Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800396

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

19.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Теорема. Функция, определенная и непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нем.

□ Пусть f x , x a,b непрерывна, тогда она ограничена. Возьмем

0, тогда 0,

что a,b и a,b , удовлетворяющих

, выполняется неравенство

f f

i k

b a

f x ;

Пусть

причем

; x x x

; m inf

i 0

i 1

xi 1 ,xi

x ,

f x непрерывна, то

sup f

i 1, k. Т.к.

xi 1 ,xi

i xi 1, xi

и i xi 1, xi ,

что f

m ;

, причем

f i f i

b a

На основании этого запишем

0 S s

x ,

i 1

a i 1

т.е. lim S s 0.

■

Теорема. Функция, определенная и монотонная на отрезке a,b ,

интегрируема на этом отрезке.

□ Пусть для определенности

f x возрастает монотонно, т.е.

f a f x f b ,

a x b,

т.е.

f x ограниченная. Для : x i ii 0k

имеем

mi f xi 1 , Mi

f xi , i

1,k

поэтому S

f s f

k f x

f x

i 1

f x

f b f

f x

(т.к. в сумме уничтожаются

i 1

f b и

f a

все слагаемые, кроме

lim S

f s f

■

20. СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

20.1. Свойства определенного интеграла

dx b a.

□

b a.

■

i 1

2. Если

f x интегрируема

на a,b ,

то

f x

интегрируема на

a,b .

□ Пусть

f x ;

f x ,

inf

M * sup

x* x* x*

i 1, k*.

x*i 1 ,x*i

i 1

,x*

i 1

Запишем

0 S

M * m* x*

i 1

lim S

* s *

* 0

f x интегрируема на a,c и

3. Пусть a c b. Если

интегрируема на a,b ,причем

f x dx f x

dx f x dx.

■

c,b , то она

□ Пусть a,b ;

a,c ; 2

c,b , причем 1 ,

2 , тогда

0 S s

S 1

S 2

s 1

s 2 S 1 s 1 S 2

s 2

или,

переходя

к пределу при

0 , получим lim

■

f x

g x

a,b ,

4. Если

функции

интегрируемы

на

то

f x g x интегрируема и

x g x dx b f

x dx b g x dx.

f g

□

i 1

f g ,

lim f

g lim

f lim g , но

lim		f	g b f
0
					a
					a
lim	f b			f x dx,
0
			a
			a
5. Если f x интегрируема					на

x g x dx,

lim	g	b	g x dx.	■
0
		a
a,b		a
a,b	и	c const, то		c f x

интегрируема и

			b		b
			c f	x dx c f x dx.
			a		a
	k		k
□ c f c f		i xi	c f i xi			c f
	i 1		i 1
b c f x dx lim		c f lim c			f c b	f x dx.	■
	0		0
a					a
a					a
	6. Если f x и g x интегрируемы на a,b , то						f x g x

интегрируема.

(Без доказательства)

7. Если f x и g x интегрируемы на a,b и x a,b f x g x , то

f x dx g x dx.

(Без доказательства)

8. Если

f x интегрируема на a,b , то

f x dx 0,

f x dx f x dx.

(Без доказательства)

9. Если

f x интегрируема на a,b , то

f x

интегрируема и

f x dx

f x

dx,

a b.

(Без доказательства)

Замечание. Доказательство

приведенных свойств изложено

в [1].

20.2. Теорема о среднем значении для определенного интеграла

Теорема. Пусть:
1) f x и g x интегрируемы на a,b ;
2) m f x M ,	x a,b ;

3) g x не меняет знака на a,b , тогда , что			m M и
	b	b
	b	b
	f x g x dx g x dx.
	a	a

□ Умножим неравенство m f x M		на g x :
при g x 0	mg x f x g x	M g x ;
при g x 0	mg x f x g x	M g x .

Проинтегрируем полученные неравенства:

b			b			b
m g		x dx f x g x dx M g x dx;
a			a			a
b			b			b
m g x dx f x g x dx M g x dx.
a			a			a
b
При g x dx 0		доказательство .
a
		b
Рассмотрим случай g x				dx 0 :
		a
b						b
если g x 0, то g x dx 0; если g x 0, то g x dx 0.
a						a
						b
Производя деление неравенств на g x dx, получим							в обоих
						a
случаях
			b	x g x dx
			f	x g x dx
		m	a			M ,
		m		b		M ,
				b
				g x dx
				a
	b
	f x g x dx
тогда, полагая	a				.		■
тогда, полагая		b			.		■
		b
		g x dx
		a

Следствие (Интегральная теорема о среднем). При дополни-

тельном предположении непрерывности	f x	a,b , что
b	b
f x g x dx f g x dx,
a	a
в частности при g x 1
b
f x dx f b a .

		b
□ Вновь рассмотрим случай, когда g x dx 0 и будем считать для
		a
	b
определенности g x 0, т.е. g x dx 0. В силу непрерывности
	a			f x ,	M sup f x .
f x	a,b : что f ,	взяв	m inf	f x ,	M sup f x .	■
			a,b		a,b
					a,b

21.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

21.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу

Пусть f x интегрируема на a,b , тогда она интегрируема наa, x , где a x b имеет смысл функция

F x x f t dt,

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Если f x интегрируема на a,b , то F x непрерывна на a,b .

□ Возьмем x a,b , и пусть x x a,b , тогда

	x x	x	x x				x x
F x x		f t dt f t dt		f	t dt F x			f t dt,
	a	a	x				x
поэтому
	F F x x F x				x x	f t dt.
	F F x x F x					f t dt.
					x
Найдем
				x x
		lim F lim			f t dt 0.			■
		x 0	x 0

21.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу


	Теорема.	Если	f x интегрируема на					a,b и		непрерывна в
точке x0 a,b , то F x дифференцируема в точке x0										и
			F x0 f x0 .

□ Нам нужно доказать, что
			lim	F f x .
			x 0 x			0
			x 0 x
		x x				x0	x
	Т.к. F	f t dt, то при		x x0		F		f t	dt,
		x					x0
но
x x
0	f t dt f	x	(по теореме		о	среднем), где				x0 x0 x,
x0
причем при x 0			x0 .
	Т.о.
			lim	F lim f			f x		.	■
			x 0	x	x 0			0
			x 0	x	x 0

21.3. Существование первообразной у непрерывной функции

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в его внутренних точках, то на этом отрезке существует ее первообразная.

□ Т.к. f x непрерывна на a,b , верхним пределом имеет смысл, а

F x f x ,	x a,b .
Из теоремы следует
		d		d	x
			F x
		dx	F x	dx
					a

то F x интеграл с переменнымF x и есть первообразная, т.к.

■

f t dt f x ,

откуда устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралами

f x dx f t dt C.

Получим формулу дифференцирования по переменному нижнему пределу:

G x				b	t dt,
G x		f			t dt,			a x b,
				x
тогда, согласно тождеству
b				x				b
f t dt						f t dt f t dt ,
a				a				x
имеем
				b
G x				f t dt F x .
				a
Продифференцируем полученное соотношение
	dG			x			dF x		.
									.
			dx					dx
Окончательно
	d		b
	d		f t dt f x .
	dx		f t dt f x .
	dx		x
			x

21.4. Формула Ньютона – Лейбница

Теорема (Основная теорема интегрального исчисления). Если

первообразная непрерывной f x на a,b , то

f x dx b a формула Ньютона – Лейбница.

□ Т.к. F x первообразная для f x и x первообразная для f x , то они отличаются друг от друга на const, т.е.

F x x C,

a x b,

или

f t dt x C,

но при x a	C a ,				поэтому
x									b
f t dt x a , а при x b									f t dt							b a .			■
a									a
Замечание. Для краткости записи часто употребляется обозна-
чение
				x			b b a .
				x			b b a .
Пример. Найдем 1							a
			x2dx.				a
			x2dx.
	0
Решение. x2dx		1		x3	C				F x					1	x3	, поэтому
Решение. x2dx				x3	C				F x						x3	, поэтому
	3												3
	1					1		1		1		1					1
	1							1
	x2dx						x3				1		0					.
	x2dx						x3				1		0					.
	0				3			0	3			3				3
	0							0

22.МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

22.1.Замена переменной

Теорема. Пусть:

1)f x непрерывна на a,b ;

2)t определена и непрерывна вместе со своей производной


t на	, , причем		t , выполняется	неравенство
a t b, тогда,		если 0 , , 0 , ,		a0 0 ,
b0 0 , то

b0 a0

f x dx	0

		f t t dt.
	0

□ Пусть

x первообразная

для f x , x a,b , тогда

для

t , имеет смысл сложная функция

t , которая является

первообразной для

f t t . По формуле Ньютона – Лейбница

имеем

f x dx

b0 a0 ,

t t dt

a .

Правые части этих соотношений равны равны и левые части.

■

Вывод. При замене переменного

x t

определенном

интеграле

x dx

следует всюду

формально

заменить

x на t

соответственным

образом изменить пределы интегрирования.

Пример. Вычислить ex2 xdx.

Решение.

xdx

et dt

2xdx dt

22.2. Интегрирование по частям

Теорема. Если u u x и v v x непрерывны вместе со своими производными на a,b , то

b		b
udv uv	ba	vdu формула интегрирования по частям


a		a
		для определенного интеграла.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.17 Mб3Учебное пособие 800391.pdf
#
01.05.20222.19 Mб2Учебное пособие 800392.pdf
#
01.05.20222.21 Mб6Учебное пособие 800393.pdf
#
01.05.20222.21 Mб5Учебное пособие 800394.pdf
#
01.05.20222.22 Mб19Учебное пособие 800395.pdf
#
01.05.20222.23 Mб6Учебное пособие 800396.pdf
#
01.05.20222.24 Mб5Учебное пособие 800397.pdf
#
01.05.20222.27 Mб10Учебное пособие 800398.pdf
#
01.05.20222.27 Mб7Учебное пособие 800399.pdf
#
01.05.2022158.06 Кб2Учебное пособие 8004.pdf
#
01.05.2022349.85 Кб2Учебное пособие 80040.pdf