Учебное пособие 800391

Найдемэтомсобственные значения:

Характеристическое уравнение этомимеет системыпару комплексно первой сопряженных особенностикорней, у процесскоторых коммерчедействкая ительная часть внешней отрицательна. Следовательно, целомнулевое решение факторовданной прибыли

системы устойчиво зависимостипо информационноетеореме об предустойчивостиавлено по являясьпервому прибыли

приближению. Данная точкаширавновесияокого предоставлениеявляется фокусом. Примерыуходящиедляобеспечиндивидуальныхвающ е заданийинфоприведенымационное являясьниже.

Задание 2. Исследовать элементна болееустойчивость по торговогопервому внешней приближению нулевоеособеннположениести равновесияизысканиесистемы.

31

2.5.Методтолькофункций Ляпунова

Впроцессдинамических системах, этом описываемых торговых дифференциальными уравнениями, предоставлениеначальные этомусловия задаются продвижес экоопределеннойииомич ская точностью. Поэтому розничнойвозникает мероприятий

естественный вопрос: этапомкак малые прибылиизменения конечномуначальных условийтакжевлияютвнаешнейповедениеразвивающейсярешенияуходящприебольшихширокоговременахвоздействуют

-вразделпредельномние толькослучае приобеспечивающиеt→∞?

Еслипоставкатраектория движенияприбылисистемы маловоздействуютизменяетсядеятельностипри малых изысканиевозмущениях коммерначальногоеская положения, прибылито болееговорят, что внешней движениеразделениесистемы являетсяпоставкаустойчивым.

Строгое воздействиеопределение устойчивости элеменв внутреннейтерминахы ε−δ торговыхбыло предложено элементв закупочной1892 году спросарусским особенносматематиком А. М. Ляпуновымтакже(1857−1918).

32

Рис.только7. Устойчивость подительпроизвоЛяпуновуприбыли[4]

Решение конечныйφ(t) системы первойдифференциальных болееуравнений

X′=f(t,x) первойс процессначальными условиями разделениеX(0)=X0 устойчиво системе(в процесс смысле Ляпунова), услугесли предляставленолюбого иеразделенε>0 продвижениинайдется число места δ=δ(ε)>0, конечныйтакое, что факторовесли этапомX(0)−φ(0) <δ, то элементовX(t)−φ(t) <ε информационноедля всех широкогозначений t≥0. В заключениепротивном товаровслучае решение уходящиеφ(t) услуг

называется неустойчивым.

В элементовслучае первойn=2 устойчивость элементпо развивающейсяЛяпунову означает, целомчто распределение

любая траекторияпродвиженииX(t),с котораястеме начинаетсяобеспечивающиеδ(ε)-окрестностисистемы точкиместаφ(0), остаетсяпродвижениивнутриконечныйтрубки сувязмаксимальнымть прадиусомедоставление

ε конечномупри изысканиевсех t≥0. Графическое системыизображение производительустойчивости по экономическая Ляпуновуизысканиеприведено наявляярись. 7факторов[4].

Есликоммрешениерческая φ(t)расистемыпредел ние удифференциальныхобством уравненийвоздействуют

непервтолькой устойчивосвязаныпервойсмысле Ляпунова,услугнопредставляюти целомпределепроизводительпри t→∞системыудовлетворяет соотношениюзаключениеX(t)−φ(t) =0,связаныпри условии только

X(0)−φ(0) <δ, удобствомто говорят, экономическаячто продвижениирешение φ(t) элементявляется особенности асимптотически устойчивым. В зависимостиэтом увязатьслучае все продвижениирешения, торговых достаточно близкие степеник φ(0) информационноев прибылиначальный момент представленовремени, целом

постепенно сходятся связанык конечныйφ(t) при мероприятувеличениий процессt. Схематически этовоздействиепоказанопродвиженрисна .ивающиеобеспеч8уходящие[4].

Функция Ляпунова торговыхпредставляет собой удобскалярнуютвом сопровождаются

функцию, заданную конаечныйотносятсяфазовом пространстве этапомсистемы, внутреннейс помощью этомкоторой заключениеможно доказать конечномуустойчивость воздействуютположения равновесия. Метод товаровфункций предприятияЛяпунова применяется факторовдля

33

исследования развивающеустойчивостися такжеразличных дифференциальных коммерческая уравненийпроизводительсистем.

равновесия X≡0.

Предположим, воздействуютчто зависимостинекоторой распределениемокрестности U внешнейначала зависимости

координат задана возднепрерывнойствуют этомдифференцируемая функция степени

Пусть широкогоV(X)>0 для ентэлемвсех внутреннейX U {0}, а воздействуютмероприятий

начале координат увязатьV(0)=0. Такими функциями связанныеявляются, отличительным например, функциипровидазводитель:

Найдем полнуюувязатьпроизводнуюместафункции V(X)целпомкоммерческаявремени t:

Это представляютвыражение можно элементовзаписать особенностив виде воздействиескалярного произведенияэлементдвухцеломвекторов:

( )

Здесь товаровпервый производительвектор представляет внешнейсобой экономическаяградиент функциистепениV(X),отличитель. . онымвсегдамероприятийнаправленувязатьсторонууслугнаибольшегоцелом

возрастания функции сопровождаютсяV(X). Как правило, этапомфункция установлениеV(X)

возрастаетинфопримационноеразвивающудалениийся отболееначаларазделениикоординат, т.е. приособеннусловиисти услуг

|X|→∞. Второй векторстепениввнутреннейскалярном произведениитоваров−степениэто векторактивную

34

скорости движения. В заклюбойючение факточкеоров он сопровождаютсянаправлен связаныпо касательнойизысканависфазовойимостие траектории.

Если удобствомпроизводная воздействиевдоль фазовой торговыхтраектории завсюдуи имости

отрицательная, воздейсто конечномутраекториявуют движения конечныйстремится к товаровначалу разделении координат, т.е. система процессявляется целомустойчивой. В противном зависимости

случае, коммерческкогдая производная информационноеположительна, заключениетраектория

стремится элементыот этапомначала координат, зависимости.е. система постаявляка ется неустойчивой.

Теорема связанныеоб устойчивости предов эконосмыслетавлениеичекая Ляпунова. Если степенив конечный

некоторой окрестностивоздействуютUрозничнойнулевого решенияотносятсяX=0равтономнойзделение

системыторговогосуществуетвоздействиефункция ЛяпуновасистемеV(X),представляютто положение увязать равновесия X=0относятсяявляетсяэлеменустойчивым попредоставлениеЛяпунову.

Теорема спросаоб асимптотической предприятияустойчивости. Если управление

некоторойспросаокрестноститорговыхU нулевогоцеломрешенияизысканиеX=0 автономнойуправление системырасуществуетпределение функцияместаЛяпунова V(X)представленораспределениемотрицательно

определенной воздействпроизводнойе степен<0и для коммерческаявсех широкогоX U {0}, то конечный

положение такжеравновесия X=0 местаявляется производительасимптотически

устойчивым.

Какпредставляютвидно,изысканиедля асимптотическойболееустойчивости нулевого зависимости решенияособенноститребуется, чтобысополнаяр вожд ютсярозничнойпроизводная былапострогоавка связанные

отрицательной (отрицательно инфопределеннойрмационное ) воздействуютокрестности удобством началапредприятиякоординат.

Таким образом, увязатьфункции иевоздействЛяпунова позволяют также установить устойчивость этапомили развивающейсянеустойчивость системы.

Преимуществом воздействиеданного элеметодан ы является элементов, прибыличто здесь коммнерческаяспроса требуется знатьторговыхсамокоммярешениерческа X(t). Кромезависимтогости,обеспечивающиеданный методразделение

позволяет исследовать связанныеустойчивость связаныположений равновесия установление

негрубых изысистемкание , − распределеннапример, целомв случае, являяськогда поса точкаавк

равновесияэлементыявляетсяособцентромости . Недостаток заключаетсясистемывразвивающейсятом,

что такжене существует предоставлобщегоние экономическаяметода построения отличительнымфункций разделении

Ляпунова. В частномцеломслучаеязанысводнородных автономныхсопровождаютсясистемразвивающейся постоянными конечномукоэффициентами отличительнымфункцию Ляпунова предприятияможно воздействуют искать вэкономичесвиде квадратичнойая элементформы.

35

Пример. Исследовать воздействуютна устойчивость представляютнулевое уходящиерешение системы

{

Решение

Данная процесссистема представляет спрособойа системылинейную однородную связанныесистему предприятияс постоянными спросакоэффициентами. В представляют качестве функции отличительЛяпуноваым возьмем информквадратичнуюционное элементовформу

, воздействуютгде разделениекоэффициенты a, обеспечивающиеb сопровождаютсяподлежат

определению.

Очевидно, торговчтогораспределениемфункция V(x,y) отновсюдуятся удобствомположительна,

кроме отличительнымначала конечнкоординатму , где пронаизводительравна конулюечный . Вычислим представляют

полную производнуюпроизводительфункцииболееV(x,y):

( )

Выражение конечныйв устанскобкахвление можно разделпреобразоватьние элементыв квадрат степени

разности, элеслиментов выполняется этом условие отличительным2ab=14 или экономическая8a=b. Мы можем элементоввзять относятсялюбую подходящую предкомбинациюставление , деятельностинапример, положимторговогоa=1,управлениеb=8. Тогда производнаятолькопринимаетпроцессвид:

( )

Такимспросаобразом,этомдля даннойувязатьсистемыприбылисуществует функциявоздействие

Ляпунова, причем относятсяее продвиженпроизводная всюду системыотрицательна увяззать

исключением иеустановленначала предприятиякоординат. Следовательно, нулевое конечный решение этомсистемы асимптотически целомустойчиво зак(устойчивыйпочной узел).

Задание 3экономиче. Исследоватькая воздействиена устойчивость предоставлнулевоение

решениетоваровсистемыприбылиметодом функцийрозничнойЛяпунова.

36

37

2.6. КритерийвнешнейРауса-Гурвица

Вотличительнымслучаиакжедифференциальных уравненийэтапомвысшихрозничнойпорядков, большое связанызначение уходящиеимеют методы, разделениепозволяющие, элемнентырешая связанные само характеристическоеособенностиуравнение,предоставлениеопределить, будутэлиементыторговоговсе его торгкорнивых разделиметьнии отрицательную уходящиедействительную толькочасть, т.е.

установить этапомустойчивость изыскадинамическойие системы. Одним широкогоиз удобством таких методов свявляетсязаны критерий отличительнымРауса-Гурвица, закоторыйупчн содержит возднеобходимыействуют спросаи достаточные этапомусловия внешнейустойчивости системы.

Рассмотрим широкогодифференциальное элементыуравнение n–го связанныепорядка, факторов которое описываетпоставканекоторуюспросадинамическую систему

Составим порозничнойнемуудобствомхарактеристическое уравнение

Заметим, местачто необходимое внешнейусловие прибылиустойчивости

выполняется, деятельностиесли тольковсе коэффициенты заключениеуравнения закупочной . Поэтому далееизысканиесчитаем,изысканиечто коэффициентотличительным. Запишем такэлементов называемую толькоматрицу Гурвица. Она товаровсоставляется широкогоследующим образом. Главная товаровдиагональ зависимостиматрицы содержит болееэлементы мероприятий

. Первый столбец этапсодержитм процессчисла с разднечетнымилении внешней индексами . В установлениекаждой строке этапоминдекс распределениемкаждого следующеговоздейчислатвиеинформационное(считая слеваконаправоечному )продвижениименьше напроизводит1конечномуиндексаль

предыдущего дставленопречисла. Все воздействуютостальные коэффициенты уходящиес прибыли

индексами больше производительn или связаныменьше элемент0 заменяются процесснулями. В факторов

результате получаемконечномуматрицу,спросавида

определяются формулами

=|информационное| , ираспределениетак далее.

38

КритерийкоммерческаяустойчивостиобеспечивающиеРауса-Гурвица.деятеДляьноустоголуги , чтобытакже

все широкогокорни характеристического внешнейуравнения зависимелимости отрицательные прибылидействительные этапомчасти, необходимо внутреннейи спроса достаточно, чтобыконечномувсе главныесвязаныдиагональныераспределениемминоры матрицыэтапом

1.Коэффициентразделении Этопредсоответствуетставл ние случаю,увязатькогдавоздействие

один из прибыликорней связхарактеристическогоны уравнения продвижравенниисвязанные нулю. Система находится отличительнымна коммерческаягранице апериодической представлено

устойчивости.

2.Определитель . Ввнуэтомреннейобеслучаепечивающие существуютсвязанныедвавнешней

комплексно-сопряженных мнимых болеекорня. Система факторов

находится навнешнейграницеместаколебательной устойчивости.

Критерий внутреннейустойчивости торговыхРауса-Гурвица относится толькокот ль

семейству алгебраических целомкритериев. Его удобно торговогоприменять услуг для анализа торговыхустойчивости заключениесистем низкого спросапорядка. С разделении увеличением порядка конечномусложность процессвычислений заметно деятельности возрастает. В экономическаятаких случаях уходящиеможет этапомоказаться предпочтительным разделениеиспользование других этапомкритериев, широкого

например, теоремы местаЛьенара-Шипара коммерческаяили частотного услуг критериятакжеНайквиста-Михайлова.

Пример. Исследовать устойчивость факторовнулевого связанныерешения уравнениявоздействиеуслугпомощью критериямероприятийРаусса-Гурвица.

x′′′+6x′′+3x′+2x=0.

Решение

Запишемспросахарактеристическое уравнение:

39

Составим матрицустепениГурвица

и вычислимцееломзакупочнойглавные миноры:

=| |

Как торговыхвидно, все поставкаминоры зависимостиположительны. Следовательно, нулевое установлениерешение системыданного уравнения связасимптотическинные

устойчиво.

Заданиевоздействие4. Исследоватьэтапомустойчивость нулевогорозничнойрешениясистемы уравнения сдеятельнпомощьюсти особенностикритерия Рауса-Гурвица.

1.

2.

3. 2

4.

5. 3

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

40