Учебное пособие 800463

После подстановки

P

и

можно записать

P1

1

T

2k

M 2

sin2

k

1

k

1

2

1

.

(218)

T

k

1

1

k

1

k

1

k

1 M 2

sin2

1

1

Рис.66

6.6.6.Ударная адиабата

(адиабата Гюгонио)

При изоэнтропном сжатии газа

P

c

k плотность растет неограниченно при

неограниченном увеличении Р.

Для получения уравнения ударной адиабаты исключим из Р/Р1 и

/ 1

величину

М12 sin2

2

1

k

1 M

2 sin2

M 2 sin2

,

откуда

k

1

2

1

1

1

2

М12 sin2

k

1

1 .

(219)

k

1

k

1

1

Подставим М12 sin2

в формулу Р/Р1 :

k

1

1

P

k

1

1

.

(220)

P1

k

1

k

1

1

Ударная адиабата имеет асимптоту k

1 и

k

1

равна нулю при

k

1 .

k

1

т. А соответствует волне возмущения АВ – скачок уплотнения, число М1 рас-

тет с продвижением вверх по адиабате АС – скачок разрежения.

Тепло остается в трубке тока – нет передачи тепла, поэтому

к

1

.

1

мач

к

1

ка по обе стороны от скачка пользуются

Р0

- коэффициент восстановления

Р01

k

k

k

Р1

k 1 2

Р

k 1 2

k 1 1

k

1

k

1

k 1

1

;

1

= 1

(221)

1

P01

к 1

P0

к 1

к 1

2

1

k

k

1

k

1

1

2

P0

1

поэтому

2

k

1

.

(222)

P01

1

k

1 1

1

k

1

2

1

где

f (k, 1 )

f (k, M1 ) .

P0

P01

за счет необратимых потерь – в газе

«застревает тепло» – тепло не может без допол-

нительных затрат полностью преобразоваться в

кинетическую энергию.

Коэффициент

можно связать с изменением

энтропии.

Так как на скачке Т 01

Т 0 ,

то для эн-

тропии можно записать:

P01

.

S 2

S1 R ln

P0

Рис. 68

Следовательно,

P0

exp

S2

S1

.

(240)

P01

R

90

Ударная поляра – кривая, устанавливающая связь между вектором скорости

за скачкомV

и вектором скорости до скачка V1 .

Из рисунка ctg

Vy

,

V1

Vx

Vx

V cos

Vn sin

(234)

V

V1 cos

;Vn1

V1 sin .

Так как V V

a2

k

1V 2

,

n1

n

kp

k

1

то:

2

k

1

2

2

2

akp

V1

cos

V cos2

k

1

2

V cos2

akp

. V

sin

(235)

x

1

V sin

k

1

1

V

1

1

a

2

Vx

kp

V

cos2

cos2

Отсюда: cos2

, но

ctg 2

.

2

1

sin2

1

cos2

k

1V1

Подставим в ctg выражение cos

:

a 2

Vx

kp

ctg 2

V

Vy2

.

(236)

2

1

akp2

V1

Vx

2

k

1V1

Vx

V

1

Решая относительно Vy , получим:

a 2

Vx

kp

V1

V 2

(V

V

x

) 2

.

(237)

y

1

2

akp2

1V1

Vx

k

V

1

Задаваясь значениями V x получим кривую третьего порядка с осью симметрии

V x

- строфоида (гипоциссоида). Эта кривая определяет положение концов век-

тора скорости после скачка (см. рис. 70 ).

Кривая

имеет

асимптоту

V

2

V

akp2

x

.

k

1

1

V

1

(238)

Вертикальная составляющая

V обращается в ноль

(Vy

0 ) в двух случаях:

1)

V1

Vx -

скорость до и после скачка одинакова,

т.е.

скачок

вырождается в

волну

возмущения

(

).

2)

a 2

или VV a

- прямой скачок, т.е. V

имеет

V

x

kp

kp

V1

1

минимальное значение при заданной V1 .

Из

уравнения

неразрывности: V1n

.В силу

Vn

1

2 ;

tg

tg

1 .

Заменяя

через М

1

2

1

1

:

1

k

1 M12

sin2

tg

2

tg .

k

1 M12 sin2

2

(240

Т.к. tg tg(

) , то

tg ctg

M 2 sin2

1

.

(241)

1