Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1439

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

2.РЯДЫ

2.1.Числовые ряды

2.1.1.Ряды. Сходимость ряда

Кпонятию числового ряда приходят, пытаясь обобщить суммы конечного числа слагаемых на бесконечные суммы. Очевидно, что, во-первых, требуется задать правило, по которому определяется сумма бесконечного числа слагаемых, во-вторых, а затем ответить на вопрос, как эту сумма вычислить. Обычно рассматриваются бесконечные суммы, в которых слагаемые задаются по некоторому общему правилу

Определение	1.	Числовым			рядом		называется		выражение
	∞
a1 + a 2 + ... + a k + ... = ∑a k		,	в	котором		члены	a k	последовательности
	k = 1
{a k }∞k =1 соединены знаком плюс.				Числа a k ,		k = 1,2,…		называются членами
ряда.
				n	= a1 + a 2 + ... + a n
Определение 2. Сумма S n			= ∑a k		= a1 + a 2 + ... + a n			называется
		∞		k = 1
		∞
n-й частичной суммой ряда ∑a k .
		k = 1			образуют последовательность {S n }∞n =1
Частичные суммы S n , n = 1, 2,...					образуют последовательность {S n }∞n =1
частичных сумм.		∞
		∞
Определение 3.	Ряд ∑a k			называется сходящимся, если сходится по-
следовательность {S n }∞n =1		k = 1
следовательность {S n }∞n =1		его	частичных			сумм.	Если	последовательность

{S n }∞n =1 не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

Вопрос об исследовании сходимости данного ряда зачастую является достаточно сложным и требует применения точных результатов. Однако в каждом случае нужно иметь в виду следующий результат, который мы сформулируем в видах пригодных для доказательства сходимости и расходимости исследуемого ряда.

∞

Утверждение (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд ∑a n

n = 1

сходится, то lim a n = 0 .

n → ∞

Утверждение	∞	(необходимое условие расходимости ряда).	Если
	∞
lim a n ¹ 0 , то ряд	∑a n расходится.
n → ∞	n =	1
	n =	1

∞
Если ряд ∑a k сходится, то число S = lim S n называется суммой ряда и
k =	1	n → ∞
k =	1
	∞
в этом случае пишут ∑a k = S .
	k = 1

Заметим, что определение 1.1.2 показывает, как по последовательности членов ряда построить последовательность его частичных сумм. Но и, наобо-

рот, зная последовательность {S n }∞n =1 частичных сумм ряда,	можно записать
последовательность a1 = S1 , a 2 = S 2 − S1 , ..., a n = S n − S n−1 ,	... его членов.

Таким образом, числовой ряд полностью определяется каждой из двух после-

довательностей {a k }∞k =1 или {S n }∞n =1 .

Из всего сказанного следует, что всякий вопрос относительно сходимости рядов можно переформулировать в вопрос о сходимости последовательностей, и наоборот. В частности, из критерия Коши сходимости последовательности получается следующее утверждение.

∞

Критерий Коши сходимости ряда. Пусть дан ряд ∑a n . Следующие

n = 1

условия эквивалентны:

	∞
1)	ряд ∑a n сходится;
	n =	1

2)для каждого ε > 0 можно найти число nε N такое,

что для всех n > nε и для каждого целого p ³ 0 выполняется нера-

венство a n + a n+1 + ... + a n + p < ε .

Такую форму записи критерия Коши удобно использовать для доказательства сходимости исследуемого ряда. Однако часто критерий Коши применяется для доказательства того, что ряд расходится. В этом случае удобно использовать следующую эквивалентную формулировку этого критерия.

∞

Критерий Коши расходимости ряда. Пусть дан ряд ∑a n . Следующие

n = 1

условия эквивалентны:

	∞
1)	ряд ∑a n расходится;
	n = 1
2)	найдется ε > 0 такое, что для каждого n N можно найти целое

число p ³ 0 так, чтобы выполнялось неравенство a n + a n +1 + ... + a n + p ³ ε .

Примеры решения задач

В примерах 2.1 – 2.3	найти сумму ряда или установить его расходимость.
∞	1
Пример 2.1. ∑arctg		.
	2 n2
n = 1

Решение. Запишем члены последовательности частичных сумм данного ряда, воспользовавшись при этом формулой суммы арктангенсов:

S1	= arctg			1	,
S1	= arctg				,
	2										1							1
											1			+				1
			1			1					2			+									2
S2	= arctg		1		+ arctg	1		= arctg			2						8				= arctg		2	,
S2	= arctg				+ arctg			= arctg							1						= arctg			,
	2				8					1-					1		×		1			3
										1-				2			×		8
														2					8
													2			+				1
		2					1					3				+									3
S3	= arctg	2			+ arctg		1		= arctg			3							18			= arctg			3	.
S3	= arctg				+ arctg				= arctg													= arctg				.
	3				18									2					×		1	4
											1-
											1-
														3					18
По индукции можно записать n-частичную сумму

Sn = arctg

n +1

= arctg1 = π .

Тогда S = lim Sn = lim arctg

= arctg lim

n +1

n → ∞

n → ∞ n +1

∞

S = π .

Итак, ряд ∑arctg

сходится и сумма его

2 n2

n = 1

∞

Пример 2.2. ∑ ln

1 +

n =1

Решение. Преобразуем общий член ряда следующим образом

			1		n +1	= ln ( n +1 )− ln n .
a n	= ln 1	+		= ln
					n
			n

Тогда для n-частичной суммы ряда будем иметь

Sn = ln 2 − ln1 + ln 3 − ln 2 + ... + ln n − ln (n − 1) + ln (n + 1) − ln n = ln (n + 1) .

∞

lim S n

= lim ln (n + 1) = ∞ , следовательно, ряд ∑ ln

1 +

расходится.

n → ∞

n =1

∞

Пример

2.3. ∑

n (n +

n =1

Решение. Представим общий член ряда в виде

a n =

−

n (n +1)

Тогда для S n получим

Sn = 1−

−

+ ... +

−

= 1−

2 2 3

n −1 n n n

n +1

lim Sn =

lim

1−

= 1.

n → ∞

n +1

∞

Это означает, что ряд

∑

сходится и его сумма S = 1.

n =1 n (n + 1)

Этот пример имеет полезное обобщение, а именно, имеет место следую-

щее утверждение.

∞

Утверждение. Если общий член ряда ∑ a n может быть представлен в

n =1

виде a n = b n − b n+1 и существует конечный предел

lim b n ,

то ряд сходится и

n → ∞

его сумма находится по формуле

S = b1

− lim

b n .

(2.1)

→ ∞

Запишем n-частичную сумму ряда, учитывая условие a n = b n − b n+1

(b k − b k +1 )= b1 − b 2 + b 2 − b3 + ... + b n−1 − b n + b n − b n+1 =

Sn = ∑ a k = ∑

k =1

= b1 − b n+1.

Отсюда

S = lim S n

= lim

1 − b n+1 )= b1 − lim

b n+1 .

→ ∞

n → ∞

Но если существует lim b n , то

n → ∞

В примерах 2.4 – 2.6 покажем, утверждение.

lim	b n +1	= lim b n	S = b1	− lim b n .
n → ∞		n → ∞		n → ∞

как может быть использовано доказанное

∞

Пример 2.4. Найти сумму ряда ∑

n = 1 n (n +1)...(n + p)

Решение. Преобразуем общий член данного ряда к виду a n

= b n − b n+1 .

a n =

n + p − n

n (n +1)...(n + p)

n (n +1) (n + 2)...(n + p -

1) (n + p)

= b

- b

n +1

n (n +1)...(n + p -1)

+1) (n + 2)...(n + p)

где

× k(k +1)...(k + p -1)

, то есть b

является произведением нату-

ральных чисел от k до k + p −1, умноженным на коэффициент

Выражения

для bn

и bn+1 получаются, если заменить k на n или n +1 соответственно.

Отсюда

и согласно утверждению

1× 2 ×...× p

× p!

S =

- lim

p × p!

→ ∞ p n (n +1)...(n + p -1)

p × p!

∞

Пример 2.5. Найти сумму ряда ∑

n=1

n (n

+ p)

Решение. Как и в предыдущем примере, преобразуем общий член ряда к

виду a n = b n − b n+1 .

n + p - n

n (n + p)

p n (n + p)

p n

n + p

- ... -

n + p -1 n

p n n +1 n +1

+ p -1 n + p

... +

+ ... +

= b

- b

n+1

n + p -1

n n +1

n +1 n + 2

n + p

Для b1 получаем

1 +

+ ... +

∑

k =1

1 1

∑

Отсюда

S =

−

lim

+ ... +

p k =1 k n → ∞ p n

n + 1

n + p − 1

p k =1 k

∞

Пример 2.6.Найти сумму ряда ∑ arctg

+ n

+ 1

n=1

Решение. Заметим, что

n +1− n

тогда для общего члена

n2 + n +1

+ n (n +1)

a n можно получить

(n +1) − n

a n = arctg

= arctg

= arctg (n +1) - arctg n = bn+1 − b n .

n2 + n +

1+ n (n +1)

Отсюда для суммы ряда надо использовать выражение (1.1) с обратным

знаком, то есть

S = lim b n − b1.

n → ∞

Для исследуемого ряда получаем

−

S = lim arctg n − arctg1 = arctg lim n − arctg1 =

n → ∞

2 4 4

∞

Пример 2.7. Найти сумму ряда ∑ n q n−1 .

n = 1

Решение.

При

³ 1 ряд расходится,

так как для него в этом случае не

выполняется необходимое условие сходимости. При

< 1 сумму этого ряда

можно найти дифференцированием геометрической прогрессии, что и будет сделано в разделе «Функциональные ряды». Здесь же будет продемонстрирован полезный для практики прием суммирования, не использующий дифференциальное исчисление.

Запишем n-частичную сумму в специальном виде с использованием конечного числа алгебраических операций:

Sn =	1	+	2q	+	3q 2	+ ...	+
=	1	+	q	+	q 2	+ ...	+
		+	q	+	q 2	+ ...	+
				+	q 2	+ ...	+
						+ ... ....
							+

(n -1) q n−2 q n−2 q n−2 q n−2

...

q n−2

+n q n−1

+q n−1

... ...

+q n−1

	1		(1 + q + q 2 +						... + q n−1 - n q n )=											1		1 - q		n
=	1																			1		1 - q			- n q n			=
=																									- n q n			=
1 - q																							1 - q
1 - q																			1 - q				1 - q
=		1			-		q n			-		n q n					.
=		- q) 2			-		- q)	2		-	1			- q			.
(1		- q) 2			(1		- q)	2			1			- q
									1							1					1						1
lim S				=		lim			1						-	1			× q n -		1		× n q n			=	1			.
lim S			n	=		lim							2		-			2	× q n -				× n q n			=				.
n → ∞			n										2			(1 - q)		2	1		- q						(1 - q)		2
n → ∞					n → ∞ (1 - q)											(1 - q)			1		- q						(1 - q)
Итак,			S =				1	.

						(1 − q)2

В примерах 2.8 - 2.9 показывается, как могут быть использованы критерий Коши сходимости ряда и необходимое условие сходимости.

∞

Пример 2.8. Пусть ряд ∑ a n с положительными членами расходится.

n=1

∞

Доказать, что расходится также ряд ∑

, где Sn

= ∑ a k .

n= 1

k = 1

Решение. Запишем очевидное неравенство

a n+1

a n+2

+ ... +

a n+ p

a n+1 + a n+2 + ... + a n+ p

Sn+ p − Sn

= 1−

Sn+1

Sn+2

Sn+ p

в котором n N,

p N и p > n.

∞

Так как ряд ∑ a n имеет положительные члены, то Sn+1 > Sn , а так как

n=1

ряд расходится, то Sn → + ∞ при n → ∞ . Поэтому каким бы большим ни взять

n, всегда можно выбрать p такое, что

, и, следовательно,

Sn+ p

a n+1

a n+2

+ ... +

a n+ p

Sn+1

Sn+2

Sn+ p

∞

Таким образом, для ряда ∑

не выполняется условие 2) критерия Ко-

n=1

ши и, следовательно, ряд расходится.

∞

Пример 2.9. Доказать, что при α ¹ k π (k ÎZ ) ряд ∑sin nα расходится.

n = 1

Решение. Покажем, что для этого ряда не выполняется необходимое условие сходимости. Доказательство проведем от противного. Предположим, что sin nα ® 0 при n → ∞ , тогда sin (n +1)α ® 0 при n → ∞ , то есть

sin nα cosα + cosnα sinα ® 0 при n → ∞ .

Отсюда следует, что cosnα ® 0 при n → ∞ , так как sinα ¹ 0. Таким образом, если sin nα ® 0 при n → ∞ , то и cosnα ® 0 при n → ∞ , что невозможно,

∞

потому что sin2 nα + cos2 nα = 1. Итак, ряд ∑sin nα при α ¹ k π расходится.

n = 1

Задачи для самостоятельного решения

Найти суммы или непосредственно по определению сходимости (расхо- димости) установить расходимость следующих рядов.

	∞	(−1)n+1						1
1.	∑			2			+		.
1.	∑	n + 1		2			+		.
	n=1	n + 1						n
	∞		2
3.	∑arctg		2			.
3.	∑arctg					.
	n=1		n2
	∞									−
	∞				(n + 1)2 −1					−	n2 −1
5.	∑arcsin											.
5.	∑arcsin											.
	n=1							n (n + 1)

	∞		1
2.	∑		1			.


	n=1	(2n −1)(2n + 5)
	∞		1		2n + 1
4.	∑sin		1	cos	2n + 1		.
4.	∑sin		n2 + n	cos			.
	n =1		n2 + n		n2 + n

∞

6. ∑logn+1 3(1 − logn (n + 1)).

n=2

∞

2n − 1

∞

∑

−

8. ∑ ln 1

(n + 1)

n=1 2

n=1

∞

π2

∞

9. Известно, что ∑

. Найти сумму ряда ∑

n=1 n2

n=1 (2n −1)2

10. Пусть {an }∞n =1 является арифметической прогрессией, все члены и разность

							∞
d которой отличны от нуля.						Доказать, что ряд ∑		1	расходится. Найти сумму
d которой отличны от нуля.						Доказать, что ряд ∑			расходится. Найти сумму
	∞						n=1 an
	∞		1
ряда ∑			1	.


11.	n=1 an an+1
11.		Показать,			что	всякая	периодическая		десятичная	дробь
α0 ,α1α2 K αn K (0 ≤ αn ≤ 9, n N )							определяет рациональное число.

2.1.2. Абсолютная и условная сходимость ряда

Признаки сходимости числовых рядов

∞

Определение 4. Ряд ∑ an называется абсолютно сходящимся, если схо-

n=1

	∞
дится ряд ∑		an	.
дится ряд ∑		an	.
	n =1			∞	∞
				∞	∞
Определение 5. Если ряд ∑ an сходится, а ряд					∑	an	расходится, то
Определение 5. Если ряд ∑ an сходится, а ряд					∑	an	расходится, то
∞				n=1	n =1
∞
ряд ∑ an называется условно сходящимся.
n=1
Абсолютно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами.
1.	Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
			∞	абсолютно сходится, а последовательность {bn }∞n =1 ог-
2.	Если ряд ∑ an			абсолютно сходится, а последовательность {bn }∞n =1 ог-
			n=1
			∞
раничена, то ряд ∑ anbn				абсолютно сходится.
			n=1	∞			∞
			∞	∞			∞
3.	Если ряды ∑ an			и ∑bn абсолютно сходятся, то ряд ∑ai k bj k ,
			n=1	n=1			k =1

составленный из всевозможных попарных произведений членов исходных рядов, абсолютно сходится и сумма его равна произведению сумм исходных рядов.

∞

4. Если ряды ∑ an

n=1

абсолютно сходится ряд

∞

5. Если ряд ∑ an

n=1

рестановкой членов ряда

∞

и ∑bn абсолютно сходятся, то для любых α, β R

n=1

∞

∑(α an + β bn ).

n =1

абсолютно сходится, то ряд, полученный любой пе-

∞

∑ an , также абсолютно сходится и сумма полученно-

n =1

го ряда равна сумме исходного.

Приведем некоторые свойства условно сходящихся рядов.

∞	∞	∞
1. Если ряд ∑ an	сходится условно, то ряды ∑αn	и ∑ βn , составлен-
n=1	n=1	n =1

ные из положительных членов и абсолютных величин отрицательных членов исходного ряда (взятых в произвольном порядке), оба расходятся.

∞

2. Теорема Римана. Если ряд ∑ an сходится условно, то для любого

n=1

S R можно найти такую перестановку членов этого ряда, что получивший-

ся ряд сходится к S .

Для установления абсолютной сходимости рядов достаточно уметь исследовать на сходимость ряды с неотрицательными членами.

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами).

∞

Для сходимости ряда ∑ an с неотрицательными членами ( an ³ 0 " n Î N )

n=1

необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

∞	∞
Признак сравнения. Пусть ∑an и	∑bn – ряды с неотрицательными
n=1	n=1

членами и для каждого n N	выполняется неравенство an £ bn . Тогда из схо-
∞	∞
димости ряда ∑bn следует сходимость ряда ∑an , а из расходимости ряда
n=1	n=1
∞	∞
∑ an следует расходимость ряда ∑bn .
n=1	n=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.16 Mб3Учебное пособие 1434.pdf
#
30.04.20221.16 Mб16Учебное пособие 1435.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1436.pdf
#
30.04.20221.16 Mб114Учебное пособие 1437.pdf
#
30.04.20221.16 Mб2Учебное пособие 1438.pdf
#
30.04.20221.16 Mб15Учебное пособие 1439.pdf
#
30.04.2022300.67 Кб2Учебное пособие 144.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1440.pdf
#
30.04.20221.17 Mб4Учебное пособие 1441.pdf
#
30.04.20221.17 Mб1Учебное пособие 1442.pdf
#
30.04.20221.17 Mб7Учебное пособие 1443.pdf