Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800463

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

или вводя

P=R Т

P2			k	S2	S1
		2	exp			.	(177)
P1	1			CV

Из (177) видно, что давление Р0, плотность			0 , соответствующие Т0, зависят
от того процесса, по которому идет переход от состояния Р1, 1,Т1 к Р0,									0, Т0.
Принято за Р0 и						0 – параметры тормо-
жения (полные) принимать те, которые по-
лучаются при изоэнтропическом изменении
состояния, т. е. n=k и поэтому
P	T		k		P	T	1
		k 1		;			k 1	.	(178)

P0	T0					T0
					0
Следует отметить, что полученное таким
образом Р0			будет наибольшем давлением
при уменьшении V до нуля.
Рис. 47.

Р0, 0,Т0 – можно понимать как расчетные параметры, которые можно получить, если поток полностью затормозить без необратимых преобразований механической энергии. При этом Т0 как следует из (176) определяет полную энер-

гию потока и постоянна для всего потока; В силу (178) Р0 и

0 так же постоянны

для всего потока.

6.5.3. Характерные скорости

Используя соотношение

RT и

уравнению энергии (175) можно

придать различные формы:

V 2

const ;

(178)

k 1

V 2

const или

V 2 const ;

(179)

V 2

const .

(180)

Из уравнений (178) – (180) следует, что при рассмотрении одного из состояний

газа, соответствующего параметрам торможения, V=0; P=P0; =

0; a=a0 можно

записать

k 1

2(h

h )

2С (T T )

a 2 a 2 .

(181)

p 0

k 1

При расширении потока до полного вакуума Т = Р =

=а =0, значение V=Vmax.

(182)

2C T

max

При V=Vmax происходит полное преобразовании энтальпии в кинетическую энергию (Т=0). Это теоретический физический предел (в то время как критические параметры вполне реальные физические величины).

Запишем (179) для двух сечений

k 1

V 2

разделим на а 2

V 2

(183)

a02

2a02

a02

Vmax2

С увеличением скорости потока

от V=0 до V=Vmax местная скорость звука уменьшается по закону эллип-

са от скорости звука в покоящемся газе а0 до нуля.

akp

Из условия V=a определяется критическая скорость акр.

Рис.48.

a02 aкр2 1

k 1

. aкр

k 1

Vmax

Vmax .

k 1

(184)

Уравнение энергии позволяет найти соотношение между параметрами газа в двух сечениях трубки тока. Для расчетов удобно ввести сечение, соответствующее заторможенному потоку V=0. Для любого адиабатического потока

V 2

k 1 V 2

k 1 2

2C T

V 2

k 1 a2

k 1

p 0

max

(185)

V 2

; V

C T C

max

2C T

p 0

где

- безразмерный коэффициент скорости.

akp

Найдем пределы изменения М,

и Л

V=0,

М=0,

=0,

Л=0;

Vmax

V=Vmax,

a=0, М= ,

Л=1.

akp

Связь между критерием подобия М и коэффициентом скорости устанавливается непосредственно из соотношений:

																												80
		M 2		V 2								V 2						2							2

					a 2				a	2			k 1		V		2		k 1		1			k 1 2
					a 2					2			k 1				2		k 1					k 1 2
										0
													2											k				1

																																.		(186)
2			V 2									V 2								k 1								M 2				.		(186)

			akp2				2			a	2			k 1		V		2		2			1			k 1				M	2
																												2
						k	1					2																2
											6.5.4. Основные газодинамические функции
К основным ГДФ относятся																				Т		;		Р			;				от М(			).
К основным ГДФ относятся																						;					;				от М(			).
																				Т 0				Р0						0
Функция температуры
	T			1				k		1		2 ;						T		M										1			.	(187)
	T0			1				k		1		2 ;						T0		M					1				k	1	M	2	.	(187)
	T0							k		1								T0											k	1		2
																													2
																													2

Эти соотношения справедливы для любого энергоизолированного потока. Функции давления и плотности

P	1	k		1

P0		k		1
P0		k		1
	1		k	1

0			k	1
			k	1

		k
2						P			1
2	k		1	; M		P			1
	k		1

						P0					k
											k
								k	1 M 2		k	1
						1		k	1 M 2


									2
	1
2									1
2		k	1		;				1
		k	1

						1	k		1 M 2	1
										1

						0				k		1
										k		1

									2

		(188)
Функции		и служат только для изоэнтроп-
ных течений, S=const.
Рис.49
ГДФ табулирована для различных k	C p	C . Из соотношений (187) и (188)
ГДФ табулирована для различных k		C . Из соотношений (187) и (188)
		V

легко находятся критические параметры Ткр, Ркр, кр, соответствующие условию

=М=1

Tkp

Pkp

;

k 1

;

k 1

	1
2
2		k 1	.	(189)

k	1
k	1

6.5.5. Функция расхода

Для характеристики расхода газа вводят понятие плотности потока массы j=

равное массе газа, протекающего через единицу площади сечения в единицу

времени. Плотность потока массы удобно характеризовать безразмерным от-

ношением

, которое как это следует из уравнения

kp akp Fkp , опре-

kpVkp

делят отношение F

Для изоэнтропического течения

Fkp

k 1 k 1

k 1 2

k 1

kp akp

akp

k 1

(190)

k 1

k 1 M 2

2 k 1

j M

kp akp

В некоторых расчетах плотность потока

массы j( ) удобнее иметь в виде выраже-

ния,

котором

явно

выделено

Р:

1 k

kp akp

k 1 k

(191)

где

1 k

Рис.50

6.5.6.Функция импульса

Плотность потока импульса – количество движения секундной массы газового потока К на единицу площади сечения трубки F, где давление Р, плотность и скорость V.

K PF

P V 2 .

(192)

Отнесем эту величину к удвоенному скоростному напору

V 2

Выразим М через :

M 2

V 2 F

V 2

kM 2

k 1

получим

1 1

(193)

V 2 F

Отсюда следует K

V 2 F

1 .

1 k 1 .

(194)

m a

где z 1 - ГДФ.

В ряде случаев удобно выразить импульс через полное давление Р0 и статическое Р

P 1 kM 2

1 2

k 1 1 kM 2

k 1 j

(195)

P0 F

где

k VFV

P 1 M 2

FP0

kFP

a 2 ,

M 2

V 2 .

k 1

kM 2

(196)

Обозначая через Ккр значение К при =1, можно получить

K		1	z	(197)
K kp	2

Рис.51.

6.5.7.Газодинамические функции от Р/Р0

k 1

Так как

(198)

1 1

То M 2

1 ;

(199)

a 2 k

При этом

;

(200)

k 1

Fkp

(201)

6.5.8.Режимы изоэнтропического течения газа через сопло

Обозначим mkp массу протекающего газа, когда в Fmin V = akp, а через m массу газа протекающего через любое сечение F сопла, когда в Fmin V akp

Запишем

kp akp

k 1

m 2

k 1 k 1

Fkp

k 1

1 .

mkp k 1

k 1

mkp

k 1 2

mkp

(202)

Построим график

для

Fkp

различных m .

Рассмотрим случай, когда m = mкр

Fmin = Fкр. Пусть Fa –заданное вы-

ходное сечение. Тогда в выходном

сечении

могут

быть

давле-

ния Ра 1 иРа 2 .Если в выходном сече-

			нии давление равно		Ра			Ра	Р0 ,
			нии давление равно		Ра	1		Р0	Р0 ,
								Р0

									0
			то давление по оси непрерывно
			уменьшается пока не достигнет ми-
			нимального значения Ра				и	V 1	1 .
							1
			Этот режим расчетный. Если в вы-
			ходном
Рис.52			сечении давление равно Ра 2					Ра	Р0 ,
Рис.52			сечении давление равно Ра 2					Р0	Р0 ,
								Р0	2
									2
то кривая	F	достигнет минимума равного единице при		Р	Ркр			, а затем
то кривая	Fkp	достигнет минимума равного единице при		Р0	Р0		кр	, а затем
	Fkp			Р0	Р0
давление снова начинает расти до			Ра 2 , а скорость уменьшается до V 2						2 .

Поток всюду дозвуковой, кроме сечения Fmin , где он приобретает скорость звука. В случае, если в сопле протекает m<mkp давление на входе (при заданном Fa

) определяется точками С1 и С2 и равно

Ра

Р0

или:

С 1

Р0

С1

Ра

Р0

. При уменьшении

от 1 минимум

не будет достигнут,

С 2

Р0

Fkp

С2

так как в точке

уже будет получено наименьшее значение.

при дав-

Fmin

		84
лении	P	. Поток в минимальном сечение достигнет минимальной (дозвуко-

	P0
	P0

вой ) скорости V akp и затем давление будет расти до (Ра / Р0)С2 с уменьшением скорости до значения скорости на выходе VC2 C2 . Поток будет дозвуковым.

В случае m>mkp пересечение линий	F	с кривой	F	f	P	дает точки 1и
В случае m>mkp пересечение линий		с кривой		f	P	дает точки 1и
	F		F		P0
	kp		kp
2. Ни при каком давлении на выходе минимальное значение						F	=1 не может
2. Ни при каком давлении на выходе минимальное значение							=1 не может
						Fkp

быть достигнуто. Сопло не может пропустить массу газа m>mkp . Это явление называют запиранием потока.

		При m=mkp
	Если давление на выходе Ра меньше Ра					1	, то происходит дорасширение газа и
						1
соответствующее увеличение скорости будет происходить вне сопла.
	Если давление на выходе Ра : Ра			1	Pa		Pa	2	, то газ в сверхзвуковой части со-
				1				2
пла полностью расширяется до Ра			1	, соответствующего непрерывному
			1

Рис.53

увеличению скорости не может. Опыт показывает, что в этом случае в некотором сечении (до выхода из сопла) давление скачком вырастает до Ра, а скорость уменьшается от сверхзвуковой до звуковой. При этом чем больше противодавление, тем ближе скачок к критическому сечению.

6.6.Скачки уплотнения.

Процесс образования скачков лучше представить при рассмотрении изменения состояния газа в бесконечно длинной цилиндрической теплоизолированной трубе с покоящимся поршнем. Сообщим поршню мгновенную скорость V в

момент t 0 . При движении поршень сжимает газ перед собой и вызывает разрежение в области за торцом. Сжатие газа будет распространяться по трубе. Создавая мгновенные скорости поршню в момент t 1,2,3,4,... будем иметь совокупность следующих друг за другом слабых волн возмущения, распространяющихся со скоростью звука a kRT , при этом каждая последующая волна перемещается по сжатому предыдущими волнами газу. Но сжатие газа сопровождается нагревом газа и последующая волна будет распространяться быстрее относительно невозмущенного газа, чем предыдущая. Слабые волны возмущения будут догонять друг друга, суммироваться и образовывать волну конечной интенсивности – ударную волну.

За поршнем разрежение так же будет распространяться волновым образом, но в этом случае волны уже не могут догонять друг друга, т.к. движение происходит в газе, охлажденном предыдущей волной. Скорость распространения последующей волны меньше скорости предыдущей волны. Таким образом, в теплоизолированной системе волна разрежения не возможна.

Математически – скачок разрыва параметров на линии ударной волны. Если отобразить движение – сообщить системе скорость движения ударной волны, то ударная волна окажется как бы останов- ленной. Неподвижная ударная волна – скачок уплотнения. Если плотность скачка нормальна к направлению потока, то скачок называют прямым. Если плотность скачка наклона к на-

правлению потока – косой скачок. Рис.54

6.6.1.Основные уравнения теории скачков уплотнения.

В основе теории лежат основные законы механики – сохранение массы, импульса, энергии.

Получим уравнения для F 1. Имеем фронт скачка уплотнения и проведем касательную в произвольной точке А. Форма скачка известна, также известны параметры газа до скачка.

Разложим скорость на нормальную к фронту скачка и касательную, соcтавляющие скоростиVn1 и

V 1 . В точке А выделим кон-

трольную повехность на скачке

площадью равной единице.

1. Закон сохранения массы

1Vn1 = ρVn (203)

2. Теорема об изменении количества движения

1Vn1(Vn1-Vn) = P – P1 = проекция на нормаль

1Vn1(V 1-V ) = 0 – проекция на касательную. Так как давление вдоль фронта скачка не меняется, то V 1 = V . (204)

Скачок уплотнения – скачок нормальной составляющей скорости.

3. Закон сохранения энергии.

При прохождении через скачок полная энергия не меняется, происходит только перераспределение различных видов энергии – кинетическая энергия уменьшается, теплосодержание растет. Так как полная удельная энергия не меняется, то

const; a2

(205)

const;T

const,V

const;

C р

max

kp k

max

Запишем уравнение энергии в виде

a 2

k 1

a 2

k 1

V 2 .

(206)

4. Уравнение состояния газа P = R

(207)

Система из 4-х уравнений позволяет определить значение параметров за скачком по их значениям перед скачком.

6.6.2.Скачок скорости

Из теоремы об изменении количества движения имеем

Vn		Vn		P	P1
Vn		Vn		Vn	1Vn
1				Vn	1Vn
1
					1
	a 2		a12	k Vn	Vn
Vn		Vn		k Vn	Vn
Vn		Vn		1
				1
		1

,											(208)
или	a 2V	n	a 2V	n	kV V	n	V	n	V	n	.
		n	1	n	n	n		n		n
		1				1		1

Используя для a 2

и a12 уравнение энергии (205), представляя V 2` Vn2

V 2 и по-

лагая, что V

получим

k 1

a 2

k 1

V 2 V

kV V

(209)

n n

Разделим на

V V

, получим

n n

V V

a 2

V 2 .

(210)

Если скачок прямой

=90 , то V = 0 получим уравнение Прандтля

V V

или

= 1 .

a 2

Откуда V kp - после прямого скачка, скорость всегда дозвуковая ( 1)

При 90 скорость V будет больше а но меньше V1.

6.6.3.Скачок плотности

Из уравнения сохранения массы

			Vn					Vn2							V 2 sin				2						,
				1					1							1									,
				1					1							1
		1		Vn			VnVn							2				k 1					2
									1					akp								Vc
									1									k	1


т.к. V 2						V 2			V			2		V 2				V	2		sin2				, то
							1				n					1	1
												1
a		2			k 1		V	2				2 k 1							a		2			k 1			V	2		k 1		V		2	sin		2			2	a	2	k 1	V	2	sin	2
a		kp					V												a		kp						V					V			sin						a	1		V		sin
		kp			k	1				k				1			2				kp				2		1		2				1						k	1		1	2	1
					k	1				k				1			2								2				2										k	1			2
	Отсюда												k			1			V 2 sin2												k		1				M 2 sin2					.					(212)
	Отсюда																					1															1					.					(212)
																						1															1
														2			2			k 1					2	sin		2	2					1		k 1		M	2	sin	2
									1								a1								V1	sin								1				M	1	sin
																						2															2
Если прямой скачок:																			= 90						(sin				= 1), имеем наибольший скачок
				k		1			M 12								12 .																														(213)
		1	2				1		k			1		M		2	12 .																														(213)
			2						k			1				2
																1
									2

	2
1 `	1 max
1 `

k	1	.	(214)
k	1

Если	= , т.е. скачок вырождается в волну возмущения , то
M 1 sin	M	1 sin M		1		1 и		1 - на линии Маха нет скачка плотности.
			1
				M
					1		1

6.6.4.Скачок давления

Из уравнения изменения количества движения получим, что

		V		V					V			P	P	или				V 2			1		Vn		P		P								(215)
		V		V	n				V	n		P	P	или				V 2			1				P		P								(215)
	1 n				n					n			1				1			n		Vn				1
		1			1														1			Vn
		1			1														1
																						1
							V		n		1				P					V 2		sin2					1
так как									n		1		то				1			1	1			1			1		,						(216)
так как						Vn							то				1							1					,						(216)
						Vn									P							P
									1						1							1
																1		k		1	M 2 sin2
	P								2		2			2		1			2		M 2 sin2							2k			2	2	k 1
	P								2		2			2					2			1						2k			2	2	k 1
																						1
			1 kM1							sin			1																	M	1	sin		.	(217)
			1 kM1							sin			1					M 2			sin2									M	1	sin		.	(217)
	P													k	1			M 2			sin2						k		1				k 1
1																			1
В случе прямого скачка																	= 90				получим соотношение
	P			2k				M		2		k	1	- давление растет неограниченно с ростом М (см. рис. 66).
								M		1				- давление растет неограниченно с ростом М (см. рис. 66).
	P1			k		1				1		k	1																						1
	P1			k		1						k	1
На линии возмущения																=				P	1 скачок давления отсутствует.

																				P1
																				P1
																	6.6.5.Скачок температуры
Из уравнения состояния можно записать																										T			P		1
Из уравнения состояния можно записать																										T1			P1
																										T1			P1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.99 Mб7Учебное пособие 800459.pdf
#
01.05.2022355.58 Кб1Учебное пособие 80046.pdf
#
01.05.20223 Mб2Учебное пособие 800460.pdf
#
01.05.20223.01 Mб8Учебное пособие 800461.pdf
#
01.05.20223.03 Mб2Учебное пособие 800462.pdf
#
01.05.20223.04 Mб15Учебное пособие 800463.pdf
#
01.05.20223.05 Mб3Учебное пособие 800464.pdf
#
01.05.20223.06 Mб3Учебное пособие 800465.pdf
#
01.05.20223.08 Mб11Учебное пособие 800466.pdf
#
01.05.20223.1 Mб6Учебное пособие 800467.pdf
#
01.05.20223.12 Mб1Учебное пособие 800468.pdf