловые скорости электронов больше, поэтому результирующий поток диффузии электронов направлен от 1 к 2. Иными словами, первоначально однородный проводник становится неоднородным, и поэтому явление Томсона представляет собой, в сущности, своеобразное явление Пельтье с той разницей, что в данном случае неоднородность вызвана не различием химического состава проводника, а градиентом температуры. Перенос носителей заряда от 1 к 2 будет сопровождаться выделением тепла, в противоположном направлении – поглощение.
Рис. 3.10. Эффект Томсона [24]
99
Явление Томсона подчиняется следующему закону. Если QТ – тепло Томсона, выделившееся за время t в объеме проводника V, тогда QТ/(Vt) – количество тепла, выделяющееся в единице объема за единицу времени. Известно, что эта величина пропорциональна градиенту температуры dT/dx и плотности тока, следовательно,
QT |
=τ |
dT |
j , |
(3.20) |
|
Vt |
dx |
||||
|
|
|
где j – плотность тока, τ – коэффициент Томсона.
Коэффициент Томсона зависит от природы материала и от его состояния, в частности, от температуры.
В случае малой разницы температуры на концах провод-
ника
QТ = τ∆ТjSt, |
(3.21) |
где S – площадь поперечного сечения полупроводника. Тепло QТ считается положительным, если оно выделяется. Величина коэффициента Томсона относительно мала. Так
для висмута при комнатной температуре t = 10-5 В/град. Взаимосвязь коэффициента Томсона с коэффициентами
термо-ЭДС и Пельтье осуществляется по следующему соотношению
τik |
= |
∂Пki |
−αik , |
(3.22) |
|
∂T |
|||||
|
|
|
|
называемому первым термодинамическим соотношением Томсона.
3.4. Эффективность термоэлектрических материалов
Ключевым элементом современных термоэлектрических устройств различного назначения являются полупроводниковые материалы, используемые как для прямого преобразования тепла в электрическую энергию, так и в так называемых тепловых
100
насосах (холодильниках и нагревателях). Эффективность термоэлектрического преобразования энергии определяется величи-
ной, называемой термоэлектрической добротностью (коэф-
фициентом Альтенкирха)
Z = |
σα2 |
, |
(3.22) |
|
χ |
||||
|
|
|
где σ − проводимость, α − термоэдс, χ − теплопроводность. Термоэлектрическая добротность Z зависит только от физических свойств материала имеет размерность обратной температуры. В частности, термо-ЭДС, удельная электропроводность и удельная теплопроводность и, соответственно, термоэлектрическая добротность являются функциями концентрации n свободных носителей. Качественно зависимость представлена на
рис. 3.11.
Часто термоэлектрическую добротность используют в виде безразмерной комбинации:
ZT = |
σα2T |
, |
(3.23) |
|
χ |
||||
|
|
|
где T − рабочая или средняя температура преобразователя, равная:
T = |
T1 + T2 |
|
|
2 , |
(3.24) |
где Т1 и Т2 − температуры горячего и холодного спаев соответственно. Формула (3.23) введена А. Ф. Иоффе. Она отражает тот факт, что при данной разности температур преобразование тепла в электричество будет происходить тем эффективнее, чем больше термо-ЭДС и чем ниже непродуктивные потери тепла в преобразователе: омические и за счет теплопроводности. Чтобы их минимизировать, нужна высокая электрическая проводимость и низкая теплопроводность термоэлектрического материала.
101
Рис. 3.11. Качественная зависимость электропроводности σ, коэффициента термо-ЭДС α и фактора мощности α2σ от кон-
центрации носителей n
Термоэлектрическая добротность непосредственно связана с эффективностью работы устройства, поэтому это очень удобный параметр для сравнения потенциальной эффективности преобразователей, использующих различные материалы. Значения ZT = 1 при комнатной температуре сегодня считаются хорошими; возрастание добротности до 2 ÷ 3 привело бы к увеличению КПД термоэлектрических преобразователей примерно до 20 % и к резкому расширению области их применения, а величина ZT около 3 ÷ 4 представляется достаточной для того, чтобы термоэлектрические устройства могли конкурировать по эффективности с электрическими генераторами и холодильными агрегатами обычной конструкции.
Из приведенных выше формул видно, что высококачественный термоэлектрический материал должен одновременно иметь высокую электропроводность, большую термо-ЭДС и низкую теплопроводность. Термо-ЭДС и электрическая проводимость определяются только электронными свойствами материала и поэтому их часто объединяют в величину, которую н а- зывают фактором мощности:
P = σα2. |
(3.25) |
102 |
|
Теплопроводность же есть сумма электронного вклада (χe) и решеточного вклада (χL):
. (3.26)
Следовательно, чтобы максимально увеличить термоэлектрическую добротность, электронная проводимость должна быть как можно большей при наименьшей теплопроводности.
Однако закон Видемана-Франца показывает, что проводимость связана с электронной теплопроводностью:
χe |
= L |
T |
|
σ |
|
||
0 |
, |
(3.27) |
где Lo − постоянная Лоренца.
Для статистики вырожденного газа носителей заряда (металлы) L0 имеет значение:
L0 |
= |
π2 |
k |
2 |
−8 |
Вт Ом |
, |
(3.28) |
3 |
|
= 2,44 ×10 |
|
К2 |
||||
|
|
e |
|
|
|
|
а для невырожденного газа (полупроводники):
|
|
k |
2 |
|
−8 Вт Ом |
|
||||
L0 |
= 2 |
|
|
|
= 1,48×10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
(3.29) |
||||||
|
|
|
|
К |
||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||
Увеличение электрической проводимости сопровождается не только увеличением теплопроводности, но и падением термоЭДС, так что оптимизировать величину ZT оказывается весьма непростой задачей.
Металлы имеют высокую электрическую проводимость, большую теплопроводность и низкую термо-ЭДС. Полупроводники и диэлектрики имеют, напротив, высокую термо-ЭДС и небольшой электронный вклад в теплопроводность, но концен-
103