Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1439

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

∞

Решение. Ряд ∑

1 +

составленный из абсолютных величин

n = 1

данного ряда, расходится, так как при n → ∞ :

1 +

1 n

∞	1		1
а ряд e ∑		расходится как обобщенный гармонический с α =		< 1. Для ис-
	1

n=1		2
	n 2

следования на условную сходимость применим признак Абеля. Будем рассматривать общий член данного ряда как произведение a n bn , где

bn = (−1)	n (n−1)	1				1 n
		1				1 n
	2			, a n	= 1 +		.

			n
			n			n

∞	∞		n (n −1)
Ряд ∑ bn	= ∑	(−1)	2
			2
n =1	n =1

1 сходится (установлено в примере 2.20), а n

				1	n
				1
последовательность {a n	}=	1	+			монотонна и ограничена. Согласно
последовательность {a n	}=	1	+			монотонна и ограничена. Согласно
				n

признаку Абеля исследуемый ряд условно сходится.

∞	sinα n
Пример 2.22. ∑			,	α = const .


n =1		n
Решение. Исключим случай α = mπ , m Z , при котором sinα n = 0 и ряд

сходится. При α ¹ mπ данный ряд является знакопеременным. Выясним во-

прос о сходимости

данного

ряда,

применив

признак

Дирихле. Положим

∞

= sin α n , a n =

. Для частичных сумм S n

ряда ∑ bn = ∑ sinα n можно

n =1

получить следующее выражение (получить самостоятельно):

cos

α − cos n

Sn = ∑sinα n =

k =1

2sin

из которого следует, что

≤

, n N .

sin α


		1
Так как последовательность {a n	}=				монотонно стремится к нулю
Так как последовательность {a n	}=				монотонно стремится к нулю
			n

	∞	sinα n
при n → ∞ , то по признаку Дирихле ряд ∑						сходится при любом α .

				n
	n =1			n

Покажите, что данный ряд не сходится абсолютно.

Замечание. Ряд, рассмотренный в примере 2.22, является частным случаем рядов вида

∞

∑ a n sinα n,

∑ a n cosα n,

n =1

которые сходятся при любых α (кроме α = 2mπ для второго из них), ес-

ли последовательность {a n }, монотонно убывая, стремится к нулю.

Пример 2.23. Доказать, что ряд

2 -

2 +

2 -

2 + 2 +

2 +

+ ... сходится и его

сумма s ≤ π .

= 2 cos π , находим,

Решение. Положим

что a

= 2 sin(π /(2n+1 )). Поэто-

∞

му, в силу неравенства sin x < x , имеем s = ∑ an

< 2∑π /(2n+1 ) = π .

n =1

Пример 2.24. Ряд с общим членом an > 0 ,

n Î N , расходится.

Исследо-

вать на сходимость ряд b

= a

s −2

где

−

частичная сумма данного ряда.

Решение. Имеем b

= a

s−2

- s

n−1

)/(s

n−1

) =

sn+1

Тогда

δn = bn <

+ × ×× +

при

n → ∞ ,

sn−1

sn s1

т.е. ряд сходится.

Пример 2.25.Для всех k ³ 1 ak > 0 и ak +1 > ak . При каком условии сходит-

ся ряд

+ ××× +

+ ×××?

a1a2 ...an

a1a2

Решение.

Обозначим b

, тогда

bn+1

. Если a

→ ∞ при

a1a2 ...an

an+1

n → ∞ , то ряд bn сходится. Пусть существует liman+1

= a ,

0 < a < ¥ , тогда ряд bn

n→∞

будет сходиться, если 1 < a , и расходиться, если a < 1. При a = 1 ряд также будет расходиться. Действительно, {an } возрастает и потому an+1 < 1 "n и

bn =	1	> 1	и ряд bn	не может сходиться.	Итак, ряд bn сходится 1 < a или
	a1a2 ...an

a = +∞ .

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на сходимость ряды.

∞

( 2 n −1)!!

∑

n+ p

n=1 n

n=1

(2 n)!!

∞

(−1) n + 3

( n )

3. ∑

4. ∑

n+1

n=1

∞

∑

2 −

2 +

2 + ... +

2 −

n = 114444244443

n корней

2 −

2 +

+ ...

2 +

∞

v (n)

6. ∑

, где v(n) –

число цифр числа n .

n 2

n=1

∞

∑

, где λ n –

последовательные положительные корни уравнения tgx = x

n =1

λ2n

8. Доказать, что если последовательность { a

}∞

положительных чисел моно-

∞

n =1

тонна, то ряды ∑a n и

∑2 k a 2 k

сходятся или расходятся одновременно.

∞

n =1

∞

k =1

9. Пусть ∑a n

∑b n

–

два ряда с положительными членами и для любого

n =1

n N справедливо неравенство

a n+1

≤

bn+1

a n

∞

Доказать, что из сходимости ряда ∑b n следует сходимость ряда ∑a n , а из

∞

n =1

∞

n =1

расходимости ряда ∑a n

следует расходимость ряда ∑b n .

n =1

				∞
10. Пусть ∑a n –						ряд с положительными членами. Доказать, что:
			n =1
	а) если для всех n, начиная с некоторого номера n0 , выполняется условие
		a	n+1			∞
n	1 -		n+1		³ q > 1, то ряд ∑a n сходится;
n	1 -				³ q > 1, то ряд ∑a n сходится;
		a n				n =1
		a n				n =1

		a	n+1
б) если выполняется неравенство	n 1 -		n+1		£ 1,	если для всех n, начи-
б) если выполняется неравенство	n 1 -				£ 1,	если для всех n, начи-
		a n
∞		a n
∞
ная с некоторого номера n0 , то ряд ∑a n расходится.
n =1
Это утверждение известно как признак Раабе.
∞						n−1
11. Исследовать на сходимость ряд ∑ a −S (n) , где				S(n) = ∑			1	, a = const > 0.
11. Исследовать на сходимость ряд ∑ a −S (n) , где				S(n) = ∑				, a = const > 0.
n = 2						k =1 k

∞	1
12. Будет ли сходиться ряд, полученный из гармонического ряда ∑		вычер-

n =1 n

киванием всех членов, знаменатели которых в десятичном представлении содержат цифру 9?

∞

13. Показать,

что если сходится ряд ∑a 2n

(a n >

0), то ряд ∑

также схо-

n = 1

n =1

дится.

∞

14. Доказать,

что если ряд ∑a n , члены a n

> 0 которого образуют монотонно

n =1

= 0 .

убывающую последовательность сходится, то lim

n a n

15. Пусть {a n }–

n → ∞

монотонно убывающая последовательность положительных

∞ a

∞

чисел. Показать, что если сходится ряд ∑

, то также сходится ряд ∑a 2n .

n =1

n = 1

16. Пусть {a n }–

последовательность неотрицательных чисел. Доказать, что из

∞

сходимости ряда ∑a n следует сходимость рядов:

∞

n =1

∞

a n

∑

a n + a n+1 + ... + a 2 n−1

n =1 1

+ a n

n =1

∞

∑

∑ n

a n a n +1 ,

a n a n +1...a 2 n −1 ,

n =1

∞	},			∞			}.
5) ∑ max {a n , a n +1, a n + 2	},	6)		∑ min {a n , a n +1,..., a 2 n −1			}.
n =1				n =1
Исследовать сходимость рядов.					n (n−1)
∞					n (n−1)
17. ∑cosα cos 2α...cos2nα .		∞	(−1)
17. ∑cosα cos 2α...cos2nα .		∞	(−1)		2
n = 1		18. ∑				.
n = 1		18. ∑				.
		n =1		n + ln n

	∞			(-1) n+1
19.	∑								×
19.	∑								×
	n = 2		(n + (-1) n )p
21. 1 -		1		-	1	+	1			-	1	-	1
				-		+				-		-
		2		3			4				5		6
		2		3			4				5		6
	∞
22.	∑ a n ,			a1 = 1,				a 2 = 2 -
22.	∑ a n ,			a1 = 1,				a 2 = 2 -					3 ,

n = 1

∞

−α

20. ∑

∑

− ln n

, α > 0 .

n =1

k =1 k

+ ... +

+ ...

3n - 2

3n -1

a n+2 = 4 a n+1 - a n , n ³ 2.

∞

23. ∑

, u 0 = 1,

u 1 = 4 , u n+ 2 = 4 u n+1 − 4 u n при n ³ 1.

n = 0

u n

∞

n +1

24. Показать, что ∑

k = n

∞

25. Показать, что ряд ∑

сходится и что для его суммы справедлива

n = 1 (n +1) n

оценка π < S < π + 1 .

22 2

26.Исследовать на абсолютную сходимость ряды, заданные общим членом:

1)a n = sin 2 π (n + n−1 ), n Î N ;

2)a n = sin π (n + ln −1 n), n ³ 2 ;

3)a n = sin(π n2 +1), n = 0,1,....

2.2. Функциональные ряды

Поточечная сходимость последовательности функций

Пусть { fn (x) }∞n = 1 – последовательность функций, определенных на мно-

	E . Если сходится числовая последовательность { fn (x	∞
жестве	E . Если сходится числовая последовательность { fn (x	0 ) }n = 1	, то говорят,

что функциональная последовательность { f n (x) } сходится в точке x 0 E . Последовательность { f n (x) }, сходящуюся в каждой точке x Î E , назы-

вают сходящейся поточечно (или просто сходящейся) на множестве Е. В этом случае на множестве Е определена функция f , задаваемая равенством

f (x) = lim f n (x)	(x E),	(2.2)
n → ∞
которая называется предельной функцией	(пределом)	последовательности
{ f n (x) }.

Поточечная сходимость функционального ряда

∞

Ряд ∑u n (x) , членами которого являются члены функциональной после-

n =1

довательности {u n (x) }, называется функциональным рядом.
	∞
Функциональный ряд ∑u n (x) называется сходящимся в точке x 0 , если
	n =1
	∞
сходится числовой ряд ∑u n (x 0 ) . Совокупность Е всех точек сходимости ряда
∞	n =1
∞
∑u n (x) называется множеством (поточечной) сходимости этого ряда.
n =1
На множестве Е сходимости функционального ряда определена функция
	n
S ( x) = lim S n ( x) , где Sn (x) = ∑ u k (x) , которую называют суммой функцио-
n → ∞	k = 1
	k = 1
нального ряда и пишут	∞
	∞
	S (x) = ∑ u n (x), x E.	(2.3)

n = 1

Для последовательностей функций и функциональных рядов главной задачей является не только установление области их сходимости, но и выяснение вопроса сохранения важнейших функциональных свойств (таких, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость) при выполнении предельных операций (2.2), (2.3). Оказывается, что для сохранения отмеченных функциональных свойств предельных функций недостаточно наличия поточечной сходимости, а требуется выполнение более сильного условия. Этим условием является равномерная сходимость последовательностей и рядов.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Определение 6. Сходящаяся к функции f (x) на множестве Е последова- тельность { f n (x) } называется равномерно сходящейся на Е, если для любого ε > 0 существует такой не зависящий от x номерn0 , что при n > n0 неравен- ство f n ( x) − f ( x) < ε выполняется для всех x E .

Равномерная сходимость последовательности { f n (x) } к f (x) на множестве Е обозначается следующим образом: f n (x) f (x) на Е.

∞

Определение 7. Ряд ∑u n (x) называется равномерно сходящимся на

n =1

множестве Е, если последовательность {Sn (x) } его частичных сумм равно- мерно сходится на Е, то есть ε > 0 N(ε) : n > N(ε) и

x E rn (x) = Sn ( x) − S (x) < ε .

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для того чтобы ряд

∞

∑u n (x) сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно,

n =1

чтобы для каждого ε > 0 существовало число n0 N такое, что для всех

n + p

n > n0 и для всех p N неравенство ∑u k (x) < ε выполняется для всех

k = n

x E .

На практике для установления равномерной сходимости используются достаточные признаки, одним из которых является следующий.

Мажорантный признак Вейерштрасса. Если для функционального ряда
∞			∞
∑u n (x) существует сходящийся числовой ряд ∑ a n такой, что
n =1			n =1
∞	u n (x)		≤ a n n N и x E ,


то ряд ∑u n (x)		сходится абсолютно и равномерно на Е.

n =1

∞

Числовой ряд ∑ a n , фигурирующий в признаке Вейерштрасса, называ-

n =1

ется мажорирующим.

Свойства равномерно сходящихся рядов

∞

Теорема о непрерывности суммы ряда. Если все члены ряда ∑ un (x) не-

n=1

прерывные в некотором промежутке функции и ряд сходится равномерно в этом промежутке, то сумма ряда S (x) также является непрерывной в этом

промежутке функцией.

Следствие. При выполнении условий теоремы справедливо равенство

	∞	∞
lim	∑u n	(x) = ∑ lim u n (x).
x→x	n=1	n=1	x→x
0	n=1	n=1	0
Теорема о почленном	интегрировании ряда. Если все члены ряда

∞

∑ un (x) интегрируемы на отрезке [a, b] и ряд сходится равномерно на [a, b] к

n=1

функции S (x) , то его можно почленно интегрировать на этом отрезке, то есть, выполняется равенство

x	x ∞	∞ x
∫ S (t) dt = ∫ ∑u n (t) dt =∑ ∫u n (t) dt для каждого x [a;b].
a	a n =1	n =1 a

Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если все члены ряда

∞		n					∞	n
∑	u	n	(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], ряд из производных				∑	n
	u		(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], ряд из производных					u′ (x) схо-
n=1						∞	n =1
						∞
дится равномерно на [a;b], а исходный ряд ∑u n (x) сходится хотя бы в одной
					∞	n=1
					∞
точке x0 [a;b], то ряд ∑u n (x) сходится равномерно на [a;b] и его можно
					n=1
почленно дифференцировать, то есть, выполняется равенство
				∞	¢	∞
			S '=	∑u n	(x)	= ∑u 'n (x) для каждого x [a;b].
			n =1			n =1

Замечание. Все три теоремы: о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости суммы ряда дают лишь достаточные условия того, что сумма ряда обладает соответствующими свойствами.

Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд

Из всех функциональных рядов наибольшее практическое применение

∞

имеют степенные ряды, то есть ряды вида ∑ an (x − x0 )n . Структура множе- n=0

ства сходимости таких рядов устанавливается известной теоремой Абеля, со-

∞
гласно которой каждому степенному ряду ∑ a (x − x )n соответствует дей-
n	0
n=0

ствительное число R ³ 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x0 < R , этот ряд сходится абсолютно, а для всех x таких, что x − x0 > R ,

этот ряд расходится. Интервал (−R; R) называется интервалом сходимости, а число R – радиусом сходимости степенного ряда. Множество сходимости сте-

пенного ряда при конечном R > 0 представляет собой интервал (−R; R) с воз-

можным добавлением одной или обеих концевых точек. Радиус сходимости

∞

степенного ряда ∑ an (x − x0 )n может быть вычислен по одной из формул: n=0

R = lim		an	или R =	1		,	(2.4)


n →∞	an +1			lim n	an
				n →∞

если соответствующие пределы существуют.

Следующая теорема устанавливает характер сходимости степенного ряда на некотором специальном множестве.

Теорема. Пусть R > 0 – радиус сходимости степенного ряда

∞

∑an (x − x0 )n . Тогда для каждого r (0; R) этот ряд сходится равномерно на

n =0

любом отрезке [− r; r ].

Из этой теоремы и свойств равномерно сходящихся рядов вытекает следующий результат.

∞

Утверждение. Если S (x) – сумма степенного ряда ∑an (x − x0 )n , ради-

n =0

ус сходимости которого R > 0 , то:

1) Для всех x (−R; R) функция S (x) имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием степенного ряда:

∞
S (k ) (x) = ∑ n(n −1)K(n − k + 1) an xn−1 , k = 1, 2K
n=k
2) внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно интег-
рировать, то есть, для всех x (−R; R) справедливо равенство
x	∞
∫ S(t) dt = ∑		an		xn +1.
∫ S(t) dt = ∑				xn +1.
0	n =0n +		1
				∞
Представление функции	f (x) в виде ряда ∑ an (x − x0 )n , где x принад-

n=0

лежит некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 , называется разложением f (x) в степенной ряд в окрестности U (x0 ) .

Существуют различные способы разложения функции, удовлетворяющей определенным условиям, в степенной ряд. При этом имеет место следующая теорема о единственности такого разложения.

Теорема. Если выполнено равенство

∞

f (x) = ∑ an (x − x0 )n для всех x U (x0 ) ,

n=0

то этот ряд будет для нее рядом Тейлора, то есть коэффициенты ряда одно-

значно определяются формулами

an	=	f (n) (x0 )	, n = 0, 1, 2, K .

		n!

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 , производные всех порядков, ограниченные в совокупности, то есть,

существует M > 0 такое, что для всех x U (x0 ) неравенство					f (n) (x)	≤ M
выполняется для всех n = 0, 1, 2, K.
Тогда f (x) разложима в окрестности U (x0 ) в ряд Тейлора:
∞		(n)	(x0 )
f (x) = ∑	f			(x − x0 )n .		(2.5)

n=0		n!

При разложении функций в степенные ряды применяют в основном следующие способы:

1.Непосредственное разложение функций, заключающееся в последовательном вычислении производных функции в точке и подстановке их в ряд Тейлора (2.5).

2.Использование табличных разложений основных элементарных функций в ряд Маклорена:

∞

e x = ∑

= 1 + x +

+ K +

+ K, x R,

n =0 n!

n !

x2n +1

∞

(−1)n

x2n +1 = x −

sin x = ∑

− K + (−1)n

+ K, x R,

n = 0(2n + 1)!

(2n + 1)!

∞

(−1)n

cos x = ∑

x2n =

1 −

− K + (−1)n

+ K,

x R,

(2n )!

(2n)!

n = 0

∞ (−1)n −1

− K + (−1)n −1

ln (1 + x ) = ∑

xn = x −

+ K, x (−1;1],

n = 0

∞

α (α − 1)K(α − n + 1)

= 1 + αx +

α (α − 1)

(1 + x )α = 1 + ∑

x2 + K +

n =1

+ α (α − 1)K(α − n + 1) xn + K,

α R,

x (−1;1].

3.Использование правил сложения рядов, умножения ряда на число или многочлен, умножения рядов.

4.Использование почленного дифференцирования и интегрирования ря-

дов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.16 Mб3Учебное пособие 1434.pdf
#
30.04.20221.16 Mб16Учебное пособие 1435.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1436.pdf
#
30.04.20221.16 Mб114Учебное пособие 1437.pdf
#
30.04.20221.16 Mб2Учебное пособие 1438.pdf
#
30.04.20221.16 Mб15Учебное пособие 1439.pdf
#
30.04.2022300.67 Кб2Учебное пособие 144.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1440.pdf
#
30.04.20221.17 Mб4Учебное пособие 1441.pdf
#
30.04.20221.17 Mб1Учебное пособие 1442.pdf
#
30.04.20221.17 Mб7Учебное пособие 1443.pdf