Учебное пособие 800486
.pdf
66
ми сечениями. Угол закручивания |
|
участка вала длиной l |
определяется по |
||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
M |
к |
dz (радиан). |
|
(4.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 GJ p |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь Мк - аналитическое выражение крутящего момента; |
GJ p крутиль- |
||||||||||||
ная жесткость сечения вала; G |
модуль сдвига; |
J p |
полярный момент |
||||||||||
инерции сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для круглого сплошного сечения |
J p |
|
d 4 |
|
0,1d 4 |
, |
а для кольцевого |
||||||
32 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D4 1 |
c4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сечения J p |
|
|
0,1D4 |
1 c4 . |
|
|
|
|
|
|
|||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Мк = const и J p = const |
на длине l формула (4.6) преобразуется к |
||||||||||||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M к l |
. |
|
|
|
|
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
GJ p |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для ступенчатых валов или же для валов, у которых Мк меняется по длине скачкообразно (т.е. постоянен в пределах каждого из участков)
n |
M |
кi |
l |
i |
, |
(4.8) |
|
|
|
||||
i 1 |
GJ p |
|
||||
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
где M кi - крутящий момент на i - ом участке вала; |
li - длина i - ого участка |
|||||
вала; GJ p i - крутильная жесткость сечения i - ого участка вала; n – количе-
ство участков вала, расположенных между сечениями, угол закручивания которых определяется.
Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению
M к |
. |
(4.9) |
|
||
GJ p |
|
|
Условия жесткости вала записывают в виде
max |
или |
max |
.. |
(4.10) |
|
|
|
Здесь 
и 
- допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.
Из условий (4.10) проводят те же три вида расчетов, что и из условия прочности (4.3).
|
67 |
4.2. Расчеты на прочность и жесткость при кручении бруса |
|
круглого поперечного сечения |
|
Задача. |
К стальному валу приложены три известных момента: М1 = |
1100 Н м, М2 |
1300 Н м, М 3 1500 Н м (рис. 4.2), а длины участков равны |
а = 1,1 м, в = 1,3 м, с = 1,5 м. Требуется: 1) установить при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при значении 
= 60 МПа определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить до ближайшего целого стандартного размера; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1
м).
Решение.
1. Определим значения момента Х при котором угол поворота правого концевого сечения Е (рис. 4.2) равен нулю.
Угол поворота сечения Е равен сумме углов закручивания по участкам, расположенным между этим сечением и жесткой заделкой. Разобьем вал на участки, руководствуясь правилом, что границами участков являются сечения, в которых приложены скручивающие моменты, а также места резкого изменения геометрии сечения и интенсивности распределенных моментов. Согласно этому правилу вал следует разбить на четыре участка. Пронумеруем эти участки, начиная от концевого сечения Е (рис 4.2). Учитывая, что крутильная жесткость вала GJ р постоянна по его длине, угол поворота сечения
Е можно записать в следующем виде
|
1 |
M к1a M к 2 c M к3b M к 4 a . (4.11) |
||
Е |
|
|
||
GJ p |
||||
|
|
|||
Составляем для каждого из участков вала уравнения крутящего момента согласно выражению (4.2), рассматривая каждый раз отсеченную правую часть вала.
УчастокI.0 z1 |
a.М к1 |
Х . |
|
|
|
||
УчастокII.0 |
z2 |
c.М к2 |
Х |
M 3. |
|
(4.12) |
|
УчастокIII.0 |
z3 |
b.М к3 |
Х |
M 3 |
M 2. |
||
|
|||||||
УчастокIV.0 |
z4 |
a.М к 4 |
Х |
M 3 |
M 2 M1. |
|
|
Подставляя полученные выражения крутящих моментов в (4.11), получаем следующее уравнение для определения Х
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|
1 |
M1a M 2 |
a b M 3 a b c X 2a b c 0, |
||||||||
Е |
|
GJ p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х |
М 3 a b с M1a M 2 a b |
|
|
|
||||||||
|
|
2a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1500 1,1 |
1,3 |
1,5 |
1100 |
1,1 |
1300 1,1 |
1,3 |
304Н м. |
|||||
|
|
|
|
2 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M1 |
|
|
|
M2 |
M3 |
|
X |
Z |
|
|
z1 |
z2 |
|
|
|
|
z3 |
|
z4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
c |
a |
|
|
|
|
1204 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
304 |
|
|
(кН м м) |
|
|
|
104 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1196 |
|
b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.029 |
|
|
|
|
|
|
0.027 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
( рад) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
2. Построение эпюры крутящих моментов. Из выражений (4.12) сле- |
||||||||||||
дует, что крутящий момент постоянен на каждом из участков вала. Подставляя в эти выражения найденное значение момента Х и заданные значения
М1, М2 и М 3 , получим: Мк1 = 304 Н м, Мк2 = 304 – 1500 = 1196 Н м,
М к3 = 304 – 1500 +1300= 104 Н м, Мк4 = 304 – 1500 + 1300 + 1100 = 1204
Н м.
По этим данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.2б).
3. Определим теперь необходимый диаметр вала. Величину этого диаметра определяют в ходе проектного расчета, который проводят по формуле
(4.4). Учитывая, что для сплошного кругового сечения Wp 0,2d 3 , получим
формулу для расчета диаметра вала
|
|
69 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
3 |
|
|
M к |
. |
(4.13) |
||
0,2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Из анализа эпюры крутящих моментов следует, что крутящий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения на четвертом участке вала и равен 1204 Н м. Подставляя это значение в (4.13), получим
d |
3 |
1204 103 |
|
|
46,5 мм. |
||||
|
0,2 |
60 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(коэффициент 103 введен под знаком корня для перевода M к в Н мм) |
|||||||||
Принимаем d = 50 мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Построим эпюру углов закручивания |
. Построение этой эпюры на- |
||||||||
чинаем от заделки, т.е. от неподвижного сечения, |
А |
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Участок IV. Угол поворота произвольного сечения четвертого участка, положение которого определено координатой z4 , определяется углом закру-
чивания участка |
a |
z4 , расположенного между этим сечением и жесткой |
||||||||||
заделкой. Используя формулу (4.7) получим |
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
М к4 а z4 |
|
|
уравнение прямой. |
||||
|
|
|
|
|
GJ p |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что для стали G = 8 |
|
|
10 4 МПа, а J p 0,1d 4 - для сплош- |
|||||||||
ного кругового сечения, определим |
n |
|
|
в крайних сечениях четвертого участ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при z4 |
a ; |
4 |
|
A 0; |
|
|
|
|
|
|||
при z4 |
0; |
|
|
|
|
M k1a |
|
|
1204 103 1100 |
0,0265 рад. |
||
4 |
|
B |
GJ p |
|
|
|
8 104 0,1 504 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Участок III. Угол поворота любого сечения третьего участка определяется как сумма угла поворота B сечения В и угла поворота рассматриваемого сечения относительно сечения В.
3 |
В |
|
M k 3 b |
z3 |
(линейная зависимость). |
|
GJ p |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
В крайних сечениях участка получим: |
|||||
при z3 |
|
b : 3 |
B 0,0265 рад; |
||
|
|
|
70 |
|
|
|
||
z3 0 3 |
|
0,0265 |
104 103 |
1300 |
0,0292 рад; |
|||
C |
|
|
|
|
||||
8 104 |
0,1 504 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Участок II: Аналогично определим угол поворота произвольного сечения второго участка.
2 |
С |
|
M k 2 b |
z2 |
|
(линейная зависимость). |
|||||||
|
|
GJ p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На границах участка получим: |
|
|
|
||||||||||
при z2 |
с; 2 |
С |
|
0,0292 рад; |
|
|
|
||||||
z2 |
0; |
|
|
|
0,0292 |
1196 103 |
1500 |
0,0067 рад. |
|||||
2 |
D |
|
|
|
|
||||||||
8 104 |
0,1 504 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Участок I: Для угла поворота произвольного сечения первого участка получим выражение
|
|
M к1 |
a |
z1 |
(линейная зависимость). |
|||||
1 |
D |
GJ p |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На границах участка получим: |
|
|
|
|
|
|||||
при z1 |
a; |
1 |
D |
|
0,0067 рад; |
|
|
|
||
z1 0; |
|
|
|
0,0067 |
304 103 |
1100 |
0. |
|||
1 |
Е |
|
|
|
|
|
||||
|
8 104 |
0,1 504 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
По полученным значениям |
строим эпюру углов закручивания (рис. |
|||||||||
4.2,в).
5. Определение наибольшего относительного угла закручивания. Величина относительного угла закручивания определяется по формуле (4.9). Поскольку крутильная жесткость сечения вала GJ p const, то наибольшее
значение относительного угла закручивания будет соответствовать макси-
мальному крутящему |
моменту. |
Из эпюры |
Мк следует, что |
||||||||
M кmax |
M к 4 1204 Н мм. Тогда, согласно соотношению (4.9), получим |
||||||||||
|
|
M к 4 |
|
|
1204 103 |
2,4 10 |
4 1 |
0,24 |
1 |
. |
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
GJ p |
8 104 0,1 504 |
|
мм |
м |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 5.1. Основные понятия и зависимости
При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций используются геометрические характеристики поперечного сече-
|
|
71 |
|
|
|
|
|
ния бруса. К геометрическим характеристикам поперечного сечения бруса |
|||||||
относятся площадь F, статические моменты площади Sх , S у ; моменты |
|||||||
инерции сечения: осевые |
J х , |
J у ; полярный |
J р ; центробежный |
J ху . |
|||
Статические моменты площади (рис. 5.1) |
|
|
|
||||
|
Sx |
ydF, S y |
|
xdF. |
|
(5.1) |
|
|
F |
|
|
F |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
F |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
yc |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
||
Размерность статического момента |
единица длины в кубе (например |
||||||
см 3 ). Оси, относительно которых статические моменты равны нулю, назы- |
|||||||
вают центральными. |
|
|
|
|
|
|
|
Статические моменты относительно осей x и y (см. рис. 5.1) |
|
||||||
|
Sx |
F Yc , |
S y |
F |
Xc , |
|
(5.2) |
где X c ,Yc координаты центра тяжести сечения.
Для сложного (составного) сечения координаты центра тяжести определяют из выражений
|
m |
|
|
m |
|
|
|
Fi X ci |
|
|
FiYci |
|
|
X c |
i 1 |
, Yc |
i |
1 |
, |
(5.3) |
m |
|
m |
||||
|
|
|
|
|
||
|
Fi |
|
|
Fi |
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
где Fi , X ci ,Yci 
площади и координаты центра тяжести простой фигуры, входящей в сечение; m число разбиений.
72
Осевые (экваториальные) моменты инерции сечения (см. рис. 5.1)
J x Y 2dF, J y |
X 2dF. |
(5.4) |
F |
F |
|
Центробежный момент инерции сечения
J xy 
XYdF. (5.5)
F
Полярный момент инерции сечения
J p |
2 dF J x J y . |
(5.6) |
|
F |
|
Все моменты инерции сечений имеют размерность длины в четвертой степени.
При параллельном переносе осей координат, если исходные оси центральные, (рис.5.2)
|
|
|
|
|
|
|
J x |
J xc |
|
|
|
a2 F , |
|
|
|
|
|
|
|
|
J y |
J yc |
|
|
b2 F , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J xy |
J x |
c |
y |
c |
abF, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
J p |
J pc |
|
|
a2 |
b2 F. |
|
При повороте осей координат на угол |
|||||||||||||
J x |
|
|
J x cos2 |
J y sin 2 |
|
|
|
J xy sin 2 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J x |
|
J y |
cos 2 |
J xy sin 2 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J y |
|
|
J x sin 2 |
J y cos2 |
|
|
|
J xy sin 2 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J x |
|
J y |
cos 2 |
J xy sin 2 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J x y |
|
|
J x |
J y |
sin 2 |
J xy |
cos 2 |
, |
|||||
|
|
|
2 |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J px y |
|
J pxy , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J x |
|
|
J y |
J x |
J y . |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5.7)
J x J y
2
J x J y
2
(5.8)
|
|
|
73 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
yc |
|
|
|
y1 |
|
b |
|
|
|
dF |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
|
F |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Рис. 5.2
Две взаимноперпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными. Их положение по отношению к
произвольным осям X, Y определяется углом |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
tg2 0 |
|
2J xy |
|
. |
(5.9) |
|
|
|
|
||||
|
J y J x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Положительному значению угла |
0 |
соответствует поворот осей против хода |
||||
|
|
|
|
|
|
|
часовой стрелки. Ось, относительно которой момент инерции максимален,
составляет угол |
0 |
с той из исходных осей, относительно которой момент |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инерции больше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрические характеристики прокатных профилей (уголок, швел- |
|||||||||||
лер, двутавр и т.д.) даны в таблицах сортамента |
1 . |
|
|
|
|||||||
Осевые моменты инерции относительно главных осей называют глав- |
|||||||||||
ными моментами инерции сечения и определяются по формуле |
|
||||||||||
|
|
|
J x J y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Jmax, |
|
J x |
J y 2 |
4J xy2 . |
(5.10) |
|||||
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак плюс перед радикалом соответствует Jmax .
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции сечения. В дальнейшем эти оси бу-
74
дем обозначать через X и Y. Ось симметрии является главной центральной осью инерции сечения. Плоскость, проходящую через ось бруса и одну из главных центральных осей инерции сечения, называют главной плоскостью.
Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции сечения.
Моменты сопротивления относительно главных центральных осей
|
|
Wx |
J x |
, Wy |
|
J y |
, |
(5.11) |
|
|
|
ymax |
|
xmax |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где J x , J y |
главные центральные моменты инерции сечения; |
xmax , ymax |
|||||||
наибольшие абсцисса и ордината сечения, взятые по модулю. |
|
||||||||
|
Полярный момент сопротивления сечения |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
Wр |
|
р |
, |
|
|
(5.12) |
|
|
|
|
max |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
max |
расстояние от полюса (центра тяжести поперечного сечения) до |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наиболее удаленной точки поперечного сечения. |
|
|
|||||||
|
Размерность моментов сопротивления |
единица длины в кубе (на- |
|||||||
пример см 3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Порядок определения главных центральных моментов инерции для сложного (составного) сечения.
1. Вычерчивают сечение в масштабе. Проводят исходные (вспомога-
тельные) взаимно перпендикулярные оси координат X ' ,Y '. Иногда их проводят через центр тяжести одной из простых фигур, входящих в составное сечение. В некоторых случаях удобнее все сечения располагать в первой четверти, тогда все координаты центра тяжести простых фигур относи-
тельно вспомогательных осей будут положительны.
2. Разбивают сложное сечение на m простых фигур. Для стой фигуры определяют площадь, координаты центра тяжести носительно вспомогательных осей и проводят центральные оси
раллельные вспомогательным.
3. По формулам (5.3) рассчитывают координаты центра тяжести сложного сечения и проводят для него центральные оси, параллель-
ные вспомогательным.
75
4. Определяют или берут из таблиц сортамента осевые и центральные
моменты инерции J xcii , J ycii , J xciycii , для простых фигур, входящих в сечение, относительно собственных центральных осей.
5. Определяют осевые и центробежные моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей всего сечения
J |
i |
J |
i |
|
y' |
y'c |
2 F , |
|
|
|
|
xc |
|
xci |
ci |
|
|
i |
|
|
|
J |
i |
J |
i |
|
x' |
x'c |
2 F , |
|
(5.13) |
|
|
yc |
|
yci |
ci |
|
|
i |
|
|
|
J |
i |
|
J |
i |
|
x' |
x' |
y' |
y'c |
2 F , |
|
xcyc |
|
|
xciyci |
ci |
c |
ci |
|
i |
|
6. Рассчитывают осевые и центробежный момент инерции составного сечения относительно его центральных осей
m |
|
|
|
J xc |
J xci |
, |
|
i |
1 |
|
|
|
m |
|
|
J yc |
J yci |
, |
(5.14) |
i |
1 |
|
|
|
m |
|
|
J xcyc |
J xcyci . |
|
|
|
i 1 |
|
|
7.По формуле (5.2) определяют положение главных центральных осей инерции сложного сечения и проводят эти оси.
8.По формулам (5.10) рассчитывают значения главных центральных моментов инерции сечения.
5.2. Вычисление геометрических характеристик плоских сечений Задача. Для заданного поперечного сечения (рис. 5.3), состоящего из
швеллера № 30 и равнобокого уголка 160х160х10 требуется определить положение главных центральных осей инерции сечения и значения главных центральных моментов инерции.