Учебное пособие 800396

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Очевидно, что x

– возрастающая, при

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Определение. Число b является верхней (нижней) гранью для

xn , n N, если:	1)		xn b xn b ; 2)	0	n : xn a

(соответственно xn	a ).

Обозначение: sup xn inf xn .
	n N		n N
	n N
Определение.	x		называется возрастающей		(убывающей)
	n	если n N : xn xn 1 xn xn 1 . Возрастающие
последовательностью,		если n N : xn xn 1 xn xn 1 . Возрастающие

и убывающие последовательности называются монотонными.

Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая (убывающая) последовательность xn имеет конечный предел, если она ограни-

чена сверху (снизу), и бесконечный предел, равный , если она

не ограничена сверху (снизу), причем

lim xn sup xn lim xn

inf xn .

n N

□ Пусть xn : xn xn 1;

sup xn a. Покажем, что lim xn

sup xn

n N

Возьмем 0. Из

a n N: xn a

и n : xn

a .

n N

xn n n

Тогда

в силу

возрастания

будем

иметь:

a xn

x n a. Поэтому n n

xn a

, т.е. lim xn a.

■

Следствие. Для того чтобы возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху.

Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей последовательности.

Пример.

Пусть

xn 1

n N.

Покажем, что эта последо-

вательность сходится.

Решение. В формуле Бинома Ньютона

n 1

n 2 2

n n 1 n 2 ... n n 1

a b

...

1 2

1 2 3 ... n

Положим, a 1; b							1	,		тогда
Положим, a 1; b							n	,		тогда
	1						n										1												1
	1	n		n 1													1												1
		n							n				n		1					n		n 1			n 2
1		1																													...
1		1										1						2					1 2		3				n	3	...
	n			1 n								1		2 n									1 2		3				n
			n n 1 n 2 ... n n 1																							1
		...																								1
		...								1 2 3 ... n																nn
				1						1							1						1				2
	1 1					1													1					1				...
	1 1					1					n								1					1			n	...
			1		2						n				1 2 3								n				n
					1										1					2						n 1
	...											1					1				... 1							.
	...											1				n	1				... 1						n	.
		1 2		3 ... n												n				n							n

Покажем, что она ограниченная. Заменим каждую круглую скобку на 1, тогда правая часть увеличится и поэтому

	1 n	1 1	1	1	...	1
1							.
			1 2	1 2 3		1 2 3 ... n
	n

Еще больше усилим последнее неравенство, заменив 3, 4, 5,…

на 2, тогда
	1 n		1	1			1
1		1 1				...			.
1		1 1	2	2	2	...	2	n 1	.
	n		2	2			2

Т.к. в выражении в скобках правой части неравенства – геометрическая прогрессия, то

							1		1			1 n
							1		1
															1
	1 1				1							2			1
1				...									2	1			2,
1	2	2	2	...	2	n 1					1		2	1	2	n	2,
	2	2			2					1	1				2
										1	2
поэтому
								1 n
					2 1					1 2 3
					2 1					1 2 3
								n

xn имеет предел,

lim 1

и он обозначается через «е», т.е.

1 n e 2,718281828459045....

4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1. Предел функции в точке

Пусть y = f(x) определена в окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0.

	Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
	Число А называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или
при x x0 , если xn допустимых значений			аргумента xn , n N
xn	x0 , сходящейся к	x0 т.е. lim xn x0 ,	последовательность
		n

соответствующих значений функции

f xn , n N сходится к числу А

т.е. lim f xn A .

Записывают так:

lim f x A.

x x0

Определение 2 (на « языке », или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке x0 (или при

x x0 ,

если

0 0, что x x0:

x x0

выполняется

f x A

Пример. Доказать, что lim 2x 1 5.

x 3

найдем 0 такое, что

Решение.

Возьмем 0, тогда

2x 1 5

т.е.

x 3

выполняется неравенство

Взяв

, видим, что x:

x 3

выполняется

неравенство

2x 1

lim 2x 1 5.

x 3

Пример. Доказать, что если f x c,

то limc c.

x x0

Решение. 0 можно взять 0, тогда при

x x0

, x x0

имеем

f x c

c c

0 limc c.

x x0

4.2. Односторонние пределы

В	определении	предела	функции lim f x A считается, что
			x x0
x x0	любым способом: оставаясь меньшим, чем x0, большим, чем
x0, или колеблясь около точки x0.
Бывают случаи,		когда	способ x x0 существенен (будет

показано позже), поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Определение.	Число А1 называется пределом функции y = f(x)
слева в точке x0,	если	0		0, что при x x0 ,		x0 ,
выполняется неравенство			f x A1		.
выполняется неравенство			f x A1		.
Запись:				f x A1.
			lim	f x A1.
			x x0 0

Аналогично определяется предел функции y = f(x) справа. Запись:

lim f x A2 .

x x0 0

Пределы справа и слева называются односторонними пределами.

Замечание. Очевидно, если существует lim f x A, то суще-

x x0

ствуют и односторонние пределы, причем А=А1=А2. Справедливо и обратное утверждение.

4.3. Предел функции при x

Определение. Пусть y = f(x), где x , . Число А называ-

ется пределом функции f(x)				при x , если		0	M 0,
				x A	.
что x :	x	M , выполняется	f
что x :	x	M , выполняется	f

Запись:
lim f x A или	lim f x A.
x	x

4.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Определение.	y = f(x) называется бесконечно				большой при
x x0 , если M 0 M 0, что x 0:			0	x x0		, выполня-
x x0 , если M 0 M 0, что x 0:			0	x x0		, выполня-
	f x	M .
ется неравенство	f x	M .

Запись:

lim f x .

x x0

5.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)

5.1. Определение и основные теоремы

Определение. y = f(x) называется бесконечно малой при x x0 ,

если

lim f x 0.

x x0

Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть

б.м.ф.

□

Пусть x , x б.м.ф.

при

x x0 ,

т.е.

lim x 0,

x x0

т.е.

1 0, что x:

x x0

1 ,

выполняется

неравенство

Аналогично

для

x ,

т.е.

lim x 0,

x x0

Пусть

min ,

, тогда x: 0

x x

, выпол-

одновременно, т.е.

нены

x x

2 .

■

Теорема. Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.

□ Т.к. M 0:

f x

M ,

то

x 1 x0 , 1

пусть x

б.м.ф.

при

x x0 ,

тогда

0 и

2 0, что x:

x x

выполнено неравенство

Пусть min 1, 2 , тогда x:

x x0

, выполнены

f x

M и

f x x

f x

это

означает,

что

lim f

x x

■

x x

Следствие. Т.к. любая б.м.ф. ограничена, то из теоремы

вытекает, что произведение двух б.м.ф. есть б.м.ф.

Следствие. Произведение б.м.ф. на число есть б.м.ф.

Теорема.

Частное от деления

б.м.ф.

на функцию, имеющую

отличный от нуля предел, есть б.м.ф.

□ Пусть

lim x 0,

lim f x a 0,

x x0

тогда x

f x может быть представлена как произведение ограни-

ченной функции на б.м.ф.

Покажем,

что

1 f x ограниченная. Возьмем

тогда

x x0

выполняется

f x a

т.к.

f x a

a f x

f x

то

f x

т.е.

f x

M .

■

f x

Теорема. Если x б.м.ф.

x 0 , то 1 x б.б.ф. и

наоборот: если f x б.б.ф., то 1

f x б.м.ф.

□ Пусть lim x 0,

x x0

тогда 0

0 x:

x x

, т.е.

M ,

где M 1

, а

это

означает,

что 1 x

б.б.ф.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

■

Замечание. Указанная теорема справедлива и для случая, когда

x .

Пример.

Показать, что

функция f x x 1 2 sin3

при

x 1

x 1 является б.м.ф.

Решение. Т.к. lim x 1

0, то

x 1

есть

б.м.ф.

при

x 1

x 1. Функция

g x sin

x 1

ограничена

sin3

x 1

f x б.м.ф.

5.2.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема. Если

lim f x A,

то f x A x , где x

x x0

б.м.ф.

□ Пусть lim f x A

x x0

f x A

0 0 x: 0

x x0

, т.е.

f x A 0

, а это значит,

что

f x A имеет предел, равный 0,

т.е. является б.м.ф.,

которую

обозначим x

f x A x

или f x A x .

■

Теорема (обратная). Если

f x A x ,

где

А – число,

x б.м.ф., то lim f x A.

x x0

□

Пусть f x A x , где

x б.м.ф

при

x x0 , т.е.

lim x 0, тогда

x x0

0 0 x: 0

x x0

а т.к. f x A x ,то x f x A, или

0 0 x: 0

x x0

f x A

а это означает lim f x A.

■

x x0

5.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции.

Теорема. lim f x x lim f x lim x .
x x				x x	x x
0				0	0
□ Пусть
	lim f x A		и	lim x B,
	x x0			x x0
тогда f x A x		и x	B x ,		x , x б.м.ф.

что означает lim

x x0

Замечание.

f x x A B x x ,

f x x lim f x lim x .			■
	x x0	x x0
	x x0	x x0

Случай разности доказывается аналогично.

Следствие. f(x) может иметь только один предел при x x0 .

□ Пусть lim f x A	и lim f x B, тогда
x x0	x x0
0 lim f	x f x lim f x lim f x A B,
x x		x x	x x
0		0	0
т.е. A B 0 и A B.			■
		18

Теорема. lim f x x lim f x lim x .
x x		x x	x x
0		0	0
□ Пусть
lim f x A		и lim x B,
x x0		x x0
т.е. f x A x и x B x , x , x б.м.ф.
f x x A x			B x

A B A x	B x x x ;

б.м.ф.

lim f x x A B.
x x
0
Следствие. lim c f				x c lim f x .
	x x					x x
	0					0
□ lim c f x lim c lim				f x c lim f x .
x x	x x	x x				x x
0	0	0				0
Следствие. lim f x			n lim f x n ,				n N.
	x x				x x
	0					0
□ lim f x n lim f x ... f x						lim f x ...lim f x
x x	x x					x x	x x
0	0					0	0

■

lim f x n .■

x x0

f x

lim f x

lim x 0 .

Теорема.

lim

x x0

lim x

x x0

□ Пусть

lim f x A и

lim x B,

x x0

тогда f x A x

x B x ,

x , x б.м.ф.,

f x

A x

B x A x

поэтому

A x

B2 B x

B x

б.м.ф.

откуда lim

f x

■

x x0

5.4. Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, y sin x при x предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема (о пределе промежуточной функции).

Если lim x

lim g x A,

x f x

x ,

x x0

то

lim f x A.

x x0

□ Из пределов для x и g x вытекает,

что 0

1, 2

при

x x0

выполняются неравенства

x A

g x A

x A

g x A

т.е.

x A

и g x A .

Пусть min 1, 2 , тогда в x x0

, x0 выполняются оба

неравенства, но т.к. из x f x g x

следует, что

x A f x A g x A,

то f x A

или

f x A

, т.е. lim f x A.

■

x x0

Теорема (о пределе монотонной функции). Если функция f(x)

монотонна и

ограничена

при x x0

или при x x0 , то существует

соответственно ее левый предел

lim

f x f x0

0 или ее правый

x x0 0

предел lim f x f x0 0 .

x x0 0

(Без доказательства)

5.5. Первый и второй замечательные пределы

Определение. Предел

lim sin x 1

x 0 x

называется первым замечательным пределом.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.17 Mб3Учебное пособие 800391.pdf
#
01.05.20222.19 Mб2Учебное пособие 800392.pdf
#
01.05.20222.21 Mб6Учебное пособие 800393.pdf
#
01.05.20222.21 Mб5Учебное пособие 800394.pdf
#
01.05.20222.22 Mб19Учебное пособие 800395.pdf
#
01.05.20222.23 Mб6Учебное пособие 800396.pdf
#
01.05.20222.24 Mб5Учебное пособие 800397.pdf
#
01.05.20222.27 Mб10Учебное пособие 800398.pdf
#
01.05.20222.27 Mб7Учебное пособие 800399.pdf
#
01.05.2022158.06 Кб2Учебное пособие 8004.pdf
#
01.05.2022349.85 Кб2Учебное пособие 80040.pdf