Учебное пособие 800486

Рис. 2.2

1. Найдем нормальные силы (усилия) и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.

Используя метод сечений, мысленно вырежем брус АВ. Отбросив шарнирную опору А и заменим ее реакциями R1 и R2 . Рассекая стержни 1 и 2, заменим отброшенные части стержней нормальными силами N1 и N2 (рис. 2.2,а). Для приложенных к брусу АВ сил составим возможные независимые уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил на оси X и Y и алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки А:

сил N1 и N2 имеем только три независимые уравнения равновесия (статики). Это означает, что конструкция статически неопределима. Степень статической неопределимости n = 4 – 3 = 1. Следовательно, для определения неизвестных усилий, т.е. для раскрытия статической неопределимости, в дополнение к уравнениям статики необходимо составить одно дополнительное уравнение совместимости перемещений, устанавливающее геометрическую связь между удлинениями стержней. Для этого рассмотрим кинематику деформирования системы. Покажем два положения конструкции: до нагруже-

57

ния и при нагружении (рис. 2.2,б). При нагружении конструкции стержни 1 и 2 удлиняются и занимают положения CD1 и OB1 , а брус АВ поворачивается как абсолютно жесткое тело вокруг шарнира А и его точки описывают дуги окружностей. В силу малости перемещений можно заменить дуги окружностей касательными к этим окружностям, проведенными через точки D и B. Тогда точка D переместится в точку D1, а точка В в точку B1. Удлинение

BB1 AB .

DD1 AD

Отсюда с учетом (2.15) следует, что

Предельной будет нагрузка, при которой конструкция становится кинематически изменяемой, т.е. превращается в механизм.

Условная диаграмма растяжения в координатах ,для малоуглеро-

происходит заметное увеличение деформаций без заметного изменения напряжения. Поэтому введем упрощенную диаграмму растяжения (рис. 2.3,б): материал следует закону Гука вплоть до предела текучести Т , а затем рост деформации происходит при постоянном напряжении.

При постепенном увеличении нагрузки Q напряжения в обоих стержнях, следуя закону Гука, возрастают согласно формулам (2.20)и при некоторой нагрузке Q Q 1 напряжение в первом стержне достигает предела теку-

состоянию, называется предельной нагрузкой (предельной грузоподъемностью), при ней согласно диаграмме рис. 2.3,б происходит неограниченная деформация стержней и конструкция дополнительную нагрузку не воспринимает, несущая способность конструкции исчерпывается и она превращается в механизм.

на 8,5 , следовательно, с точки зрения более полного использования ресурса прочности материала расчет по несущей способности является более экономичным, чем расчет на прочность по допускаемым напряжениям.

Напряженно-деформированным состоянием в точке нагруженного твердого тела называется совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих на множестве площадок, проходящих через рас-

сматриваемую точку. Растягивающее (направленное от площадки) нормальное напряжение положительно, а сжимающее (направленное к площадке) – отрицательно. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремиться вращать элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности напряженной точки, по часовой стрелке отно-

60

сительно его центра. Согласно закону парности касательных напряжений, составляющие касательных напряжений, действующее на двух взаимноперпендикулярных площадках и нормальные к общему ребру, равны и направлены к ребру или от него.

Элементарные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Нормальные напряжения, действующие на главных пло-

Значения главных напряжений экстремальны. Если от нуля отличны все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным (объемным). Если от нуля отличается только одно из главных напряжений, то напряженное состояние называют одноосным (линейным).

Если от нуля отличны два главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным (плоским).

Величины главных (экстремальных) напряжений в случае плоского

где x , y - нормальные напряжения, действующие в направлениях коор-

динатных осей X, Y; x - касательное напряжение, параллельное оси X. Положение главной площадки определяется углом 0 , величина

которого находится по формуле

лении, в котором вектор касательного напряжения, действующего на этой площадке, стремиться вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

Максимальное касательное напряжение определяется по формуле

64

Кручением называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только крутящие моменты Мк (или

М z ).

Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mzi (парами сил), плоскости действия которых

перпендикулярны к его продольной оси Z. Брус, работающий главным образом на кручение, принято называть валом.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних (скручивающих) моментов определяются по величине передаваемой мощности и скорости вращения вала

где N – передаваемая мощность, заданная в киловаттах; n – частота вращения вала в оборотах в минуту.

Величины крутящего момента в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. Согласно методу сечений, крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения

M к слеваmzi справа mzi . (4.2)

Знак Мк физического смысла не имеет и общепринятого правила знаков не существует. В дальнейшем, для определенности, будем считать, что внешние (скручивающие) моменты направленные против часовой стрелки при взгляде со стороны внешней нормали к рассматриваемому сечению, дают в выражении Мк положительные слагаемые, а направленные по часовой стрелке – отрицательные слагаемые (рис. 4.1)

В поперечных сечениях вала при кручении возникают только касательные напряжения . Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения имеет вид

тельного напряжения; Wр полярный момент сопротивления сечения.

65

mZi

M K +

взгляд

Из условия прочности (4.3) выполняют три вида расчетов: проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (4.3).

Для выполнения проектного расчета (определение требуемых размеров сечения) из (4.3) получаем

Для проведения расчета грузоподъемности (определение допустимых значений скручивающих моментов) формула (4.3) преобразуется к виду

Определив из (4.5) максимальное значение Мк с использованием эпюры крутящих моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.

При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между эти-