Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие 1439

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
1.16 Mб
Скачать
☆

Отсюда

 

y0

=

y1 + y2

 

 

для всякой хорды, параллельной касательной к па-

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раболе в точке

 

M 0 ( x0 , y0 ) , а это означает,

 

что середины хорд лежат на

прямой y = y0 , параллельной оси параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.18 Доказать, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) площадь сегмента M 1OM 2 параболы зависит только от разности орди-

нат точек M 1

и M 2

и не зависит от их расположения на параболе;

 

 

б) площадь

сегмента

 

M 1OM 2

параболы

 

равна

2

 

 

 

 

площади

параллело-

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грамма AM 1M 2 B (рис. 3.18);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

площадь треугольника M 1M 2 M 3 с вер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шинами на параболе зависит только от разно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стей ординат его вершин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение А.

Площадь S сегмента M 1OM 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параболы равна разнице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площади трапеции CM 1 M 2 D и площади

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

криволинейной трапецииCM 1OM 2D :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

x

 

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

− y ) −

y2 y

2

dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

( y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

y∫ 2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2 + y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

3

- y 3 ) =

Рис. 3.18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

2

( y

 

 

- y

 

 

) -

 

 

 

 

( y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2 p 3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

( y

 

 

− y )(3y 2

+ 3y

2

− 2 y 2

− 2 y y

 

 

 

 

 

− 2 y 2 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 p

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

( y

 

 

− y )( y 2 + y 2

 

− 2 y y

 

) =

 

 

1

( y

 

 

− y )3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

12 p

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

12 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б. Используя результат примера 3.17, заметим, что площадь параллело-

грамма AM

1

M

2

B равна четырем площадям треугольника

M

0

M M ' :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[M 0 M1 , M 0 M 01 ]

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S AM M

2

B = 4 ×

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем координаты точек M 0 , M1 , M 0' ,

 

учитывая, что M 0 и M 1 лежат

на параболе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

0

 

; y

 

,

M

 

1

 

 

; y

,

 

M

 

1

 

 

 

 

2

 

 

; y

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 p

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь учтено, что x

 

 

'

 

=

xM1

+ xM 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

121

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = 2

 

 

 

 

 

 

 

y 2 − y

2

 

 

 

 

 

 

 

y1 − y0

 

 

 

 

 

= 2

 

( y1 − y0 )

( y 2

+ y 2

− 2 y

2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S AM M

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

2

 

 

0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 p

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

+ y

2

 

−

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 p

 

 

 

 

 

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как y

 

=

 

1

( y

+ y

 

 

) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y12 + y22 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y22

 

 

 

 

S AM M B

=

1

 

 

−

1

y1 −

1

y2

1

( y12 + 2 y1 y2

 

 

=

 

 

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

( y − y

2

)( y 2

− 2 y y

2

+ y

2 )

 

=

1

 

 

 

( y − y

2

)3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 p

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

8 p

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим отношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SM OM

2

 

 

 

 

( y 2 - y )3

 

 

 

 

 

 

 

8 p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

1

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S AM M

2

B

 

 

12 p

 

 

 

( y

2

- y )3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

SM1OM2 = 2 S AM1M2B .

3

В. Утверждение этого пункта следует из пункта А.

Рекомендуем получить формулу для площади треугольника M 1M 2 M 3 .

Пример 3.19. Доказать, что сумма обратных величин длин отрезков, на которые фокус невырожденной кривой второго порядка делит проходящую через него хорду, постоянна. Показать, что отношение произведения длин этих отрезков к длине хорды также постоянно.

Решение. Воспользуемся уравнением кривой второго порядка в полярной

системе координат: r =

p

 

.

1 − e cos ϕ

Тогда

 

 

 

 

1

 

 

+

 

 

1

 

 

=

1

+

1

=

1− e cosϕ

+

1− e cos(ϕ1

+ π)

=

 

 

 

 

F1M1

 

 

 

 

F1M 2

 

 

r1

r2

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

(2 − e cos ϕ − e cos(ϕ + π)) =

 

1

(2 − e cos ϕ + e cos ϕ ) =

2

.

 

 

 

 

 

 

p

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

p

 

1

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для эллипса и гиперболы p = b 2 и сумма обратных величин длин отрез- a

ков хорды равна 2a . b2

122

Доказательство второго утверждения получается следующим образом:

1

+

1

=

r1 + r2

=

2

 

r1r2

=

p

.

 

 

 

 

r1 + r2

 

r1 r2

 

r1r2

 

p

 

2

 

Задачи для самостоятельного решения

1.Определить произведение расстояний от фокусов: а) эллипса до любой его касательной; б) гиперболы до любой ее касательной.

2.Найти геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых

касаются: а) данного эллипса ; б) данной гиперболы*.

3. Составить уравнение геометрического места вершин углов данной величины α , стороны которых касаются: а) эллипса; б) гиперболы. Рассмотреть

частный случай α = π .

2

4. Найти угол между касательными, проведенными из точки M 0 ( x0 ; y0 ) : а)

кэллипсу; б) к гиперболе.

5.Найти геометрическое место точек, симметричных с фокусом гиперболы относительно касательных к этой гиперболе.

6.Доказать, что точки пересечения касательной к гиперболе с ее асимптотами лежат на одной окружности с фокусами.

7.Найти геометрическое место точек, симметричных с центром гиперболы относительно ее касательных.

8.Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси.

9.Доказать, что два треугольника, образованных двумя радиусами гиперболы и касательными в их концах, равновелики.

10.Доказать, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из концов любой хорды, проходящей через фокус, на ось параболы, имеет постоянную величину.

11.Определить геометрическое место оснований перпендикуляров, опу-

щенных из фокуса параболы y 2 = 2 px на касательные.

12.Прямой угол скользит так, что стороны его все время касаются параболы y 2 = 2 px . Определить траекторию его вершины.

13.Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, пересекаются

вчетырех точках. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

* Во всех задачах, где говорится об эллипсе или гиперболе, имеется в виду их задание каноническими уравнениями.

123

 

 

14. Через фокус F кривой второго порядка через равные углы проведены

n

лучей, пересекающих кривую в точках M 1 , M 2 , ..., M n . Показать, что

n

1

 

 

∑

 

 

не зависит от выбора направления луча FM 1 , и найти эту сумму.

 

FM k

 

k =1

 

 

15.Равносторонние треугольники со сторонами, длины которых 1, 3, 5, 7 выстроены так, что их основания расположены на одной прямой и вплотную примыкают друг к другу. Доказать, что вершины треугольников, противолежащие основаниям, расположены на параболе и удалены от ее фокуса на целочисленное расстояние.

16.На эллипсе найти такую точку, чтобы площадь треугольника, образованного этой точкой и двумя соседними вершинами эллипса, была максимальной.

17. Составить уравнения всех общих касательных к кривым y 2 = 4x и x 2 + y 2 + 6x + 7 = 0 .

18. Докажите, что кривая 4x 2 + y 2 − 2 yx = 4 − эллипс, найти на ней ближайшую и наиболее удаленную точки от прямой x − y + 4 = 0 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По своему содержанию данное пособие дополняет раннее изданные «Задачи повышенной сложности по высшей математике» тех же авторов.

Мы надеемся, что наше пособие будет интересно всем, кто хочет повысить уровень своей математической эрудиции и подготовить себя к решению практических задач, связанных с будущей профессией. Пособие так же может быть использовано преподавателями при проведении дополнительных занятий и при руководстве математическими кружками.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лефор, Г. Алгебра и анализ./ Г. Лефор − М.: Изд-во Наука. 1975. − 462 с. 2.Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий − М.: Изд-во МГУ

1988. − 300 с.

3.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник / Г.М. Фихтенгольц. − М.: Физматлит, 2003. Т.1. − 80 с.

4.Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: учебник / Л.Д. Кудрявцев. − М.: Физматлит, 2003. Т. 1. − 400 с.

5.Никольский, С.М. Курс математического анализа: учебник / С.М. Ни-

кольский. − М.: Наука, 1990. − Т.1. − 528 с.

6. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б.П.Демидович − М.: Наука, 2001. − 545 с.

124

Учебное издание

Барсуков Андрей Иванович Глазкова Мария Юрьевна Минаков Виктор Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

Учебное пособие

для студентов бакалавриата и специалитета 1-2 курсов

всех направлений подготовки

В авторской редакции

Подписано в печать 24.07.2017 г. Формат 60x84 1/16 . Усл. печ. л. 7,8. Уч.-изд. л. 9,0. Бумага для множительных аппаратов. Тираж 350 экз. Заказ № 95.

__________________________________________________________________

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский проспект, 14

Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности