Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800486

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

146

					d 1					F 1		1,55		см.
					d 1				5,125			1,55		см.
									5,125
Тогда максимальная жесткость стержня
						277,15					277,15			178,8.
				1
								d 1			1,55


По таблице 8.2 для стали Ст. 3, применяя линейное интерполирование,
находим
'				170		180					1,2	0,19			0,21 0,19	1,2	0,1924.
1		180									1,2	0,19		10		1,2	0,1924.
1		180			10
					10
Напряжение в поперечном сечении стойки
								Р	100 103				80 МПа.
				1
							F1				1250


Допустимое напряжение на устойчивость
						'			0,1924 160					30,78 МПа.
			y 1			1			0,1924 160					30,78 МПа.
			y 1			1
Перенапряжение стержня
				1				у 1			80	30,78		49,22 МПа.
				1				у 1
Так как		1	и	у 1	отличаются существенно, то делаем следующее
		1		у 1
приближение, принимая
			0,5			'			0,5 0,5			0,1924 0,3462 и т.д.
	2		0,5	1		1			0,5 0,5			0,1924 0,3462 и т.д.
	2			1		1

Итерационный процесс продолжаем до тех пор пока не будет соблюдено условие

n y n 0,1 МПа. Результаты вычислений представлены в таблице 8.3. Таблица 8.3

№		F, см 2	d, см			, МПа
прибл.		F, см 2	d, см			, МПа
прибл.

1	0,5	12,50	1,55	178,8	0,1924	49,22

2	0,3462	18,05	1,88	147,7	0,3292	27,3

3	0,3377	18.50	1,89	145,8	0,3368	0,35

4	0,3373	18,53	1,90	145,7	0,3372	0,014

147

Таким образом, окончательный размер d = 1,9 см. так как гибкость подобранного стержня = 145.7 100, то критическое напряжение рассчитываем по формуле (8.2)

	2Е	3,14 2 2 105	92,98 МПа.
кр
	2	145,7 2


Определяем критическую силу
Ркр кр F		92,98 1853 172300 Н 172,3кН.

Рассчитаем коэффициент запаса устойчивости по формуле (8.1)

пу Ркр 172,3 1,723.

Р100

9.НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

9.1.Учет сил инерции при оценке прочности элементов конструкций

9.1.1.Основные принципы расчета

Воснове расчета лежит принцип Даламбера, согласно которому элемент конструкции приводят в состояние мгновенного равновесия путем присоединения сил инерции к действующим на него активным силам.

Приложив к элементу конструкции активные силы и силы инерции, определяют внутренние силовые факторы, вид деформирования, напряжения

иперемещения так же, как и при статическом нагружении.

При расчетах тел, вращающихся с постоянной угловой скоростью, влияние на прочность центробежных сил инерции значительно больше сил собственного веса, поэтому их обычно не учитывают.

9.1.2. Расчет на прочность с учетом сил инерции Задача. Валик и жестко соединенный с ним ломаный стержень, того же

поперечного сечения, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси АВ (рис. 9.1,а).

Требуется:

1)построить эпюру изгибающих моментов от сил инерции, возникающих на вертикальном (СD) и горизонтальном (DЕ) участках ломаного стержня (силы инерции самого валика и собственного веса всех элементов конструкции ввиду их малости не учитывать);

2)найти допускаемое число оборотов валика в минуту.

148

Числовые

данные:

100

МПа,

7,8 10

Н/мм 3 ,

l / 2

200 мм, l2

400 мм, d = 20 мм.

Решение.

Расчет на прочность вращающегося с постоянной угловой скоростью

валика АС и жестко соединенного с ним ломаного стержня CDE проводят

согласно схеме плоской рамы на двух шарнирных опорах А и В, заменяющих

опоры вращения (рис. 9.1,б). На раму действуют только инерционные на-

грузки.

Определение инерционных нагрузок.

На горизонтальном участке ED сила инерции равномерно распределе-

на по всей его длине (рис. 9.1,б). интенсивность инерционной нагрузки на

этом участке q(г)

определим по формуле

q(г)

3,14

202

7.8 10

1 10 3

2 (Н/мм).

400

4 9800

б)

C 0,4

N(H)

0,35

140

Mx(Н мм)

D 0,2

в)

г)

Рис. 9.1

На участке CD инерционные силы направлены вдоль оси стержня CD.

Интенсивность инерционных сил на этом участке изменяется по линейному

закону от нуля (в точке С) до максимума (в точке D) (рис. 9.1,б).

149

Обозначим через z координату произвольного сечения участка CD (рис. 9.1,б). Тогда закон изменения интенсивности сил инерции по длине этого участка можно записать в виде

q(в)	d 2	z	2	2.5 10 6		2 z Н/мм (0	z l		).
q(в)		z		2.5 10 6		2 z Н/мм (0	z l	2	).
и	4g							2
	4g
при z = 0 (т. С) q(г)			0, при z = l		2	(т. D) (q(г) )	max	1 10 3 2
	и				2	и	max

(Н/мм).

Покажем инерционные нагрузки на расчетной схеме, обозначив через

q q(г)	q в	1 10 3 2 Н/мм (рис. 9.1,б).
и	и max
2.	Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Как известно,		в общем случае нагружения в поперечных сечениях

плоской рамы возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N, изгибающий момент М х и поперечная сила Qy . Поскольку при оценке прочности и жесткости рамы влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, ограничимся построением эпюр N и М х .

Определим реакции опор, записав уравнение равновесия рамы

0, отсюда Rz

0 .

ql (2l

)

0. Отсюда R

0,75 2 (Н).

ql (l

)

Отсюда R

0,35

2 (Н).

Проверка:

0,35

0,75

0,2 2

0,2

Таким образом, реакции найдены верно.

Разбиваем раму на участки и записываем аналитические выражения N

и М х по участкам.

Участок АВ: 0

z1 l = 400 (мм)

N 1

0,35

2 z .

При z

M 1

0, z

A 1

M x1

140

2 (Н мм).

Участок ВС: : 0

l = 400 (мм)

N 2

M 2

(l z ) R z

150

При z2

M x2

140

2 (Н мм);

l; M x2

20 2 (Н мм).

Участок СD: : 0

l = 400 (мм)

q z z3,

где

q z

qz3

Тогда окончательно по-

лучим N 3

0,4

1,25 10 6

2 z2.

M 3

2l R l 20 2 (Н мм).

При

0,4

(Н); z

200

мм, N

0,35

(Н);

400 (мм), N 3

0,2

2 (Н).

Участок DЕ: 0

l1 = 200 (мм)

N 4

M x4

qz2

При

M x4

l ;

20 2 (Н мм).

По этим данным строим эпюры N и М х (рис. 9.1,в и рис. 9.1,г) 3. Определение допускаемого числа оборотов вала.

Анализ эпюр N и М х показывает, что сам валик АС и горизонтальный

участок DE ломаного стержня подвергаются изгибу, а вертикальный участок CD испытывают изгиб с растяжением.

Допускаемое число оборотов валика можно определить из условия прочности рамы:

N	M x	,

F	Wx
F	Wx

где N и М х - нормальная сила и изгибающий момент в наиболее нагруженных сечениях, а W х и F – соответственно осевой момент сопротивления и площадь поперечного сечения.

Поскольку N и М х зависят от , то условие прочности позволяет определить допускаемое значение угловой скорости - .

151

Анализ эпюр N и М х показывает, что наиболее нагруженными (пред-

положительно опасными) являются сечения В ( М х = 140

2 , N = 0 ) и се-

чение С вертикального участка CD ( М х

= 20

2 , N = 0,4

2 ), где наблю-

даются максимальные значения М х и N соответственно. Подставляя в усло-

вие

прочности значения

N и

М х

этих

сечениях и учитывая, что

d 2

314 мм 2 , W

0,1 d 3 =

800

мм 3 ,

получим два неравенства:

23,9 (сек 1) и

61,5 (сек

1). Выбирая из этих значений наименьшее,

получим

= 23,9 (сек

1).

Допускаемое число оборотов валика рассчитываем по формуле

23,9

228 (об/мин).

3,14

9.2. Колебания системы с одной степенью свободы 9.2.1. Основные понятия

Во многих случаях нагрузки, действующие на упругие системы, переменны во времени и вызывают их колебания. При изучении колебаний упругих систем, последние различают по числу степеней свободы. Под числом степеней свободы понимают число независимых координат, определяющих положение системы.

Различают собственные и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимают движение, которое совершает система, освобожденная от внешнего активного силового воздействия и предоставленная самой себе. Под вынужденными колебаниями понимают движение упругой системы, происходящее под действием периодически изменяющихся во времени внешних сил, называемых возмущающими.

Колебания (как собственные, так и вынужденные) характеризуются периодом и частотой. Период Т – это промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями системы от положения равновесия.

Величина 1Т , обратная периоду, называется частотой. Частота измеря-

ется в герцах и характеризуется числом колебаний в единицу времени. В тех-

нике чаще используют понятие круговой частоты 2 Т , представляю-

щей собой число колебаний за 2секунд. Частота собственных колебаний

152

системы с одной степенью свободы (без учета затухания) определяется по формуле

1		g	,	(9.1)
0
		11Q
	11m

где 11 - перемещение колеблющегося тела весом Q и массой m под действием статически приложенной единичной силы; g – ускорение свободного падения.

При наличии линейного затухания, когда сила сопротивления пропорциональна скорости, частота собственных колебаний упругой системы равна


1	2	n2 ,	(9.2)
1	0

где n – коэффициент затухания.

При вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы под действием возмущающей силы, меняющейся по гармоническому закону H (t) H0 sin t, где H0 - амплитудное значение возмущающей силы, -

круговая частота ее изменения, амплитуда вынужденных колебаний определяется по соотношению

A		H0	11				стн		стн	, (9.3)

			2				2
		2	2	4n2 2		2	2	4n2 2
	1	2		4n2 2	1	2		4n2 2
	1	2	4		1	2		4
		2	4			2		4
		0	0			0		0

где стн - перемещение системы от действия амплитудного значения возмущающей силы H0 , приложенной статически;

A			1			- коэффициент нарастания колеба-


стн		2	2	4n	2 2
			2

	1

		2			4
		2			4
		0			0

ний.

Коэффициент нарастания колебаний показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний А больше статического перемещения стн , вызванного амплитудным значением возмущающей силы H0 . Когда

больше или меньше	0	в 1,5 – 2 раза можно принять n 0 и считать
	0

153

	1		.		(9.4)

		2
	1
	1
	0
При совпадении частоты собственных колебаний				0	с частотой воз-
				0
мущающей силы	возникает явление резонанса. При резонансе аплитуда

колебаний достигает недопустимо больших значений, что может привести к разрушению системы. Таким образом, она должна быть рассчитана так, чтобы опасность резонанса была исключена.

Обычно считают, что «отстройка» от резонанса обеспечена, если				от-
личается от	0	на 30 . Поскольку	в большинстве случаев следует рас-

сматривать	как величину, заданную и не подлежащую изменению, то «от-
стройку» от резонанса осуществляют варьированием 0 . Это значит,				что

система должна иметь определенную жесткость. Таким образом расчет системы на обеспечение работы в режиме, достаточно далеком от резонансного представляет собой, по существу, расчет на жесткость.

Максимальные перемещения при колебаниях определяются по соотношению

			стн
max	стQ A стQ стн	стQ 1		стQ К g ,

			стQ

(9.5)

где стQ - статическое перемещение, возникающее от собственного веса системы или веса установленных на ней агрегатов; величину

К g 1	стн	1	H	(9.6)

	стQ		Q

называется коэффициентом динамичности при колебаниях.

Напряжения, как и перемещения, при вынужденных колебаниях периодически изменяются во времени. Амплитудные напряжения а определяются по соотношению

		а	стн ,	(9.7)
где	стн - напряжение, возникающее в системе при статическом приложе-
нии амплитудного значения возмущающей силы H0 .
	Амплитудные напряжения накладываются на			средние напряжения
m	стQ	от действующих на систему статических нагрузок (собственный

154

вес системы или вес установленных на ней агрегатов). По напряжениям	а	и
	а

m в случае необходимости можно выполнить расчет системы на усталост-

ную прочность. Максимальные напряжения, возникающие в упруго колеблющейся системе определяются из условия

	стQ 1	H		Kg .
g max m a стQ стн			стQ
g max m a стQ стн		Q	стQ
		Q

(9.8)

9.2.2. Расчет на прочность при колебаниях Задача. На двух балках двутаврового сечения установлен двигатель ве-

сом Q (рис. 9.2), делающий n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна Н. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать. Требуется найти:

1)	частоту собственных колебаний	0 ;
2)	частоту изменения возмущающей силы		;
3)	коэффициент нарастания колебаний			1			(если коэффи-

					2
			1
			1	0
				0
циент	, определяемый по этой формуле, окажется отрицательным, то в
дальнейшем расчете следует учитывать его абсолютную величину);
4)	динамический коэффициент К g	1	стн	1		H		;
			стн
			стQ			Q
						Q

5)	наибольшее нормальное напряжение в балках			g		Kg стQ .
Числовые данные:

двутавр № 20, l = 2 м,	Q = 20 кН, Н = 10 кН, n = 600 об/мин, I x = 1840
см 4 , Wx = 184 см 3 , Е = 2 10	5 МПа.
	Решение.

1. Находим частоту собственных колебаний системы с одной степенью свободы по формуле (9.1)

0 11Q .

					155
Здесь прогиб		11	сечения балок в месте установки двигателя от стати-
		11
чески приложенной вертикальной единичной силы. Определяем его по спо-
собу Верещагина (рис. 9.2,б)
			1 1 l l 2 l			1	l		l 1				2l 3
	11	2ЕI x					l						81EI x
	11			2 3 3 3 3 2 3 3
				2 3 3 3 3 2 3 3
			2 8 109			5,37 10				5	мм		.
	81 2 105			1840 104		5,37 10					Н		.
	81 2 105			1840 104							Н
													a)
					l				l/3			Q
					l				l/3
	1												1
	3												1
	3
													б)
								l				M X1
	Q						3					M X1
	Q
	3
													в)
							Ql					M XQ
									3			M XQ
									3
					Рис.9.2
Тогда			9,81 103			95,57			1		.
Тогда	0	5,37 10		5	20 103	95,57			сек		.
	0

2. Так как вертикальная составляющая центробежной силы инерции Н,
возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двига-
теля, представляет собой периодическую силу, меняющуюся по гармониче-

скому закону H (t) H0 sin t, она вызывает поперечные колебания балки

в вертикальной плоскости. Тогда частота изменения возмущающей силы будет равна

2 n		2 3,14 600	62,8	1	.
60	60
				сек

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20223.3 Mб6Учебное пособие 800480.pdf
#
01.05.20223.31 Mб3Учебное пособие 800481.pdf
#
01.05.20223.33 Mб7Учебное пособие 800482.pdf
#
01.05.20223.35 Mб1Учебное пособие 800484.pdf
#
01.05.20223.35 Mб1Учебное пособие 800485.pdf
#
01.05.20223.36 Mб10Учебное пособие 800486.pdf
#
01.05.20223.4 Mб2Учебное пособие 800487.pdf
#
01.05.20223.42 Mб4Учебное пособие 800488.pdf
#
01.05.20223.48 Mб17Учебное пособие 800489.pdf
#
01.05.2022376.18 Кб3Учебное пособие 80049.pdf
#
01.05.20223.48 Mб11Учебное пособие 800490.pdf