Лабораторная работа № 5

Используя данные, полученные в ходе выполнения своего варианта из лабораторной работы № 1, выполнить следующие задания:

1. Выписать двойственную задачу,

2. Найти ее решение.

4. Транспортная задача

4.1. Математическая модель транспортной задачи

Вербальная модель

Имеется m поставщиков некоторого продукта. A_i ( ) – количество продукта у i-го поставщика.

Имеется n потребителей этого продукта. B_j ( ) – потребность j-го потребителя.

с_ij – затраты на перевозку единицы продукта (1т, 1кг, 1 банка и т.д.) от i-го поставщика к j-му потребителю.

Требуется составить план перевозки продукции от поставщиков к потребителям так, чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными (имеется в виду, что перевозки осуществляет одна фирма).

Предполагается выполнение условия баланса:

,

то есть суммарное наличие продукта у всех поставщиков равно суммарной потребности всех потребителей.

Математическая модель

Пусть – количество продукции, которое перевозят от i-го поставщика к j–му потребителю.

Так как есть условие баланса

, (4.1.1)

то возникают ограничения:

1) от каждого поставщика должна быть вывезена вся продукция

. (4.1.2)

2) каждый потребитель должен быть удовлетворен, т.е. должно быть перевезено столько продукции, сколько нужно, ни больше, ни меньше.

. (4.1.3)

Целевая функция будет выглядеть следующим образом:

. (4.1.4)

Как видно из математической модели, транспортная задача представляет собой ЗЛП в канонической форме, имеющую ( ) ограничений и ( ) переменных. То есть транспортная задача даже при небольшом количестве поставщиков и потребителей оказывается достаточно громоздкой и ее решение с помощью обычного симплекс-метода хотя и возможно, но требует значительных информационных и временных ресурсов. Однако, с учетом специфики системы ограничений, формулы симплекс-метода значительно упрощаются. Модифицированный с учетом структуры матрицы симплекс-метод называется методом потенциалов и будет рассматриваться позже.

Транспортная задача задается таблицей размера ( ), где в первом блоке матрицы размером ( ) выписывается матрица коэффициентов целевой функции . Справа выписывается столбец со значениями , а внизу - (рис. 4.1).

i j	1	…	j	…	n	Ai
1						A1
i						Ai
m						Am
Bj	B1		Bj		Bn

Рис. 4.1

Допустимое решение , также заносится в матрицу размером ( ). При этом i-я строка соответствует i-му ограничению (4.1.2), а j-й столбец – j-му ограничению (4.1.3), откуда следует, что сумма элементов i-й строки матрицы X равна , сумма всех элементов j-го столбца равна (рис. 4.2).

i j	1	…	j	…	n
1						A1
i						Ai
m						Am
	B1		Bj		Bn

Рис. 4.2

Теорема. Для того чтобы транспортная задача была разрешима, необходимо и достаточно выполнение условия баланса.

Замечание. К задаче вида (4.1.1)-(4.1.4) могут сводиться и другие вербальные модели, возможно не имеющие никакого отношения к перевозкам. Однако всегда ЗЛП (4.1.1)-(4.1.4) называется транспортной задачей.

От обычной ЗЛП в канонической форме транспортная задача отличается тем, что в ней ищется минимум функции, а не максимум. Однако нет необходимости заменять ее функцией поиска максимума, так как если есть поиск минимума, то процесс решения не меняется, но при этом критерием оптимальности являются неположительные оценки, то есть .

Так как транспортная задача является ЗЛП в канонической форме, причем в ней не существует единичного столбца, то при решении этой задачи должно быть два этапа:

1. Построение начального базисного решения,

2. Решение транспортной задачи.

Для ЗЛП на первом этапе необходимо вводить искусственные переменные и решать задачу с помощью симплекс-метода с искусственным базисом. Достоинством транспортной задачи является то, что ее начальное базисное решение может быть построено без использования искусственных переменных.