Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1942

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 316 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

вания и так называемые однородные координаты /14, 18/. Получаемые таким образом уравнения удобны для анализа с помощью ЭВМ.

Втех случаях, когда кинематические схемы механизмов просты, а число степеней подвижности не превышает трѐх, уравнения кинематики целесообразно выводить непосредственно по расчѐтным кинематическим схемам. Именно таким образом мы будем поступать при выводе кинематических уравнений для манипуляторов, работающих в цилиндрической, сферической и угловой системах координат. Для манипулятора с декартовой системой координат никаких преобразований переменных не требуется, так как он работает непосредственно в базовой системе отсчѐта.

Впоследующих разделах мы получим уравнения кинематики и рассмотрим прямые и обратные задачи для трѐх типов кинематических схем трѐхкоординатных манипуляторов.

2.2. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в цилиндрической системе координат

Возвратимся к расчетной схеме, представленной на рис. 1.2.

Связь между декартовыми координатами x1, x2, x3 груза массой m и обобщенными координатами , l, r имеет вид:

x1 r sin ,

x 2 r cos ,

x 3 l .

(2.7)

Дифференцируя (2.7) по времени, получим уравнения кинематики для скоростей:

sin

r cos ,

cos

r sin ,

l . (2.8)

Кинематические уравнения (2.7), (2.8) можно записать в векторной форме. Для принятых обозначений обобщенных координат q1= , q2 = l, q3 = r уравнения (2.7) примут вид:

x1 = q3 sin q1 ,	x2 = q3 cos q1 ,	x3	= q 2 .
Введем следующие обозначения:
f1 (q) = q3 sin q1 ,	f2 (q) = q3 cos q1 ,	f3	(q) = q2 ,

тогда выражения (2.9) приобретут форму уравнений (2.1). Уравнения кинематики для скоростей записываем согласно (2.2).

В данном случае Якобиан определяется из выражения:

	F ( q )			q 3 sin q1		q 3cosq1	0	sin q 1
J(q) =		=		q	3cosq1	= -q 3sin q 1	0	cosq 1 .
	q
			q		q2	0	1	0

Вектор скорости определяется уравнением

X	x1	q 3cos q1	0	sin q 1	q1
X	= x2	= -q 3sin q 1	0	cos q 1	q2 .

	x3	0	1	0	q3

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Решение обратной задачи кинематики для рассматриваемого манипулятора получается из системы уравнений (2.7):

	x1
	x1				2	2
arctg		,	l = x3,	r	x1	x3 .	(2.13)
arctg	x2	,	l = x3,	r	x1	x3 .	(2.13)
	x2

Скорости изменения обобщенных координат находим дифференцированием по времени уравнений (2.13):

1 x 2

х1 x1

х2 x 2

x 21

x 22

l х3 ,

x 2

. (2.14)

Отметим, что в (2.13) необходимо принимать главные значения arctg(x1/x2), которые ограничены пределами от - /2 до + /2. Так как изменяется в общем случае в пределах от - до + , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями:

arctg (x1/x2)		при	x2 >0,
+	/2	при	x2 =0, x1 >0,
=	/2	при	x2 =0, x1 <0,	(15)
=	/2		(2.15)
arctg (x1/x2) +		при	x2 <0, x1 >0,
arctg (x1/x2) -		при	x2 <0, x1 <0.

2.3. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в сферической системе координат

Связь между декартовыми координатами x1 , x2 , x3 груза массой m и обобщенными коор-

динатами

1 ,

2 , r для расчетной схемы, представленной на рис. 1.3, имеет вид

sin

cos

sin

(2.16)

x 3

cos

Уравнения кинематики для скоростей получаются в результате дифференцирования (2.16)

по времени

sin

1 cos 2

r 1 cos

1 cos

r 2

sin

1 sin

2 ,

sin

r 2

cos 2 ,

(2.17)

cos

1 cos 2

r 1 sin

1 cos

r 2

cos

1 sin

2 ,

Обозначим q1 = 1 , q2 = 2 , q3 =r. Тогда уравнения (2.16) можно представить в следующем

виде:

q 3 sin q 1cosq 2
X = F(q) = l q 3 sin q 2	.	(2.18)
q 3 cosq 1cosq 2

В этом случае Якобиан будет равен
	q 3 cosq1 cosq 2	-q 3 sin q1 sin q 2	sin q1 cosq 2
J(q) =	0	q 3 cosq 2	sin q 2	. (2.19)
	-q 3 sin q1 cosq 2	-q 3 cosq1 sin q 2	cosq1 cosq 2

Обратная задача для рассматриваемого манипулятора имеет следующее решение:

				arctg		x	1	,		arctg	x	2	l	,
		1				x			2
		1					3		2		x	2	x 2
							3				x	2	x 2
												1	3
										(2.20)
r	x	2	l	2 x	2		x 2 .			(2.20)
r	x		l	2 x	2		x 2 .
					1			3

Скорости изменения обобщенных координат находим дифференцированием по времени уравнений (2.20):

	x1 x 3	x1		x 3	,
1	x 2	x	2

	1		3

	x	2	x 2	x 2		x	2	l x	1	x	1	x	3	x	3
		2	1	3			2		1		1		3		3	,	(2.21)
2						l 2
			x 2	x				x 2		x 2		x	2

					2
			1		2			3		1			3

r	x1 x1		x 2 l x 2			x 3	x 3	.

					l 2
		x 2	x	2	l 2	x 2
	1			2		3

В первом уравнении системы (2.21) необходимо принимать значения arctg(x1 / x3 ), которые ограничены пределами от - /2 до + / 2. Так как 1 изменяется в общем случае в пределах от - до+ , то для его определения необходимо пользоваться соотношениями:

arctg (x1/x3)		при	x3 >0,
+	/2	при	x3 =0, x1 >0,
1 =	/2	при	x3 =0, x1 <0,	(15)
			(2.22)
arctg (x1/x3) +		при	x3 <0, x1 >0,
arctg (x1/x3) -		при	x3 <0, x1 <0.
Угол 2 изменяется в пределах от - / 2		до + / 2 , его значения вычисляются по (2.20) с

учетом того, что 2 = / 2 при x1 = x3 = 0.

2.4. Прямая и обратная задачи кинематики при управлении манипулятором в угловой системе координат

Согласно расчетной схеме рассматриваемого манипулятора, приведенной на рис. 1.4, прямая задача кинематики решается в следующем виде:

[l 2

cos

l 3

cos(

3)] sin

1 ,

x 2

l 2 sin 2 l 3 sin( 2

3 ) l 1 ,

(2.23)

x 3

[l 2

cos

l 3

cos(

3)] cos

1 .

Дифференцируя (2.23) по времени, получим уравнения

кинематики для скоростей

[-l 2 2

sin

l 3( 2

sin(

3)]

sin

[l 2 cos

l 3

cos(

3)] cos

1 1,

x 2

l 2 2

cos

l 3( 2

cos(

3) ,

(2.24)

x 3

[-l 2 2

sin

2 l 3( 2

sin(

3)]

cos

- [l 2

cos

l 3

cos(

3)] sin

1 1.

Обозначим q1 =

1 , q2 =

2 , q3 =

3 , тогда уравнения (2.23) записываются в виде:

[l 2 cosq 2

l3 cos(q 2

q3 )]sin q1

X = F(q) =

l 2 sin q 2

l3 sin(q 2

q3 )

(2.25)

[l 2 cosq 2

l3 cos(q 2

q3 )]cosq1

Дифференцируя (2.25), можно получить выражение для матрицы J(q), входящей в векторное уравнение кинематики для скоростей (2.2). Это выражение слишком громоздкое и поэтому не приводится.

Из первого и третьего уравнений системы (2.23) получим

arctg

x 1

(2.26)

1	x 3
	x 3
Обобщенные координаты 2 и 3 можно выразить из треугольников, представленных на
рис. 2.1 и соответствующих верхней части рис. 1.4.
B

	3
2		С
2
	2	D
		D

Рис.2.1. Схема для определения обобщенных		коорди-
нат 2 и 3
Величины отрезков, изображенных на рис.2.1. равны

AB =l2 , BC =l3 , CD =x2 -l1 ,	AD = x 12 x32 . (2.27)

Из треугольника ACD находим

			2						2
AC =	AD						CD							=				x	2			x 2				(x				- l ) 2		,	(2.28)
AC =	AD						CD							=				x	2			x 2				(x				- l ) 2		,	(2.28)
																			1			3				2				1
																																		CD	= arctg	x 2		l 1
																																		CD		x 2		l 1
																															2 '= arctg			AD					.	(2.29)
																															2 '= arctg			AD			x12	x 32		(2.29)
																																					x12	x 32
Из треугольника ABC в соответствии с теоремой косинусов определяем углы																																								2 '' и 3:
2 ''= arccos								AB				2				AC					2	-		BC				2		=
								AB				2				AC					2	-		BC				2

													2		AB				AC


		l		2		l 2				x				2		l	2					x			2			x 2
= arccos				2	3									2			1								1	3				,			(2.30)

			2 l		2				x				2		l	1	2					x 2			x 2
			2 l						x						l		2					x 2			x 2
																						1				3
3 = arccos								AB			2					BC				2		-	AC				2			=
								AB			2					BC				2		-	AC				2

													2		AB				BC


arccos			l 22				l 32						x 2 l 1						2					x12					x 32
																															.		(2.31)
															2 l 2 l 3																.		(2.31)
															2 l 2 l 3
Таким образом, для обобщенных координат																																2 и	3 из выражений (2.29) (2.31) имеем

		x		2	l 1		l 22 l 32		x 2 l 1				2	x12	x 32
2	arctg					arccos										, (2.32)

			x 2		x 2								2
							2 l		x		l			x 2	x 2
							2 l	2	x	2	l	1		x 2	x 2
				1	3			2		2		1		1	3

		l 2	l 2	x	2	l	2	x 2	x 2
	arccos	2	3		2		1	1	3	.	(2.33)
3	arccos				2 l 2 l 3					.	(2.33)
3

Уравнения (2.26), (2.32) и (2.33) позволяют решить обратную задачу кинематики для перемещений. Дифференцируя их по времени, получим уравнения для определения скоростей изменения обобщенных координат

	х1 x	3	x1 х 3	,	(2.34)
1	x	2	x 2	,	(2.34)
1	x	2	x 2
		1	3

		х	2		x 2		x 2					x		2		l	1	x		1		х	1			x	3			х	3							1
			2		1			3						2			1			1			1				3				3
2																																		x12			x32							2
2					x 2		x 2				x		2		l	1	2					x 2				x		2												x2			l1
					x 2		x 2				x				l		2					x 2				x		2												x2			l1
					1			3															1				3
x х				1	x		х	3		x		2		l			х		2		l 2					l 2				x2			x2				x	2	l		2
1				1	3			3				2			1				2		3					2					1		3					2	1				, (2.35)

		2 2				2				2 x					2	2 l 1				2х 2					2 x1					х2	1		x23		х 3					2	2
		2 2				2				2 x					2	2 l 1				2х 2					2 x1					х2	1		x23		х 3					2	2
	4l2 x1					x			x					l					l					l					x				x			x l						.	(2.36)
	4l2 x1					3			2					1					2					3					1				3			2 1						.	(2.36)
					3		2l			l				2			l 2			l	2					x				l			2		x	2		x 2			2
							2l		2	l	3			2			l 2			l	2					x	2			l		1	2		x	2		x 2			2
									2		3						2				3						2					1				1		3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 316 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.04 Mб17Учебное пособие 1938.pdf
#
30.04.20223.04 Mб9Учебное пособие 1939.pdf
#
30.04.2022323.94 Кб4Учебное пособие 194.pdf
#
30.04.20223.05 Mб2Учебное пособие 1940.pdf
#
30.04.20223.05 Mб3Учебное пособие 1941.pdf
#
30.04.20223.06 Mб13Учебное пособие 1942.pdf
#
30.04.20223.06 Mб6Учебное пособие 1943.pdf
#
30.04.20223.07 Mб2Учебное пособие 1944.pdf
#
30.04.20223.07 Mб5Учебное пособие 1945.pdf
#
30.04.20223.09 Mб4Учебное пособие 1947.pdf
#
30.04.20223.11 Mб5Учебное пособие 1949.pdf