Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1942

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 312 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

кальные координаты центров масс звеньев. Понятно, что x2 j энергия будет функцией обобщенных координат

П(q) = - g

j=1

= x2 j (q), поэтому потенциальная

mj x2 j (q).

(1.6)

Знак «минус» свидетельствует о том, что вектор силы тяжести направлен вниз по оси Оx2 базовой системы координат.

Из уравнений (1.3) (1.6) может быть получено следующее выражение /12/:

A v j (q) q v +

B v j (q, q ) q v + Cj (q) = Pj,

v=1

v =1

(1.7)

где

(q)q

(q, q) q

v j

q j

C j(q)

1 2 n .

q j

Таким образом, уравнения динамики ИМ с n степенями подвижности представляют собой связанную систему n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Общий порядок системы равен 2n. Состояние механизма как динамической системы определяется 2n

переменными qj , q j , j = 1, 2, ... , n.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев на практике необходимо учитывать ди-

намику только первых трех звеньев манипулятора /5/. Последние три звена универсального робота часто имеют малые размеры по сравнению с тремя первыми и определяют ориентацию рабочего органа. В связи с этим в последующих четырех разделах мы рассмотрим уравнения движения ТМ, работающих в различных системах координат: декартовой, цилиндрической, сферической и угловой, которые различаются соотношением кинематических пар поступательного и вращательного типа. При этом увеличение числа кинематических пар вращательного типа приводит к усложнению уравнений движения и усилению взаимовлияния степеней подвижности.

1.3.Уравнения движения манипулятора

вдекартовой системе координат

Расчетная схема ТМ, работающего в декартовой системе координат, приведена на рис. 1.1. Массы звеньев 1, 2 и 3 обозначены через m1, m2 и m3 соответственно. Масса рабочего органа обозначена m. ТМ имеет три поступательные кинематические пары. Данная кинема-

тическая схема дает возможность исключить взаимное влияние координатных приводов, т.к. перемещения по различным координатам осуществляются вдоль взаимно перпендикулярных осей Ox1, Ox2, Ox3.

	x3	x1
		x1
0		x2
		x2	12
			12
			2
			m2
			m1

Рис. 1.1. Расчетная схема ТМ в декартовых координатах

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой схемы имеют вид:

d	W	W	П	Fj	, j 1, 2, 3.	(1.8)

dt	x j	x j	x j
dt	x j	x j	x j

где Fj —силы, развиваемые в сочленениях поступательных приводов.

Обозначим через V1, V2, V3 и V абсолютные (в декартовой системе) значения скоростей движения точек, в которых сосредоточены массы m1, m2, m3 и m. В таком случае выражения для соответствующих кинетических энергий будут выглядеть следующим образом:

/2 = m1

/2,

W1 = m1V1

x 1

/2 = m2

)/2,

W2 = m2V2

( x 1

+ x 2

(1.9)

/2 = m3

)/2,

W3 = m3V3

( x 1

+ x 2

+ x

)/2.

Wm = m V3

/2 = m ( x 1

+ x 2

+ x 3

С учетом (1.9) кинетическая энергия ИМ:

W( x 1

, x 2

, x

3)=[m1 x

+m2( x 1

+ x

)]/2.

(1.10)

+(m3+m)( x

+ x 2

+ x 3

Потенциальная энергия П(x3) системы зависит только от переменной x3

и ее частные про-

изводные имеют вид:

П /

x1 = 0,

П /

x2 = 0,

П /

x3 = (m3+m)g.

(1.11)

Частные производные от кинетической энергии:

W/ x

1 =

1(m1+m2+m3+m),

W/ x1 = 0,

x 2 =

2(m2+m3+m),

x2 = 0,

(1.12)

W/ x

3 =

3(m3+m),

W/ x3 = 0.

С учетом (1.11) и (1.12) из (1.8) находим уравнения динамики ТМ в декартовых координа-

тах:
(m1	+m2+m3+m) x 1 = F1,

(m2	+m3+m) x	2 =F2,	(1.13)

(m3	+m) x 3+(m3+m)g = F3.

Как видно из (1.13), взаимосвязь движений по координатам x1, x2				и x3 отсутствует.
Введем следующие обозначения:
A1 = m1+m2+m3+m,		A2 = m2+m3+m,			(1.14)
A3 = m3+m,		C3 = (m3+m)g,			(1.14)
A3 = m3+m,		C3 = (m3+m)g,
тогда из (1.13) найдем выражения, соответствующие уравнению (1.7):
		A1 x 1 = F1,	A2 x 2 = F2,	A3 x	3+C3 = F3. (1.15)

Уравнения (1.15) можно представить в векторной форме
			A q + C = P,		(1.16)

где A — диагональная матрица инерционных параметров; q — матрица ускорений обобщенных координат;

C — матрица гравитационных сил;

P — матрица обобщенных сил.

Матрицы A, q , C и P имеют следующий вид:

x 1

F 1

A =

A 2

q =

x 2 , C =

, P = F 2 .

(1.17)

0 A 3

x 3

F 3

1.4. Уравнения движения манипулятора

в цилиндрической системе координат

Расчетная схема представлена на рис. 1.2. Обозначим через J1 момент инерции звена 1 от-

носительно

оси

Ox3, массы звеньев 2, 3 и

рабочего

органа — m2, m3

m соответственно.

Геометрические размеры конструкции указаны на чертеже. Рассматриваемый ТМ имеет одну

вращательную и две поступательные кинематические пары. Обобщенными координатами яв-

ляются угол поворота , высота подъема стрелы l и ее длина r.

Запишем уравнения Лагранжа для исполнительного механизма рассматриваемой схемы.

16 l

Рис. 1.2. Расчетная схема ТМ в цилиндрических координатах

Обозначим через Ws кинетическую энергию звена с номером s. Тогда кинетическая энергия механизма

3
s=1	W = Ws + Wm ,	(1.18)
s=1

где Wm —кинетическая энергия рабочего органа.

Кинетическая энергия звена 1 обусловлена вращательным движением с угловой скоростью , а кинетическая энергия звена 2 — поступательным перемещением массы m2 вдоль оси Ox3. На этом основании имеем:

W1( ) = J1	2/2,	W2( l ) = m2 l 2/2.	(1.19)
17

Обозначим через V3 и V абсолютные (в декартовой системе) значения скоростей движения точек, в которых сосредоточены массы m3 и m. В таком случае выражения для соответствующих кинетических энергий будут:

W3 = m3V3

)/2,

/2 = m3( x 13

x 33

Wm = mV

)/2,

(1.20)

/2 = m( x 1

x 3

где xs3, xs — координаты точек m3 и m соответственно.

Из чертежа находим:

x13 = (r-r0)sin

x1 = r sin

x23 = (r-r0)cos ,

x2 = r cos

(1.21)

x33 = l,

x3 = l.

Подставляя выражение (1.21) в (1.20), получим:

W (r, r, , l )

m [r 2

l 2

(r r )2

2 ]/ 2 ,

(1.22)

W (r, r, , l )

m[r 2

l 2

r 2 2 ]/ 2 .

C учетом (1.18), (1.19) и (1.22) кинетическая энергия ИМ определяется из выражения

	[(J1 + mr	2	2	)		2	+
W (r, r, ,l)	[(J1 + mr		+ m3(r-r0)	)			+
							2		2	]/2.	(1.23)
					+ (m2 + m3 + m) l			+ (m3 + m) r		]/2.	(1.23)

Потенциальная энергия системы П зависит только от переменной l:

П(l ) = m1 g x2

* +m2 (l-l 0 )g+(m3 +m)gl,

(1.24)

где m1, x2* —масса и положение центра масс звена 1.

Обозначим через Ммомент в сочленении координаты , через Fl, Fr обозначим силы, действующие в сочленениях поступательного типа. Уравнения Лагранжа будут иметь вид:

d	W	W	П	M ,

d t
d t
d	W	W	П	Fl	,	(1.25)

d t	l	l	l
d t	l	l	l
d	W	W	П	Fr	,

d t	r	r	r
d t	r	r	r

Частные производные от кинетической и потенциальной энергии:

W/ = [J1+mr2+m3(r-r0)2] ,			W/ = 0,
W/	l = (m2+m3+m) l ,		W/ l = 0,
				2	(1.26)
W/		W/ r = [mr+m3(r-r0)]			,
	r = (m3+m) r ,

П / = 0, П/ l = (m2+m3+m)g, П/ r = 0.

Из (1.25) и (1.26) находим уравнения динамики ТМ:

J	1	mr 2 m	(r r )2		2 mr	m	(r r ) r	M ,
	1	3	0			3	0

					(m2 m		m 3 m)g F l,	(1.27)
					(m2 m	3 m)l (m 2	m 3 m)g F l,	(1.27)
(m	3	m)r	mr m	(r r ) 2	F .
	3		3	0	r

Первое и третье уравнения системы (1.27) взаимосвязаны, что свидетельствует о взаимовлиянии движений по углу и вдоль направления r.

Введем следующие обозначения:

A r	J	1	m	r r 2	mr 2	,
		1	3	0
B r, r,			2 mr m3 r r0			r ,
A l	m2		m3	m ,			(1.28)
							(1.28)
Cl	m2		m3	m g ,
A m m ,				B r,		mr m r r	2 .
r	3			r		3 0

C учетом (1.28) уравнения динамики ТМ приобретают вид:

<<< < Предыдущая 12 / 312 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.04 Mб17Учебное пособие 1938.pdf
#
30.04.20223.04 Mб9Учебное пособие 1939.pdf
#
30.04.2022323.94 Кб4Учебное пособие 194.pdf
#
30.04.20223.05 Mб2Учебное пособие 1940.pdf
#
30.04.20223.05 Mб3Учебное пособие 1941.pdf
#
30.04.20223.06 Mб13Учебное пособие 1942.pdf
#
30.04.20223.06 Mб6Учебное пособие 1943.pdf
#
30.04.20223.07 Mб2Учебное пособие 1944.pdf
#
30.04.20223.07 Mб5Учебное пособие 1945.pdf
#
30.04.20223.09 Mб4Учебное пособие 1947.pdf
#
30.04.20223.11 Mб5Учебное пособие 1949.pdf