Учебное пособие 1942

структивным и динамическим ограничениям /31/:

PF — подпространство в 2n-мерном пространстве, вид которого определяется уравнением

где X X(t) — n-мерный вектор состояний исполнительных приводов и механизмов в текущий момент времени t;

uu(t) — m-мерный вектор управлений;

—р-мерный вектор параметров двигательной системы; X 0 — начальное состояние.

71

граммного управления предполагается, что эти параметры известны. В рассматриваемом случае на класс ПД накладываются более жесткие ограничения, связанные с учетом структуры множества QX состояний.

Построение ПД осуществляется с учетом свойств динамической модели робота с граничными условиями (3.6) и ограничениями (3.3) (3.4). Эффективным методом синтеза ПД является метод их параметризации с учетом граничных условий (3.6) /28, 29/. Этот метод обеспечивает отыскание приемлемых параметров ПД при выполнении граничных условий (3.6) и учете динамического ограничения (3.4), что достигается путем специального выбора базисных функций.

Рассмотрим подробно один из вариантов метода параметризации ПД /29, 30/. Будем искать ПД в многопараметрическом классе функций вида

72

3)функции {a j (t)}Nj 0 при любом конечном числе N линейно независимы;

4)каковы бы ни были функция X (t) на интервале [t0, tT] и положительное число , суще-

5) функции {a j (t)}Nj 0 достаточно просты для программной или схемной реализации.

Перечисленные требования к базисным функциям имеют следующий смысл. Первое требование обеспечивает решение двухточечной краевой задачи, второе гарантирует осуществимость параметризованного ПД (3.7) с учетом динамики робота, третье и четвертое означают возможность экономного и вместе с тем сколь угодно точного представления ПД в виде (3.7) и, наконец, пятое обеспечивает простоту технической реализации искомого ПД.

Первая задача в рамках параметрического метода построения ПД заключается в рациональном выборе базисных функций. Рассмотрим некоторые примеры и общие рекомендации по конструированию базисных функций.

Базисными функциями, удовлетворяющими сформулированным требованиям, могут служить полиномы

73

В самом деле, при таком выборе базисных функций ПД (3.7) удовлетворяет граничным условиям (3.6), динамическому ограничению (3.4), а также требованиям точной аппроксимации и простой реализации.

Другим примером рационального выбора базисных функций являются тригонометрические многочлены

При конструировании базисных функций можно руководствоваться следующим правилом: в качестве функции a0 (t) выбирать непрерывно дифференцируемую вектор-функцию,

удовлетворяющую граничным условиям (3.6), а в качестве остальных базисных функций - функции вида

где j (t ) — числовые функции на временном интервале [t0, tT], удовлетворяющие однородным граничным условиям, т. е.

j (t0 ) j (tT ) 0, j =1, …, N. (3.12)

В качестве j (t) можно выбирать рассмотренные полиномы и тригонометрические многочлены.

Большой интерес представляет также такая параметризация ПД, когда в качестве j (t) бе-

74

рутся сплайны /15, 23/, т. е. кусочно-полиномиальные функции со следующими свойствами:

1) существует разбиение t0 , tT на подынтервалы, такое, что внутри каждого подынтерва-

ла j (t) представляет собой многочлен степени r ;

2) функции j (t) непрерывны вместе с производными до (r-1)-го порядка и имеют интегрируемую с квадратом производную порядка r на интервале t0 , tT .

Конструирование базисных функций с учетом высказанных соображений обеспечивает соблюдение граничных условий (3.6), динамического ограничения (3.4) при любом выборе параметров 1, ..., N в функции (3.7), а также приводит к высокой точности аппроксимации и простой реализации синтезируемых ПД. После выбора базисных функций a0 (t), a1(t), ...,aN (t) можно перейти к фактическому построению ПД вида (3.7).

Ограничения (3.3) с учетом (3.7) превращаются в систему неравенств относительно параметров

Таким образом, задача построения ПД в результате параметризации (3.7) сводится к решению системы неравенств, описывающих ограничения (3.3), относительно параметров искомого ПД.

Для решения полученных неравенств простым и эффективным является метод, использующий рекуррентные конечно-сходящиеся алгоритмы /39/ решения неравенств.

3.3. Конечно-сходящиеся алгоритмы решения

75

рекуррентных неравенств

Введем искомый вектор подстраиваемых параметров . Пусть t = 0, 1, ... , t-1 - дискретное

которые будем называть безусловными неравенствами.

В задачах адаптивного управления неравенства (3.14) порождаются целевым условием (целью управления); неравенства (3.15) описывают ограничения на возможные значения вектора τt подстраиваемых параметров. Знаки или > в (3.14), (3.15) в каждый момент времени мо-

гут быть любыми. Неравенства (3.15) в частном случае могут отсутствовать.

76

они появляются последовательно во времени после очередного «срабатывания» алгоритма (3.16). Поэтому будем называть (3.14) и (3.15) рекуррентными неравенствами. Для разных алгоритмов (3.16) неравенства (3.14) и (3.15) будут разными. Правая часть (3.16) обычно зависит лишь от τt , t , t .

Уравнение (3.16) является конечно-сходящимся алгоритмом (КСА) решения рекуррентных неравенств - условных (3.14) и безусловных (3.15), если для всех t выполнено (3.15) при

1, для которых при τ τt не выполняется (3.14), называется числом ошибок (коррекций) алгоритма.

77

Итак, КСА - алгоритм, доставляющий решение бесконечного числа заранее незаданных условных рекуррентных неравенств: неравенства (3.14) при t < t* могут остаться невыполненными. На каждом шаге решение должно выбираться из области, определяемой также появляющимся рекуррентным неравенством.

Важно помнить, что рекуррентные неравенства (3.14), (3.15) могут зависеть от алгоритма (3.16): для разных алгоритмов они разные.

При решении задачи построения КСА требуется за конечное время найти решение бесконечной системы неравенств, заранее неизвестных. Однако, многие задачи адаптации приводят к рекуррентным неравенствам, для которых выполнен ряд дополнительных свойств, что дает возможность строить такие алгоритмы. Наличие определенной стабильности, присущей обычно практическим задачам, приводит к тому, что неравенства (3.14), (3.15) выполняются для всех t при значениях подставляемых параметров из некоторой окрестности вектора τ(ξ). Иначе,

для τ τ(ξ) эти неравенства выполнены «с запасом». Второе важное свойство, которое часто

имеет место, - это наличие областей в пространстве { }, определяемых рекуррентными неравенствами (3.14), (3.15). Указанные два обстоятельства позволяют строить КСА следующим образом.

Пусть безусловные неравенства отсутствуют. Обозначим через Тt область, определяемую

дет ближе к неизвестному нам вектору ( ), чем t. Из сделанных предположений следует суще-

78

Рассмотрим КСА «Полоска-1», который целесообразно использовать при прямоугольной форме препятствий.

3.4. Конечно-сходящийся алгоритм «Полоска-1»

Рассмотрим следующую систему условных рекуррентных неравенств в пространстве { }:

79

Неравенство (3.19) для фиксированного t определяет полосу между двумя параллельными плоскостями в пространстве { }. Полосы (3.19) по смыслу решаемой задачи могут быть заранее

Пусть выполняются условия а) и б). Введем обозначение:

80