Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1439

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Примеры решения задач

∞

n+1

Пример 2.26. Найти множество сходимости ряда ∑

(−1)

n =1

Решение. Отметим, что все члены ряда определены при x > 0 . Для нахо-

ждения множества сходимости ряда применим признак Коши.

ln x

lim n

u n (x)

= lim n

ln x

lim n

ln x

n →∞

n →∞ n

Ряд сходится, если

ln x

< 1

−1 < ln x < 1

< x < e . Замечая, что

при x = e ряд сходится по признаку Лейбница, окончательно получаем,				что ряд
сходится при	1	< x ≤ e .
сходится при	e	< x ≤ e .	(−1)n−1 x 2
	e	∞
		∞
Пример 2.27. А. Установить равномерную сходимость ряда ∑
Пример 2.27. А. Установить равномерную сходимость ряда ∑				+ x 2 ) n
		n =1 (1		+ x 2 ) n

на всей числовой прямой R.

Б. Показать, что ряд из абсолютных величин данного ряда сходится (но не равномерно) на R.

Решение. А. Заметим, что данный ряд – знакочередующийся, поэтому для него выполнены соотношения

rn (x)

x 2

x R.

(1+ x 2 )n+1

2(n+1)

n +

1+ (n +1) x

2 + ... + x

(n +1) x

Отсюда, каково бы ни было ε > 0 , найдется номер N (ε ) =

−1

такой, что

для всех n > N(ε ) справедливо неравенство

< ε , а значит, и неравенство

n +1

rn ( x) < ε выполнено для всех x R . По определению это означает, что данный ряд сходится равномерно на R.

∞	x	2
Б. Исследуем теперь на равномерную сходимость ряд ∑			,	со-


n =1 (1	+ x 2 ) n

ставленный из абсолютных величин данного ряда. Нетрудно заметить, что этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем

q =	1	. Для x ¹ 0, q <1 имеем
	1 + x 2

x 2

(x)

x 2

+ ... =

(1 + x 2 )n+1

(1 + x

)

(1 + x

)

(1 + x

)

n+1

n+2

1 − (1 + x 2 )

Отсюда видно,

что

при x →0

для каждого n N

выполнено условие

rn (x) → 1, то есть остаток ряда не может быть меньше произвольно малого чис-

	∞		x	2
ла ε > 0 сразу для всех x R . Это означает, что ряд ∑			x		сходится, но

			+ x 2 ) n
	n =1 (1		+ x 2 ) n
неравномерно, на R.	∞
	∞
Пример 2.28. Найти область сходимости ряда ∑ 5 n x n 2 .
	n= 0
Решение. Для данного ряда
∞
∑ 5 n x n	2 = 1 + 5 x + 5 2 x 4 + 5 3 x 9 + ... +5 n x n	2	+ ...

n= 0

бесконечное множество коэффициентов равно нулю: a k = 0 при k ¹ n 2 . В этом

случае нельзя применять формулы (2.4) для вычисления радиуса сходимости ряда. Для нахождения интервала сходимости применим признак Коши.

∞,

если

> 1,

n =

= lim n

5 n

n 2

= lim 5

= 1,

lim n

u n

(x)

если

n →∞

если

< 1.

Итак, интервал абсолютной сходимости ряда (−1;1) . В концевых точках

этого интервала ряд расходится, так как при x = ±1для исходного ряда не выполняется необходимое условие сходимости.

Дифференцирование и интегрирование рядов часто применяется для нахождения сумм как функциональных, так и числовых рядов. Для вычисления суммы числового ряда составляется вспомогательный функциональный ряд, который при некотором фиксированном значении переменной совпадает с данным числовым рядом. Чаще всего в качестве вспомогательного выбирается степенной ряд. В этом случае используется следующее утверждение.

∞
Теорема. Если числовой ряд ∑ a n	сходится, то для 0 < x < 1 сходится
n = 0
∞	∞		∞
степенной ряд ∑ a n x n и справедливо равенство ∑ a n =		lim	∑ a n x n .
n = 0	n = 0	x →1−0 n = 0

Пример 2.29. На интервале сходимости (−1;1) найти сумму ряда

∞

∑ n x n−1 = 1+ 2 x + 3 x 2 + ... + n x n−1 + ... .

n =1

Решение. В разделе 2.1.1 сумма этого ряда уже была найдена по определению. Здесь мы используем свойство интегрирования функциональных рядов. Данный ряд является степенным, поэтому его можно почленно интегрировать во внутренних точках интервала сходимости. Обозначим сумму данного ряда

∞

через S (x) , то есть S(x) = ∑n x n−1,

x Î(-1;1) . Тогда

n = 1

∞

∫ S (t) d t = ∫

∑ n t n−1

d t = ∑ n ∫ t n−1 d t = ∑ x n =

< 1.

1 − x

n = 1

′

Отсюда S (x) =

∫ S (t) d t

x Î(-1;1) .

(1 - x)

1 - x

Замечание. Используя результат этого примера, можно находить суммы

∞

числовых рядов вида ∑

, где q = 2, 3, …

Действительно, положив в равен-

n = 1 q

стве

∞

S(x) = ∑ n x n−1 =

< 1,

x =

n = 1

- x)2

и получим

∞

1 ∞

∑

(q -1)2

n = 1 q n

q n = 1 q n−1

∞

В частности, при q = 2 имеем ∑

= 2, при q = 3 имеем

∑

и так

n = 1 2 n

n = 1 3n

далее.

Аналогично получается равенство

∞

q (q +1)

∑

, q = 2, 3, …,

(q -1) 3

n = 1 q n

которое рекомендуется доказать самостоятельно.

∞

x 2 n+1

Пример 2.30. Найти сумму ряда ∑

n = 0

(2 n +1)!

Решение. Данный степенной ряд сходится на всей числовой оси, поэтому его можно почленно дифференцировать при любом x R . Обозначим сумму этого ряда через S (x) и найдем первую и вторую производные S ′(x) и S ′′(x) .

∞

2 n+1

S (x) = ∑

= x +

+ ...

(2 n + 1)!

n = 0

∞

2 n

S ′(x) = ∑

= 1 +

+ ...

n = 0 (2 n)!

∞

2 n+1

S ′′(x) = ∑

= x +

+ ...

(2 n + 1)!

n = 0

Отсюда получаем, что S ′′(x) = S (x) .

Это дифференциальное уравнение

относительно неизвестной функции S (x) , для которого начальные условия, очевидно, имеют вид S (0) = 0, S ′(0) = 1 . Уравнение S ′′(x) − S (x) = 0 является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение k 2 − 1 = 0 имеет корни k1 = 1, k 2 = −1 и, как

следствие, S (x) = C e x					+ C			2	e− x				.	Постоянные C						и	C	2	находим из начальных
			1					2											1			2
условий												S (0) = 0 = C1 + C2 ,
												S (0) = 0 = C1 + C2 ,
												S		'(0) = 1 = C − C					2	.
																1			2
Легко видеть, что C =											1	,		C		= −	1	. Таким образом, для суммы ряда по-
Легко видеть, что C =												,		C	2	= −		. Таким образом, для суммы ряда по-
					1				2						2	2
лучаем выражение									2							2
лучаем выражение
S (x) =	1	e x −	1	e−x = sh x .
S (x) =		e x −	2	e−x = sh x .
2			2
Замечание 1. Примененный в этом примере прием допускает обобщение
				∞		x	k n
на ряды вида S (x) = ∑						x				,			k N. В этом случае сумма S (x) удовлетворяет
на ряды вида S (x) = ∑										,			k N. В этом случае сумма S (x) удовлетворяет
				n = 0		(k n)!

дифференциальному уравнению S (k ) (x) = S (x) . (Рекомендуем проверить это утверждение самостоятельно).

∞

2 n+1

∞

2 n

Замечание 2. Суммы рядов ∑

и ∑

можно найти про-

(2 n + 1)!

n = 0

(2 n)!

ще,

если

воспользоваться представлением функции

e x степенным рядом

∞

e x =

∑

, сходящимся на всей числовой оси:

n = 0 n!

∞

2 n+1

∞

∑

- ∑

n = 0

(2 n +1)! 2 n = 0

n! n = 0

∞

2 n

∞

∑

+ ∑

n = 0 (2 n)! 2

n = 0

∞

Пример 2.31. Найти сумму ряда ∑

n = 0

(-x)	n		e	x	- e	−x
(-x)		=	e		- e		= sh x,
		=					= sh x,
n!					2
n!					2

(-x)	n		e	x	+ e	− x
(-x)		=	e		+ e		= ch x.
		=					= ch x.
n!					2
n!					2

x 2 n

n!(2 x −1) n

Решение. Хотя данный функциональный ряд не является степенным, его можно свести к степенному с помощью замены переменной. Для этого заметим, что общий член данного ряда можно записать следующим образом:

u n	(x) =	2 n	=		1			.
		n!(2 x -1) n				1
							n
				n !	x -
						2

	1	−1	∞	y	n
		= y исследуемый ряд запишется в виде ∑
После замены x -						.

	2		n = 0	n!
Сумма этого ряда известна и равна e y			для любого y R . Отсюда получаем для

∞	2	n		2
				2 x−1
исследуемого ряда ∑			= e

	n!(2 x −1) n
n = 0

для всех x ¹ 1 . При этом ряд схо-

дится к своей сумме для всех x ¹ 1 .

Пример 2.32. Разложить в ряд Тейлора по степеням x функции

1) ,

1 + x

2) arcsin x ,

3) ln (x + 1 + x 2 ) и указать множество сходимости каждого ряда.

	1			1		−	1
	1			1		−
Решение: 1) функцию			можно записать в виде			= (1 + x) 2		и

	1	+ x		1	+ x
	1	+ x		1	+ x

воспользоваться готовым разложением для функции (1 + x) α при α = - 1 полу-

чаем:

−

−1 ...

−

− n + 1

∞

= 1 + ∑

x n =

1 + x

n = 1

∞	(-1)n ×1×3...(2 n -1)	x	n	∞	(-1)n (2 n -1)!!	n	.
= 1 + ∑	2 n n!	x		= 1 + ∑	x		.
n = 1	2 n n!			n = 1	(2 n)!!

Множество сходимости этого ряда есть промежуток (−1;1]. Проверить са-

мостоятельно, что этот ряд сходится при x = 1;

2) вместо того, чтобы разложить функцию arcsin x в ряд Тейлора непосредственно, последовательно вычисляя производные при x = 0 , заметим, что

arcsin

x =

∫

0 1 - t

Разложение для функции

получается из разложения функции

1 - x2

в пункте (1)

заменой x на (-x 2 ) :

1 - x

∞

(2n −1)!!

= 1

+ ∑

2n ,

< 1.

1 − x 2

n=1

(2n)!!

Почленным интегрированием этого ряда получаем разложение в ряд функции arcsin x :

∞	(2n -1)!!		x2n+1 ,
arcsin x = x + ∑				x	£ 1.

	(2n)!!(2n +	1)
n=1
n=1
В пп. 2.1.2 было установлено, что этот ряд сходится при x = 1, а следова-

тельно, и при x = −1. Поэтому разложение арксинуса в степенной ряд справедливо на отрезке [ −1,1] , что отражено в неравенстве x ≤ 1.

Заметим, что из разложения функции arcsin x в ряд Тейлора при x = 1 получаем

p	∞	(2n -1)!!
	= 1 + ∑		.

2	n=1	(2n)!!(2n +1)

Это означает, что этот ряд может быть использован для приближенного вычисления числа π.

3) Для разложения функции ln (x + 1 + x2 ) в ряд по степеням x воспользуемся тем же приемом, что и в пункте 2. Замечаем, что

				x		dt
ln (x +	1 + x 2 )= ∫
							.


		0			1 + t 2
Разложение для функции	1		получаем из разложения пункта 1 заме-

1 + x2

ной x на x 2 :

∞

= 1 + ∑

(-1)

(2n

-1)!!

x2n ,

£ 1.

1 + x2

n=1

(2n)!!

Почленное интегрирование этого разложения дает

∞

ln (x + 1 + x 2 )

(-1)

(2n -1)!!

x2n+1 ,

= x + ∑

£ 1.

2.33.

n=1

(2n)!!(2n +1)

Пример

Найти

области

сходимости

ряда

общим

членом

un (x) = (−1)n ne− xan , n N , a = const > 0

и его суммуs(x) .

Решение. Ряд сходится абсолютно при х>0 и расходится при х≤0. Обозна-

чим e− xa = t и найдем сумму ряда s(t) . Имеем 0 < t < 1,

∞

s(t) = t∑(−1)n nt n−1 ≡ ts1 (t) ,

n=1

∞

∫ s1 (t)dt = ∑(-1)n−1 t n =

+ t

n=1

s(t ) = t (1 + t )−2 , т.е.

s(x) = e−ax (1 + e−ax )−2 .

Пример 2.34. Используя разложение функции f (x) = xsin x + cos x , найти

f (1991) (0) и f (1992 ) (0) .

f ( 2 k −1) (0) = 0 , т.е. f (1991) (0) = 0 .

Решение. f (x) −

четная функция, поэтому

Найдем f (1992 ) (0) .

x1991

x1992

Имеем f (x) = x x -

+ × × × -

+ × × × + 1 -

+ × × × +

- × × ×

1991!

1992!

одной

стороны, коэффициент

при

x1992

ряде Маклорена равен

f (1992) (0)

, с другой – он получается равным -

. В силу единствен-

1992!

1991!

1992!

ности

разложения

эти

коэффициенты

должны

совпадать,

поэтому

f (1992) (0) = −1991.

Замечание. Можно было сначала записать ряд Маклорена f 1 (x) = x cos x ,

а затем, интегрируя этот ряд,

f (0) =1.

Получить разложение

f (x) с учетом

Пример 2.35 .Доказать, что уравнение x - 3x3

+ 5x5

- 7x7

+ ×× =

имеет

1992

по крайней мере один положительный корень.

Решение. Ряд сходится при

< 1, при этом

f (x) = (1− x)2 x(1+ x2 )−2 =

;

корень уравнения x

(0;0,5) .

1992

Задачи для самостоятельного решения

Найти множество сходимости (абсолютной и условной) функционального

ряда.

∞

∑

;

∑

;

n=1 1 − x n

n=1 (1 + x)(1 + x 2 )K(1 + x n )

∞

x (x + 1)K(x + n)

∞

(−1)n (2n −1)!!

∑

;

∑

x n ;

n=1

(2n)!!

∞

(−1)[

]

∞

(−1)[

]

∑

;

∑

xn ;

n=1

n x

n=1

∞

33n (n!)

∞

(3 + (−1)n )n

∑

tg n x ;

∑

xn .

(3n)!

n=1

Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функциональные ряды:

∞

(−1)n

∞

sin nx

∑

0 < x < +∞ ;

10.

∑

x + n

n=1

n n

∞

(−1)

[

]

∞

(−1)

n−1

11.

∑

, 0 ≤ x < +∞;

12.

∑

n + x

n=1

n(n + x)

n=1

∞

13.

Доказать,

что если сходится числовой ряд ∑ an ,

n=1

сходится равномерно на множестве x ³ 0 .

x< +∞;

,0 ≤ x < +∞ .

то ряд Дирихле

∞ 1

14. Показать, что дзета-функция Римана ζ(x) = ∑ x непрерывна при

n=1 n

имеет в этой области производные всех порядков.

Найти множества сходимости и суммы следующих рядов.

∞

n2 +1

∞

x n+1

15.

∑

xn ;

16.

∑

;

n=0 2n n!

n=1 n (n + 1)

∞

(−1)

n+1

cos

n+1

17.

∑

;

18.

∑

;

n(n + 1)

n=1 xn

n=1

∞

(−1)

2n sin π n

19.

∑

;

∞

n=1 2n!(1 + x)

20.

∑

n=0

Вычислить суммы следующих числовых рядов.

∞

(−1)

n−1

∞

21.

∑

;

22.

∑

;

n=1

n=1 n 3n

∑∞ anx n=1 n

x > 1 и

	∞					1
23.	∑(−1)n−1 ln 1 −								;
23.	∑(−1)n−1 ln 1 −				(n	+ 1)		2	;
	n=1				(n	+ 1)
25.	Найти	сумму					ряда
π		π	(2n −1)!!
2
∫ cos 2n x dx =							.
∫ cos 2n x dx =							.
0		2		(2n)!!
0

	∞	2n −1
	24. ∑			.
	24. ∑			.
∞	n=1		2n
∞	(2n −1)!!
∑(−1)n−1	(2n −1)!!		, используя соотношение
∑(−1)n−1	(2n)!!		, используя соотношение
n=1	(2n)!!

Разложить в ряд Тейлора по степеням x следующие функции. Указать множества сходимости полученных рядов и их суммы.

∞

26.

∑

;

27.

ln (1− x + x2 );

− x)

n=1 (1

28. ln (1 − x + x2 + K+ (−1)2k −1 x2k −1 ) ;

29.

arctg x

1− x

∞

30.

Пусть

f (x) = ∑an xn . Написать

разложение

по

степеням

функции

n=0

F(x) =

f (x)

31.

1− x

Разложить в ряд по степеням x функцию

f (x) =

(1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 )(1 + x8 )

∞

5 + 1

32.

Доказать справедливость разложения

= ∑ an xn ,

− x − x2

n=0

где коэффициенты an – есть последовательные числа

Фибоначчи, определяе-

мые рекуррентной формулой

= 1, a1 = 1, an = an−1 + a n−2

при

n ³ 2.

33.

Получить разложение в ряд по степеням

x функции

f (x) =

, пред-

1 − x − x 2

варительно представив ее в виде суммы простейших дробей. Найти явную

формулу для вычисления чисел Фибоначчи.

∞

34.

Доказать равенство ∫ x −x dx = ∑

n=1 n

35. Разложить в ряд по степеням модуля k (0 ≤ k < 1) полные эллиптические ин-

тегралы:

2		dϕ
а) первого рода F (k ) = ∫			,
а) первого рода F (k ) = ∫			,
0	1 − k 2 sin 2 ϕ
	89

б) второго рода E(k ) = ∫	1 − k 2 sin 2 ϕ dϕ .
0
36. Используя разложение функции f (x) = e−2 x (x + 2) , найти				f (1992 ) (0) .
37. Используя разложение функции f (x) = e− x2 (x + 1) , найти				f (10) (0) .
	функции f (x) = ln(x +		) , найти f (11) (0) и
38. Используя разложение	функции f (x) = ln(x +	1 + x2	) , найти f (11) (0) и
f (10) (0) .

39. При каком a R уравнение x2 + x3 + ××× + nxn+1 + ××× = a имеет решение? Найти его.

40.Разложить в ряд Маклорена функции:

а) sin(μ arcsin x), μ R;

б) arctg x + 3 .

x− 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.16 Mб3Учебное пособие 1434.pdf
#
30.04.20221.16 Mб16Учебное пособие 1435.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1436.pdf
#
30.04.20221.16 Mб114Учебное пособие 1437.pdf
#
30.04.20221.16 Mб2Учебное пособие 1438.pdf
#
30.04.20221.16 Mб15Учебное пособие 1439.pdf
#
30.04.2022300.67 Кб2Учебное пособие 144.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1440.pdf
#
30.04.20221.17 Mб4Учебное пособие 1441.pdf
#
30.04.20221.17 Mб1Учебное пособие 1442.pdf
#
30.04.20221.17 Mб7Учебное пособие 1443.pdf