4.3. Метод потенциалов

Симплекс-метод, используемый для решения транспортной задачи, называется методом потенциалов.

Основные этапы симплекс-метода:

Этап 1. Вычисление оценок. Проверка решения на оптимальность. Если решение оптимальное, то конец. Иначе переход к этапу 2.

Этап 2. Перестроение базисного решения. Переход к этапу 1.

Рассмотрим подробно каждый из этапов применительно к транспортной задаче.

Этап 1. Вычисление оценок и проверка решения на оптимальность

Наша задача ориентирована на min, поэтому нужно учесть критерий оптимальности .

Оценки можно вычислять, используя двойственную задачу, а именно выписываются ограничения двойственной задачи, базисные ограничения записываются как равенства и из полученной системы находится псевдорешение двойственной задачи. Найденные значения двойственных переменных подставляются в небазисные ограничения двойственной задачи, в которых правые части перенесены влево со знаком минус. Полученные значения и есть оценки.

Переходим к вычислению оценок для транспортной задачи. Выпишем ограничения задачи двойственной к транспортной. Обозначим через двойственные переменные к первому блоку ограничений транспортной задачи и через - ко второму блоку ограничений:

	, где ,
	, где ,

.

.

Двойственное ограничение при переменной будет следующим:

.

Двойственные переменные могут быть как положительными, так и отрицательными, так как транспортная задача записана в канонической форме. Следуя теории симплекс-метода, двойственное ограничение соответствующее , запишем как равенство

( из матрицы Х).

Из этой системы найдем , .

Так как количество ограничений равно (m+n–1), а количество переменных равно (m+n), будем полагать, что всегда U₁ = 0 и тогда

,

.

Вычисляем для всех небазисных (i, j) оценки по формуле

.

Алгоритм выполнения этапа 1

Шаг 1. Для всех базисных записывается уравнение .

Шаг 2. U₁ = 0,

Шаг 3. Вычисление остальных потенциалов , по формулам:

,

.

Шаг 4. Для всех (i, j) небазисных вычисляются оценки :

.

Шаг 5. Если все , то вычисляется

.

Конец.

Иначе переход к Этапу 2.

Этап 2. Перестроение базисного решения

Пусть существует , как следует из теории симплекс-метода, если переменную сделать базисной, то значение целевой функции уменьшится.

Посмотрим, как получить значение при отсутствии обычной симплекс-таблицы. Так как сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце в матрице допустимого решения Х должна сохраняться, то если какой-то элемент строки увеличивается, очевидно, что значение некоторого другого элемента в этой же стоке должно быть уменьшено, а некоторое значение в столбце, в котором значение элемента уменьшено, должно быть увеличено и так далее.

Поскольку в строке матрицы может быть несколько ненулевых элементов, то при увеличении одного из них не всегда понятно, какой именно нужно уменьшить, то же самое относится и к столбцу.

Эти элементы можно определить с помощью правила вычеркивания.