Учебное пособие 1439

Тогда BD: DC =1: 2 BD = 1 BC , тогда AD = a + (b + a)= 2a + b . Возве-

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что а) из медиан произвольного треугольника можно составить треугольник;

б) площадь треугольника, составленного из медиан, равна площади ис-

ходного треугольника; в) сумма площадей треугольника, составленного из медиан и треугольни-

ка, полученного соединением оснований медиан, равна площади исходного треугольника.

2.Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна нулю.

3.Доказать, что кривая, заданная параметрическими равенствами

x= a1t 2 + b1t + c1,

y = a2t 2 + b2t + c2 ,

z = a3t 2 + b3t + c3 ,

плоская (то есть лежит в некоторой плоскости).

4. Доказать, что при любом расположении в пространстве точек A, B,C, D имеет место равенство

( АВ,СD) + (CA, BD) + (BC, AD) = 0

Используя полученное равенство, доказать следующее утверждение. Если в тетраэдре два ребра соответственно перпендикулярны своим про-

тивоположным, то и остальные два ребра перпендикулярны.

5.Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

6.Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, делит его на две одинаковые по объему части.

7.Показать, что во всяком треугольнике ABC

ctg A+ ctg B+ ctgC = a2 + b2 + c2 , 4 S

где a,b,c −длины сторон, а S − площадь треугольника.

8. А. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить по формуле

101

где a,b,c,d – длины сторон, p – полупериметр четырехугольника.

Б. Доказать, что если четырехугольник ABCD является вписанным в окружность, то

S = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ) .

В. Если четырехугольник является одновременно и вписанным, и описанным, то

S= abcd.

9.Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, P и Q – середины его диа-

гоналей. Докажите, что справедливо равенство

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4 PQ 2.

10. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что справедливо равенство

ABCD + AD BC = AC BD .

Это утверждение известно как теорема Птолемея.

11. Пусть a,b,c, d – длины последовательно взятых сторон четырехугольника ABCD , а m и n – длины его диагоналей. Доказать справедливость равенства

m2n2 = a2c2 + b2d 2 - 2 abcd cos (ÐA + ÐC) .

Это утверждение (теорема Бретшнейдера) можно рассматривать как обобщение теоремы косинусов для четырехугольников. Нетрудно заметить, что теорема Птолемея является следствием теоремы Бретшнейдера.

12. Дан прямоугольник ABCD и точка M , лежащая не обязательно в плоскости прямоугольника. Доказать, что

а) (MA, MC) = (MB, MD),

б) MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 .

13. Решить средствами векторной алгебры уравнение

3 − x − x 1 + x = 2 x 2 + 1 .

3.2.Аналитическая геометрия линейных геометрических объектов

3.2.1.Прямая на плоскости

Если на плоскости введена прямоугольная система координат Оху, то прямая линия на плоскости задается уравнением первой степени относительно координат (х;у) «текущей» точки М(х;у) прямой. Уравнение прямой на плоскости может быть записано в различных видах:

102

1.A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ) перпендикулярно нормальному вектору n ( A, B) ;

2.Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой;

3.x + y = 1 – уравнение прямой в отрезках; a b

го из начала координат в сторону прямой, а p > 0 – расстояние от начала коор-

динат до прямой.

Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой, заданной нормальным уравнением, находится по формуле

d (M 0 , L) = δ (M 0 , L) ,

где δ(M 0 , L) = x0 cos α + y 0 cos β − p называется отклонением точки M 0 от

Примеры решения задач

Пример 3.8. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в треугольник так, что две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на его боковых сторонах.

Решение. Расположим треугольник относительно прямоугольной системы координат на плоскости, как указано на рис. 3.9. Очевидно, что концевыми точками искомого геометрического места точек будут середины основания АВ треугольника и его высоты ОС. Обозначим длину высоты ОС через h . Пусть боковые стороны (ОВ) и (ОА) имеют соответственно уравнения

Рис. 3.9.

103

Так как высоты перпендикулярны соответствующим сторонам, то направляющие векторы сторон треугольника будут нормальными векторами высот, поэтому воспользуемся уравнением вида

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0.

( AA') : 5(x − 3) + 2( y + 2) = 0 или 5x + 2y = 11,

(BB') : 7(x −1) − 5( y − 5) = 0 или 7x − 5y = −18, (CC') : −2(x + 4) + 7( y − 3) = 0 или 2x − 7 y = −29.

Теперь найдем координаты оснований высот:

Площадь треугольника A'B'C' вычислим, пользуясь известной формулой:

Замечание. Точка пересечения высот треугольника ABC называется ор- тоцентром. В связи с этим треугольник A'B'C', вершинами которого явля- ются основания высот треугольника ABC , называется ортоцентрическим.

105

С ортоцентрическим треугольником связано несколько замечательных свойств, некоторые из которых предлагается доказать в следующем упражнении.

Упражнение 1. Пусть треугольник A' B'C' является ортоцентрическим для треугольника ABC .

А. Доказать, что высоты треугольника ABC лежат на биссектрисах треугольника A' B'C' .

Б. Доказать, что треугольники AB'C', A'C' B, A' B'C и исходный треугольник ABC подобны с коэффициентами подобия k1 = cosÐA, k2 = cosÐB, k3 = cosÐC соответственно.

В. Доказать, что отношение площадей ортоцентрического треугольника и исходного

SA 'B 'C 'SABC = 2cos ÐAcos ÐB cos ÐC .

Г. Используя утверждение пункта б), снова решить задачу из примера 3.5. Д. Получить площадь ортоцентрического треугольника, используя результат примера 5а) из пп. 3.1, определив предварительно величины λ1 , λ 2 , λ3

для деления сторон треугольника основаниями его высот.

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника.

2.Найти центр и радиус круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями

x + y +12 = 0, 7x + y = 0, 7x − y + 28 = 0.

3. Составить уравнение высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями

Ak x + Bk y + Ck = 0, k = 1, 2, 3.

диус которой R = 5 . Вычислить площадь треугольника, образованного этими касательными и радиусами круга, проведенными в точки касания.

6. Даны вершины A(−4; 2), B(−2; − 2), C(6; 8) треугольника ABC . Через концы медианы AA' проведены прямые AD и A' D', соответственно парал-

лельные двум другим медианам, до пересечения в точке D . Показать, что стороны треугольника AA' D равны по длине медианам треугольника ABC . Вычислить отношение площадей треугольников AA' D и ABC .

106

3.2.2. Плоскость и прямая в пространстве

Если в пространстве введена прямоугольная система координат Оxyz , то любая плоскость π может быть задана уравнением первой степени относительно координат (x; y; z) «текущей» точки M (x; y; z) плоскости. Уравнение плоскости может быть записано в одном из следующих видов:

1.A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно нормальному вектору n (A; B;C).

2.Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости.

3.x + y + z = 1 – уравнение плоскости в отрезках.

плоскости π .

Еслиδ (M 0 , π) > 0, то точка M 0 и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, если δ (M 0 , π) < 0 , то – по одну сторону.

Прямая L в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, при этом уравнения прямой могут быть записаны в одном из следующих видов:

1.A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, – общие уравнения прямой.

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

107

x = x0 + l t,

3. y = y0 + m t, t (−∞,+∞) – параметрические уравнения прямой, которые

z = z0 + n t

можно записать одним векторным уравнением r = r0 + s t .

точки M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) .

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (условие параллельности, перпендикулярности, углы между прямыми и плоскостями) устанавливается с помощью направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Примеры решения задач

Пример 3.10. Даны вершины тетраэдра A (0;0; 2), B (3; 0; 5), C (1;1;0), D (4;1; 2) .

Вычислить длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC . Решение. Длину высоты тетраэдра можно найти как расстояние от точки

D до плоскости ABC .

Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B, C :

или x − 3 y − z + 2 = 0.

Приведем уравнение плоскости к нормальному виду. Для этого умножим его на нормирующий множитель;

Пример 3.11. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью π с уравнением

11x − 10 y − 2 z − 57 = 0 .

Решение. Записывая уравнение данной плоскости в отрезках

108

заключаем, что тетраэдр расположен в октанте, определяемом неравенствами: x ³ 0, y £ 0, z £ 0.

Из того, что шар касается координатных плоскостей, заключаем, что абсолютные величины координат его центра равны радиусу шара:

Знак минус у отклонения выбран потому, что точка C и начало координат расположены по одну сторону от плоскости π . Итак, получаем уравнение на R :

R = 3 .

2

Пример 3.12. Составить уравнения общего перпендикуляра двух прямых

Рис. 3.11.

109

Рекомендуем провести подробный анализ получения этих уравнений (в этом вам поможет рис. 3.11). Используем теперь полученные формулы для решения нашей задачи в координатной форме. Найдем сначала направляющий вектор s общего перпендикуляра прямых L1 и L2 .

Так как длина направляющего вектора значения не имеет, то можно взять s = 2 i + j + 4 k .

Смешанное произведение в координатах запишется с помощью определителя, приравнивая который к нулю, получаем уравнение плоскости π1 :

или

9 x − 6 y − 3z − 18 = 0 или 3x − 2 y − z − 6 = 0 .

Аналогично для плоскости π 2 :

или

5 x + 34 y − 11z − 38 = 0 .

Общие уравнения искомой прямой задаются системой

Для того чтобы записать эти уравнения в каноническом виде, найдем ка- кую-либо точку прямой L . Положим y = 0 . Тогда решение системы

3x − z = 6,

5x −11z = 38

дает x = 1, z = −3 и канонические уравнения прямой L имеют вид

x − 1 = y = z + 3 . 2 1 4

110