4.2. Построение начального базисного решения

Начальное базисное решение строится в соответствии со следующей достаточно простой идей. Выбирается произвольная клетка таблицы Х и в нее заносятся максимально возможный по значению элемент. Так как каждое и , то максимально возможное значение .

Допустимое решение заносится в матрицу Х, в которой будет заполнено ( ) клеток, так как ранг матрицы C равен ( ).

При этом должны выполняться условия:

1. Сумма по строкам равна A_i,

2. Сумма по столбцам равна B_j.

Алгоритм построения начального базисного решения

Шаг 0. k=0.

Шаг 1. Выбирается произвольная свободная клетка (i, j).

Шаг 2. Вычисляется .

Шаг 3. Если , то i-я строка вычеркивается, а .

Шаг 4. Иначе вычеркивается j-й столбец, а .

Шаг 5. .

Шаг 6: Если , то

Конец.

Иначе переход к Шагу 1.

В алгоритме построения базисного решения не задается способ выбора клетки (i, j) для заполнения. Мы предлагаем два наиболее распространенных метода заполнения клеток при построении начального базисного решения:

1. Метод северо-западного угла. (В этом случае для заполнения выбирается левая верхняя клетка.)

2. В методе северо-западного угла не учитывается стоимость перевозок вследствие чего полученное базисное решение может быть далеким от оптимального. Поэтому при заполнении клеток можно предложить в первую очередь заполнять клетки с наименьшей стоимостью перевозок. Этот метод называется методом минимального элемента.

Пример 4.1. Имеется транспортная задача (рис. 4.3).

	5	4	3	1	2	7
	3	6	2	4	3	8
	2	4	5	3	1	10
	1	2	3	4	5	20
Bj	8	10	7	11	9

Рис. 4.3

1. Используем при выборе клеток для заполнения метод северо-западного угла (рис. 4.4).

7							7
1		7					8	1
		3		7			10	7
				0	11	9	20	9
8		10		7	11	9
1		3		0

Рис. 4.4

Невычеркнутых элементов осталось 8, так как ранг матрицы равен 8, то есть матица размера 5×4. 5+4–1=8 (m+n–1).

.

2. Метод минимального элемента (рис. 4.5).

						7			7
				7		1			8	1
						1	9		10	1
8		10				2			20	12
8		10		7		11	9
		2				4
						3

Рис. 4.5

.

Видно, что значение целевой функции на допустимом решении, полученном с помощью метода минимального элемента, лучше по сравнению с другими вариантами. То есть метод минимального элемента – хороший способ нахождения субоптимального решения (решения, близкого к оптимальному).

Однако, поскольку этот метод является эвристическим, не следует надеяться, что с его помощью всегда будет получено хорошее решение.

Задание 1. Придумать пример транспортной задачи, при решении которой использование метода минимального элемента даст допустимое решение со значением целевой функции большим, чем при решении той же задачи с использованием метода северо-западного угла.

Задание 2. Придумать собственный подход к выбору клеток для заполнения и обосновать его целесообразность.

Замечание. При построении начального базисного решения на каждом Шаге вычеркивается либо строка, либо столбец, а на последнем Шаге остается не вычеркнутой и заполняется ровно одна клетка, таким образом общее количество заполненных клеток (m+n–1). Так как число базисных компонент в транспортной задаче равно (m+n–1), то можно предположить, что мы получили базисное решение.