Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800396

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Пример.

4x2 2x 1

1 2

Решение:

4x2

2x 1

4x2 2x 1

3 x t

; dx dt

t t 2

t 2

Интегралы

типа

Pn x

dx,

где

многочлен

ax2 bx c

степени n, можно вычислить, пользуясь формулой

Pn x

dx Q

ax2 bx c

n 1

ax2 bx c

где

Qn 1 x

многочлен

степени

n-1

неопределенными

коэффициентами, также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находят из тождества путем дифференцирования предыдущего выражения

Pn x

ax2 bx c

bx c

n 1

bx c

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x, т.е. использовать метод сравнения.

Пример. Найти интеграл

I		x2
			dx.


	1	2x x2
		61

Решение. Имеем

I Ax B

1 2x x2

2x x2

после дифференцирования

2 2x

A 1 2x x2 Ax B

;

1 2x x2

2 1 2x x2

2x x2

т.е.

x2 A 1 2x x2

Ax B

1 x

;

x2 A 2 Ax Ax2 Ax Ax2 B Bx ;

x2 2 Ax2 3A B x A B ;

1 2 A;

3A B;

; B

;

A B .

1 2x x2 2

1 2x x2

2 x 1 2

2arcsin

x 1

18.2. Дробно-линейная подстановка

ax b

Интегралы типа R x,

,...,

dx, где a,b,c, d

cx d

действительные числа,

, ,..., , натуральные

числа,

сводятся к

интегралам от рациональной функции путем подстановки:

ax b tk , cx d

где k наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,..., .

					следует x	b dtk
	Действительно, из		подстановки				и
	Действительно, из		подстановки				и
		ct k a b dt k ckt k 1				ctk a
dx	d ktk 1	ct k a b dt k ckt k 1
				dt, т.е.	x и dx выражаются через
		ctk a 2		dt, т.е.	x и dx выражаются через
		ctk a 2

рациональные функции от t.

При этом и каждая степень дроби ax b выражается через cx d

рациональную функцию от t.

Пример. Найти интеграл

I 3 x 2 x 2 .

Решение. Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

и1 есть 6

x 2 t6 ;

x t6 2;

dx 6t5dt;

t 6 x 2

6t5dt

dt 6 t2 1 1dt 6

t 1

dt 3t2

t4 t3

t 1

6ln t 1 C 33x 2 66x 2 6ln 6x 2 1 C.

18.3. Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа
R x, a2 x2 dx;	R x, a2 x2 dx,	R x,	x2 a2 dx

приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью тригонометрических подстановок

x a sin t;	x a tgt;	x	a	.

			sin t
	63

Пример. Найти интеграл

4 x2

dx.

Решение. x 2sin t;

dx 2cost dt;

t arcsin

4 4sin

2 t

2cost dt

4cos2 t

1 sin2 t

4sin2 t

sin2 t

ctgt t C C arcsin

ctg arcsin

18.4. Интегралы типа R x,

ax2

bx c

Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку

интегралы указанного типа можно привести к интегралам

dt;

dt,

dt.

вида R t,

R t,

a2 t2

t 2 a2

18.5. Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа xm a bxn p dx (называются интегралами от

дифференциального бинома), где a,b действительные числа; m, n, p рациональные числа, берутся лишь в случае, когда хотя бы одно


из чисел p,	m 1		или		m 1	p	является целым.

		n			n
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется
следующими подстановками:
1) если p целое число,							то	x tk , где k наименьшее общее
кратное знаменателей дробей m и n ;
2) если		m 1		целое число,				то a bxn t s , где s знаменатель

		n

дроби p;

3) если

m 1

p целое

число,

то a bxn xnt s ,

где

знаменатель дроби

Пример. Найти

dx.

Решение. Т.к.

I x

x 4

dx,

m 1

то m

;

1 4 x t3;

t3 1

;

3 3t 2dt;

dx 4

t 3 4 x 1.

Т.о.

12t

3 dt 12

dt 12

t 4

3 4

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

19. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

19.1. Определение интеграла по Риману

Прежде всего введем понятие разбиения отрезка a,b :

a x	x	... x	x	b		или	кратко	x	i k	,	причем
0	1	k 1	k					i	i 0
xi 1 , xi отрезок разбиения ,					xi	xi	xi 1.
Величину
					max x
							i

i 1,k

будем называть мелкостью разбиения .

Пусть

теперь

дана

f x ,

x a,b и

пусть

имеется

некоторое

разбиение

для a,b (рис. 4). Пусть i

xi 1, xi ,

тогда

составим

сумму

f ; 1,..., k

i xi ,

i 1

которая называется интегральной суммой Римана.

Если

f x 0,

то

каждое

слагаемое

равно площади

прямоугольника

основанием

xi и с высотой

f i .

Вся

сумма

равна пло-

щади ступенчатой фигуры.

Рис. 4

Определение.

f x называется интегрируемой (по Риману) на

a,b , если A ; n

x i n i kn

n 1,2,...,

i 0

причем lim

0, и

n :

n x n , x n

i 1

lim f

i 1

где xi n xi n xi n1 . При выполнении вышеперечисленных условий

число А называется (римановым) определенным интегралом и обо-

значается через

f x dx,

где x переменная интегрирования, f x подынтегральная функция; a,b нижний и верхний пределы интегрирования; a,b промежуток интегрирования.

19.2. Ограниченность интегрируемой функции

Теорема. Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

□ Доказательство от противного, т.е. пусть f x ,

x a,b не

ограничена и пусть

x i ii 0k ,

всилу неограниченности f x на a,b , она, по крайней мере, не

ограничена на		каком-то отрезке			разбиения, например, на x0 , x1 ,
n	x0 , x1	;	n 1, 2,..., что
т.е. 1	x0 , x1	;	n 1, 2,..., что
			lim f n			.
			n	1

Но, по определению интеграла по Риману, f i xi будет

i 2

иметь определенное значение , тогда

lim

n 2

i 1

а это значит, что

f x неинтегрируема.

■

Замечание. Обратное утверждение неверно. Контрпримером

служит функция Дирихле

f x

если x рационально

если x иррационально.

Действительно, если

выбрать

рациональными, то

а если i выбрать иррациональными,

то

0, а это означает,

что

предела нет.

19.3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу

Пусть f x ,	x a,b и есть x i ii 0k ,				тогда, положим,
		sup f x ,			f x ;
Mi		sup f x ,	mi	inf	f x ;	i 1, k.
		xi 1 x xi		xi 1 x xi
			67

Составим

S f

Mi xi ;

s f mi xi ;

i 1

очевидно, что

s S .

Назовем

S и

соответственно

верхней и нижней суммами

Дарбу.

Свойства сумм Дарбу

1. Если

f x

ограничена, то

S и s определены.

f x : Mi , mi

конечны, и поэтому

□ В силу ограниченности

1, k

S и s также конечны.

■

2. Если

, то S

и s s

□ Пусть

i k

j k

x i i 0 и

j 0

, тогда

f x ,

inf f x ,

inf

i 1,k;

j 1,k .

xi 1 x xi

x j 1 x x j

Т.к.

, x

, то m m .

Кроме того,

i 1

xj ,

тогда

s mi xi

mi x j

x j

mj x j

i 1

i 1 ji

j 1

Аналогично доказывается, что S

S .

Следствие. 1, 2: a,b s 1

S 2 .

□Положим, 1 и 2 , и воспользуемся свойством 2.

суммы Римана и Дарбу связаны неравенствами

	s S .
3. Если	интегральная сумма Римана для , то

	s inf ,	S sup .
	1 ,... k	1 ,... k
		1 ,... k

s .

■

□ Пусть x

i k

для a,b и

, x

и пусть

числовые

i 0

множества, ai

const 0, то для множества

X x: x ai xi , xi Xi , i

1, k

i 1

справедливы равенства

sup X ai

sup Xi ;

inf X ai inf Xi .

i 1

Поэтому

s mi xi

inf

f i

inf

i xi

inf

i 1

Аналогично

S Mi xi

sup

f i xi

sup

f i xi

sup . ■

i 1

i 1 xi 1 i xi

xi 1 i xi

i 1

xi 1 i xi

4. S s

f xi , где i

f колебание

на xi 1, xi .

i 1

□ Пусть X ,Y числовые множества и

Z z: z x y,

x X ,

y Y ,

тогда

sup Z sup X inf Y. Поэтому

sup

f x

inf

f x

xi 1 i xi

x f x

f ,

sup

i 1,k

xi 1 x i

mi xi

i f xi .

■

i 1

Определение.

sup s ,

* inf S

называются

соответственно

нижним и верхним интегралами Дарбу, причем I* I *.

19.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости

Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируемой на нем, необходимо и достаточно

lim S s 0.

Иными словами, 0 ,что : выполняется нера-

венство

S s

но т.к. s S , то окончательно S s .

□ Доказательство необходимости.

Пусть для f x

I b f

x dx существует, т.е.

lim

0, что

если

, то

или I

I .

По свойству 2 сумм Дарбу имеем

I s S I

или 0 S s 2 .

Доказательство достаточности.

Пусть для f x выполнено условие lim S s 0. Из определения

нижней и верхней сумм Дарбу имеем

I * S ,

откуда 0 I * I

I * I ,

поэтому

I S ,

что равносильно двум неравенствам

0 I s S

s ;

0 S

I S s .

Поэтому

lim I s lim S I 0,

т.е. lim s

lim S

I , но s

lim

■

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.17 Mб3Учебное пособие 800391.pdf
#
01.05.20222.19 Mб2Учебное пособие 800392.pdf
#
01.05.20222.21 Mб6Учебное пособие 800393.pdf
#
01.05.20222.21 Mб5Учебное пособие 800394.pdf
#
01.05.20222.22 Mб19Учебное пособие 800395.pdf
#
01.05.20222.23 Mб6Учебное пособие 800396.pdf
#
01.05.20222.24 Mб5Учебное пособие 800397.pdf
#
01.05.20222.27 Mб10Учебное пособие 800398.pdf
#
01.05.20222.27 Mб7Учебное пособие 800399.pdf
#
01.05.2022158.06 Кб2Учебное пособие 8004.pdf
#
01.05.2022349.85 Кб2Учебное пособие 80040.pdf