Учебное пособие 800486

46

В дальнейшем рассматривается механическое напряжение. Внутренние силы распределены по сечению бруса в общем случае неравномерно. Обратимся вновь к рассмотрению правой отсеченной части бруса, площадь поперечного сечения которого равна F (рис. 1.3). Выделим в этом сечении в окрестности некоторой произвольной точки К достаточно малую площадку

F и обозначим равнодействующую внутренних сил, передаваемых через эту площадку, через P . Отношение P / F рср называют полным

средним напряжением на рассматриваемой площадке. Для определения истинного полного напряжения в точке К необходимо контур площадки стя-

Этот переход возможен, так как согласно гипотезе сплошности материала внутренние силы распределены непрерывно по всему сечению.

(1.2)

называется полным напряжением в рассматриваемой точке сечения. Произвольно ориентированный в пространстве вектор полного напряжения р для

удобства использования в расчетах обычно раскладывают на составляющие (см. рис. 1.3). Проекцию этого вектора на нормаль к площадке обозначают

и называют нормальным напряжением. Проекцию р на плоскость сечения

обозначают τ и называют касательным напряжением. Касательное напряжение τ, в свою очередь, раскладывают по двум взаимно перпендикулярным направлениям в плоскости площадки и получают и .

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальные силы, мерой интенсивности

47

которых является , стремятся сблизить или отдалить частицы материала друг от друга, что может привести к разрушению тела в результате отрыва частиц. Касательные внутренние силы, мерой интенсивности которых является τ, вызывают сдвиг частиц материала друг относительно друга, что может привести к разрушению тела в результате взаимного сдвига частиц. Как следует из (1.2), напряжение - это интенсивность внутренних сил, то есть величина внутренних сил взаимодействия, приходящихся на единицу площади, выделенной в окрестности рассматриваемой точки. Единицей измерения на-

пряжения является Паскаль н / м2 . Так как Паскаль очень малая величина, то в практических расчетах обычно используют более крупную величину – мегапаскаль МПа 106 Па н / мм2 . В дальнейшем предполагается, что в теле, свободном от нагрузок, напряжений нет, то есть используется, так называемая, гипотеза естественной ненапряженности.

1.4. Перемещения и деформации 1.4.1. Перемещения

Рассмотрим тело, на которое наложены связи таким образом, что перемещения этого тела как жесткого целого исключены (рис. 1.4). Такие тела называют кинематически (геометрически) неизменяемыми, и перемещения отдельных точек и сечений такого тела определяются только его деформацией. В дальнейшем рассматриваются только такие системы. Рассмотрим в недеформированном теле некоторую произвольную точку (частицу) А. В результате действия на тело уравновешенной системы внешних сил оно продеформируется, положение этой точки изменится и она переместится в положение А1. Вектор S, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец в этой же точке деформированного тела, называется вектором полного линейного перемещения этой точки (частицы). Проекции полного линейного перемещения на координатные оси x, y, z называются линейными перемещениями точки по осям и обозначаются через u x , u y и uz (см. рис. 1.4) или u , v и

w .

48

Рис. 1.4

Подобно линейным можно вывести в рассмотрение и угловые перемещения. Рассмотрим достаточно малый линейный элемент тела, занимающий до нагружения положение ВС, а после приложения нагрузок – В1С1. При деформировании тела рассматриваемый элемент поворачивается. Угол поворота элемента называется угловым перемещением, он характеризуется вектором, который тоже можно разложить по осям x, y, z . Таким образом, угловое перемещение – это угол между направлениями элемента соответственно до и после деформирования.

1.4.2. Деформации

Деформацией называют изменение формы и размеров тела под действием нагрузок. Рассмотрим количественные меры деформации. Выделим в недеформированном теле линейный элемент АВ и обозначим его длину через l (рис. 1.5). Длину этого же элемента после деформирования (длину отрезка А1В1) обозначим через l1 .

Рис. 1.5

Величину

49

(1.3)

называют линейной деформацией или относительным удлинением в точке А в направлении АВ. Таким образом, в соответствии с (1.3) линейной деформацией в точке А в направлении АВ называют предел отношения приращения длины отрезка АВ к его начальной длине при устремлении точки В к точке А.

Рассмотрим далее в недеформированном теле два взаимно перпендикулярных линейных элемента АВ и АС (см. рис. 1.5). После деформирования эти элементы займут положение А1В1 и А1С1.

Величину

(1.4)

называют угловой деформацией или углом сдвига в точке А в плоскости АВС. Таким образом, в соответствии с (1.4) угловой деформацией в точке А в плоскости АВС называют предел разности углов ВАС и В1А1С1 при устремлении точек В и С к точке А.

1.5. Закон Гука и основные принципы сопротивления материалов 1.5.1. Закон Гука

Основные свойства материала или его математическая модель в сопротивлении материалов определены законом, открытым в 1676 году английским механиком Робертом Гуком, который экспериментально установил, что удлинение струны прямо пропорционально величине подвешенного на ней груза. Согласно закону Гука в пределах упругости перемещение S пропорционально вызвавшей его нагрузке Р

S кР,

(1.5)

где к – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала, формы тела, положений точки приложения нагрузки и точки, перемещение которой определяется.

Закон Гука является приближенным. Для одних материалов, например, для стали, его можно считать достаточно точным, а для других, например, для чугуна, его можно принять только в грубом приближении.

50

В современной трактовке закон Гука устанавливает пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям. Именно в такой форме закон Гука и будет использован нами в дальнейшем.

1.5.2. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)

Принцип независимости действия сил непосредственно следует из закона Гука и является одним из основных принципов (основополагающих утверждений) сопротивления материалов.

Согласно принципу суперпозиции перемещения, деформации и напряжения, возникающие в упругом теле при действии на него системы нагрузок, не зависят от порядка приложения нагрузок и равны суммам перемещений, деформаций и напряжений от действия каждой из нагрузок в отдельности.

Принцип независимости действия сил позволяет свести сложную задачу к ряду простых и в дальнейшем он широко используется при рассмотрении сложного сопротивления.

1.5.3. Принцип начальных размеров

В сопротивлении материалов рассматриваются малые по сравнению с размерами тела перемещения.

Согласно принципу начальных размеров в случае малых деформаций и перемещений при составлении уравнений равновесия тело можно рассматривать как жесткое, имеющее начальную форму и размеры.

1.5.4. Принцип Сен-Венана

Согласно принципу, введенному французским механиком Барри СенВенаном, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации не зависят от способа приложения нагрузки.

В соответствии с этим принципом характер приложения нагрузки влияет на распределение деформаций и напряжений лишь в области, распространяющейся на величину порядка ширины сечения. В дальнейшем будем считать, что эта область исключена из рассмотрения.

Применение изложенных упрощающих гипотез и принципов позволяет получить приближенные решения целого ряда задач, которые очень сложно, а иногда и невозможно решить в строгой постановке. Проверка достоверности решений, получаемых с использованием введенных гипотез и принципов, осуществляется путем сопоставления расчета и эксперимента.

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

51

2.1. Основные понятия и зависимости

Растяжение (сжатием) называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные силы N. Нормальная сила в рассматриваемом сечении прямого бруса равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех нагрузок, расположенных по одну сторону от этого сечения. Растягивающая внешняя сила дает положительную нормальную силу, сжимающая – отрицательную. Положительная нормальная сила направлена от сечения, а отрицательная - к поперечному сечению бруса. Прямой брус, работающий на растяжение или сжатие, называют стержнем.

В поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле

где N – нормальная сила в сечении стержня, F – площадь поперечного сечения стержня.

Абсолютное удлинение (укорочение) стержня при его нагружении в упругой области определяется согласно развернутому закону Гука

где k – число участков стержня.

При Ni const, Ei Fi const в пределах каждого из участков из (2.3) как частный случай следует формула

Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня равно удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями.

Условие прочности при растяжении (сжатии) записывают в виде

52

где - допустимое напряжение.

Из условия прочности (2.5) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет сводится к непосредственной проверке соблюдения условия (2.5).

Проектный расчет заключается в определении требуемой площади поперечного сечения стержня и производится по формуле

Расчет грузоподъемности проводится для определения допустимых величин нагрузок. При этом из условия (2.5) определяют допустимое значение нормальной силы

статики устанавливают допустимые значения приложенных к стержню нагрузок.

Системы, состоящие из элементов имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые.

Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений равновесия, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для их определения, называется степенью статической неопределенности системы – n.

Для определения усилий в статически неопределимых системах необходимо составить помимо уравнений статики уравнения совместности перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании развернутого закона Гука. Необходимое число этих уравнений равно n, т.е. степени статической неопределимости системы.

Определение усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, осуществляют в следующей последовательности.

1. Отбрасывают связи, заменяя их неизвестными усилиями и реакциями, воспользовавшись методом сечений.

53

2.Составляют независимые уравнения статики, содержащие известные усилия и устанавливают степень статической неопределимости системы.

3.Рассматривают систему в деформированном состоянии, устанавливают связь между деформациями и перемещениями отдельных ее элементов и составляют уравнения совместимости перемещений.

4.Входящие в уравнения совместности перемещений абсолютные удлинения стержней выражают с помощью развернутого законов Гука через действующие в них усилия и получают уравнения, содержащие неизвестные усилия.

5.Решая систему, состоящую из уравнений статики и уравнений совместности перемещений, определяют неизвестные усилия.

Рис. 2.1

Решение.

Перемещение сечения 1-1 равно абсолютному удлинению части стержня, расположенной между этим сечением и жесткой заделкой. Для определе-

54

ния удлинения этой части необходимо знать величины нормальной силы в поперечных сечениях стержня.

1. Определим нормальные силы в сечениях заданного ступенчатого стержня.

Разбиваем стержень на участки. Учитывая, что границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, а также места резкого изменения геометрии поперечного сечения и интенсивности распределенной нагрузки, получим три участка. Пронумеруем их, начиная от свободного конца стержня (рис. 2.1,а).

Поместим начало отсчета координаты z в крайнем нижнем сечении стержня и направим ось OZ вверх.

Рассмотрим первый участок 0 z1 с. Мысленно рассечем стержень на две части поперечным сечением, отстоящим на расстоянии z1 от нижнего (свободного) конца стержня. Оставим для рассмотрения нижнюю часть стержня, а действие отброшенной верхней части на нижнюю заменим нормальной силой N 1 , приняв ее положительной (рис. 2.1,б). Тогда выражение для N 1с учетом правила знаков можем записать в виде

2.Найдем перемещение сечения 1-1.

Сечение 1-1 удалилось от заделки на 1,49 10 2 мм, т.е. второй и третий участки стержня растягиваются.

2.3. Статически неопределимые системы Задача. Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирную непод-

вижную опору А и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров (рис. 2.2). Требуется:

1)найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

2)найти допускаемую нагрузку Q 1, приравняв большее из напряже-

ний в двух стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа;

3) найти предельную грузоподъемность системы QТК и допускаемую

Числовые данные: F = 1,5 10 3 м 2 ; a = 2 м; b = 3 м; с = 1 м.

Решение В рассматриваемой конструкции брус АВ считается абсолютно жест-

ким, то есть недеформируемым. Стержни 1 и 2 деформируются. Но их деформации в пределах рассматриваемых нагрузок являются малыми. Собственным весом стержней будем пренебрегать по сравнению с переданными на них от бруса АВ нагрузками, тогда стержни работают на растяжение и нормальная сила в каждом из стержней одинакова во всех его поперечных сечениях.