Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1439

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

k 1

1 n

1 n (n +1)

Sn = ∑

∑1 +

∑ k

× n +

∑ k = 1 +

k =1

n n

n k =1

k =1

Отсюда по определению интеграла получаем

(n + 1)

∫

(1 + x) dx = lim S

= lim 1

= 1 +

n→∞

2 n

2 2

n→∞

Пример 1.6. Вычислить интеграл

∫

d x

b > a > 0 .

ξ k

деления отрезка [a, b] на час-

Решение. В этом случае выберем точки

тичные таким образом, чтобы они образовали геометрическую прогрессию со знаменателем q :

= a,

x = aq,

= aq2

, K , x

= aqn = b.

Отсюда

следует,

что

надо

взять

q = n

Положим,

ξk = xk −1, k = 1, 2, K , n

. Для

длин

частичных промежутков имеем

xk = a qk − a qk −1 = a qk −1 (q −1) .

Построим интегральную сумму для функции

f (x) =

на отрезке [a, b].

a q k −1

Sn = ∑ f ( ξk ) xk = ∑

(q −1) = (q −1)∑1 = n (q −1) .

k =1

k =1 a q k −1

k =1

Для интеграла от f (x) = 1 получаем x

b	d x
∫	d x	= lim n n
∫		= lim n n
a	x n→∞

b − = 1

lim

n→∞

	1
b
b			n	−1
					b

a
					= ln	= ln b − ln a .
					= ln	= ln b − ln a .
		1			a

Здесь при вычислении предела мы воспользовались известным пределом

lim a x −1 = ln a .

x→0 x

Конечно же интегралы (как и производные) нерационально вычислять по определению. Для этого имеется формула Ньютона-Лейбница и разработаны различные методы (аналитические и численные) вычисления определенных интегралов. Рассмотренные здесь примеры приведены, с одной стороны, для прояснения конструкции определенного интеграла, а с другой – для подготовки к решению обратной задачи: нахождения пределов последовательностей сумм с

помощью определенного интеграла. Прежде чем заняться рассмотрением обратной задачи, сделаем два вывода из примеров 1 и 2.

Пусть требуется вычислить предел последовательности сумм. Признаком того, что сумму, от которой требуется найти предел, можно представить инте-

гральной

суммой некоторой функции

f (x) на

отрезке [a, b]

с разбиением

b − a

a +

k , представляющим арифметическую прогрессию,

является воз-

k = 0

можность ее записи в виде

b − a

Sn =

∑ f a + k

(1.2)

а с разбиением {b qn−k }n

k =1

, представляющим геометрическую прогрес-

k=0

сию со знаменателем q = n

a < b , является возможность записи суммы в

виде

= ∑ f (b q k ) bqk (1 − q) .

(1.3)

k =1

Рассмотрим теперь приложение определенного интеграла к нахождению пределов последовательностей сумм.

Пример 1.7. Найти предел суммы

+ K+

lim

+ n2

n→∞ n2 +1 n2 + 22

Решение. Запишем сумму в виде

+ K

+ n2

2 + 1 n2 +

+ K +

1 +

Нетрудно заметить,

что S n

можно рассматривать как интегральную сум-

му для функции f (x) =

на отрезке [0, 1] ,

соответствующую разбиению

+ x2

k −1

k =

k = 1, 2,..., n , каждый из

этого отрезка на частичные отрезки

;

которых имеет длину

. В качестве точек ξ k

выбираются концы частич-

ных отрезков, то есть ξ k

. При n →∞ max

→ 0. Отсюда заключа-

ем, что

lim

+ ... +

lim

∑

2 + 1

2 + 2

n → ∞ n

n 2 + n 2

n → ∞ n

k 1

d x

= arctg x

10 = arctg1 − arctg 0 = π .

∫0 1 + x 2

Здесь была использована формула Ньютона-Лейбница.

Пример 1.8. Найти предел

2 n

lim

∑

n → ∞

k =1

n +

Решение. Запишем сумму в виде

2 n

∑

k =1 n +

k =1 1 +

k n

При k ³ 2 справедливо неравенство (проверить)

k −1

2 n

2 n <

< 2 n ,

1 +

k n

из которого следует

k −1

2 n

∑

2 n <

∑

∑ 2 n .

k =1

k =1 1 +

k =1

k n

Согласно формуле (1) в левой и правой частях этого неравенства распо-

ложены интегральные суммы для функции

f (x) = 2 x на отрезке [0;1] с разбие-

k −1

нием на частичные отрезки

k =

;

, k

= 1, 2,..., n , и с выбором в каче-

стве точек ξ k левых концов отрезка для первой суммы и правых концов для суммы крайней справа. В обоих случаях имеем

k −1

lim

∑ 2 n

= lim

∑ 2 n

= ∫ 2 x d x =

n → ∞ n

k =1

n →∞ n

k =1

ln 2

Согласно теореме о переходе к пределу в двойном неравенстве получаем

2 n

lim

∑

→ ∞ n

k =1 n +

ln 2

n − 1

Пример 1.9. Найти lim

− 1

+ ... +

n−1

n → ∞

2 n

Решение. Поделив каждое слагаемое в сумме на n и записав двойки в отрицательной степени, приходим к следующему виду предела

n−1

-1

− n

n -1

−

lim

1 + 1 -

+ ... + 1 -

+ ... + 1

n →∞

2 n

−

n−1

−

n−1

−

lim

- 2

∑

1 -

∑

1 -

ln 2 ×

× 2 n

- 2

2 ln 2

n → ∞

k =0

n−1

1−

−

lim ∑ ln

2 n

× 2

- 2 n

2 ln 2

n →∞ k =0

− 1

Если теперь обозначить q = 2 n , то сумму под знаком предела можно записать следующим образом

		1						n−1
		1				lim		∑ ln (2q k )× 2q k (1 - q).


				2 ln 2	n →∞ k =0
В таком виде сумма уже имеет вид (1.3) для функции ln x																					на отрезке
[1;2]. Поэтому
			n−1				k				k				1			2
1		lim ∑ ln				1− n				1− n				− n			1	∫ ln x d x
					2				×	2			1 - 2			=					=
					2				×	2			1 - 2			=	2 ln 2				=
	2 ln 2 n → ∞ k =0																2 ln 2	1
=		1	(x ln x			2 − x			2	)=			1	( 2 ln 2 −1) = 1 −					1	.
		1							2				1						1

		2 ln 2				1			1			2 ln 2							ln 4
						1			1

										14

	Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы сумм
1. lim	1α + 2α + ... + nα	, α > 0.
	n α+1
n →∞

lim

+ ... +

n →∞ n +1 n +

n + n

1 +

+ ... + 1 +

lim

n → ∞ n

lim

n − 1

cos π

n − 2

cos 2 π + ... +

cos (n − 1) π .

n 2

n → ∞ n 2

Доказать, что для функции

f (x) C([0;1]),

f (x) > 0 x [0;1]

= exp ∫ ln f (x) d x.

lim .n

... f

→ ∞

1.2.2.Вычисление определенных интегралов

1.2.2.1.Определенный интеграл и первообразная

Определение 4. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда x [a ;b] существует интеграл

∫ f (t ) d t = F (x) ,

который является функцией, определенной на [a;b], и называется инте-

гралом с переменным верхним пределом.

Функция F (x) обладает следующими свойствами:

а) если f (x) интегрируема на [a;b], то F (x) непрерывна на [a;b];

б) если f (x) непрерывна на [a;b], то F (x) дифференцируема на [a;b] и

имеет место равенство
	d	x
			= f (x).
		∫ f (t) dt
	d x	a

Упражнение. Доказать утверждения а, б.

Из утверждения б непосредственно следует приведенный ранее факт, который будет сформулирован здесь в виде теоремы.

Теорема. Всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную, причем любая первообразная функция f (x) на [a;b] имеет вид

F (x) = ∫ f (t ) d t + C.

Так как любая кусочно-непрерывная на отрезке [a;b] функция интегри-

руема на этом отрезке, то имеет смысл расширить понятие первообразной, что и делается в следующем определении.

Определение 5. Функция F (x) называется обобщенной первообразной для функции f (x) на промежутке X, если F (x) непрерывна на X и во всех точ- ках этого промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, при

этом выполняется соотношение F '(x) = f (x).

С учетом этого определения заключение теоремы 1 может быть распространено и на кусочно-непрерывные функции.

Теорема. Каждая определенная и ограниченная на отрезке [a;b] функ- ция f (x) с конечным числом точек разрыва имеет на этом отрезке обобщен- ную первообразную, причем любая первообразная функции f (x) на [a;b] имеет

вид

F (x) = ∫ f (t ) d t + C.

			a
Упражнение. Пусть функция f (x) непрерывна на R, а функции ϕ(x) и
ψ(x) дифференцируемы на R. Показать, что
	d	ψ (x)	= f ( y(x) )×y'(x) - f ( j(x) )× j'(x).
	d	∫ f (x) dt
		∫ f (x) dt
	d x
		ϕ (x)

Примеры решения задач

Пример 1.10. Найти все первообразные для функции			f (x) = sign x на R.
Решение. Функция	f (x) = sign x имеет разрыв первого рода в точке x = 0 ,
поэтому речь здесь может идти только об обобщенной первообразной.
−1, x < 0,		x < 0,	− x + C, x < 0,
	− ∫ d x ,
sign x =	∫sign x d x =	=		x + C1, x > 0.
1, x > 0.	∫ d x,	x > 0.
	16

Из условия непрерывности первообразной получаем

lim	(− x + C ) = lim ( x + C1 ) C1 = C.
x → − 0	x → + 0
	∫ sign x d x =	x	+ C.

Заметим, что неопределенный интеграл от функции sign x может быть найден и другим способом с использованием следующих соотношений:

sign x =

x 2 .

∫ sign x d x = ∫

d x = ∫

d x =

∫ (x 2 )−

d (x 2 )=

x 2

+ C =

+ C.

Пример 1.11. Найти все первообразные для функции f (x) = sign (sin x) на

Решение. Воспользуемся тем, что sign (sin x) =

sin x

∫ sign (sin x) d x = ∫

sin x

d x =

∫

sin x d x

= −∫

d (cos x)

sin x

1 − cos2 x

= arccos(cos x) + C.

Полезно привести графики функции sign(sin x) и ее первообразной при

C = 0 (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

Пример 1.12. Найти все первообразные для функции f (x) = [x] при x ³ 0. Решение. Требуется найти неопределенный интеграл ∫[ x] d x при x ³ 0. Заметим, что для функции f (x) = [x] имеет место представление

[ x]+1

[x] = ∑η( x − k ) ,

k =1

0, x < 0,

где h(x) = – функция Хевисайда.1, x ³ 0

Учитывая это представление, получаем для одной из первообразных


[ x]+1	[ x]+1	[ x]+1
∫[x]d x = ∫ ∑h(x - k) d x = ∑		∫ h(x - k) d (x - k ) = ∑		(x - k ) h(x - k ) =
k =1	k =1	k =1
[ x]+1	[ x]+1	[ x]
= x ∑ h(x - k ) -	∑ k h(x - k ) = x[x] - ∑ k = x[x] -		[x]([x] +1)		.

k =1	k =1	k =1		2

Здесь было учтено, что η( x − ([x] +1) ) = 0 и что ∑k есть сумма арифметиче-

k =1

ской прогрессии.

Таким образом, все первообразные функции [x] при x ³ 0 имеют вид

= − [x]([x] + 1) +

F (x) x[x] C. 2

Рекомендуется нарисовать график первообразной для функции f (x) = [x].

Пример 1.13. Вычислить определенный интеграл от разрывной функции:

n+1

∫ ln[x]d x, n Î N.

Решение.

n+1	n	k +1
∫ ln[x]d x = ∑ ∫ ln[x]d x
1	k =1	k

= ∑ ln k =

k =1

n	k +1	n	k +1
= ∑ ∫ ln k d x = ∑ln k ∫ d x =
k =1	k	k =1	k

ln ∏ k = ln n!

k =1

Задачи для самостоятельного решения

Найти неопределенные интегралы от ограниченных разрывных функций:

1. ∫ (−1) [ x]d x.

2. ∫ x[x] d x.

∫

sign (cos ) d x.

< l,

∫

f (x) d x, если

f (x) =

> l.

Вычислить определенные интегралы от разрывных функций:

	2	[e x ]d x.		6	p x d x.
5.	∫	[e x ]d x.	6.	∫ [x] sin	p x d x.
	0			0	6
	π			1
7.	∫ x sign ( cos x ) d x.		8.	∫ sign ( sin (ln x )) d x.
	0			e- 2 π n
		Формула Ньютона –	Лейбница и основные методы интегрирования

Теорема. Если f (x) непрерывная (кусочно– непрерывная) на отрезке [а;b] функция, а F (x) – любая ее первообразная (обобщенная первообразная) на [a;b], то справедлива формула Ньютона – Лейбница

∫ f (x) dx = F (b) - F (a) = F (x)

ba .

Из формулы Ньютона – Лейбница и правила дифференцирования произведения функций получается следующее.

Утверждение 1. (Интегрирование по частям в определенном инте-

грале). Если функции u ( x ) и v( x ) непрерывно дифференцируемы на отрезке

[a ; b], то справедлива формула интегрирования по частям

b	b
∫u ( x ) v¢ ( x ) d x = u ( x ) ×v ( x )	ba - ∫v ( x ) u¢( x ) d x .	(1.4)
		(1.4)

a	a

Упражнение 1. Используя формулу Ньютона – Лейбница, представленную в виде

∫ f ¢( t ) d t = f ( x ) - f ( a ) ,

и применяя формулу (5.4) интегрирования по частям, получить формулу Тей-

лора с остаточным членом rn (a, x )			в интегральной форме
r (a, x ) =	1	x	f (n+1) ( t ) (x - t) n d t.
r (a, x ) =	n!	∫	f (n+1) ( t ) (x - t) n d t.
n	n!	∫
n
		a
Упражнение 2. Пусть f ( x )		C [ a,b ]. Применяя формулу (5.4), пока-

зать, что

b	1

∫ f ( x ) sin k x d x = O

a	k

	при k → + ∞ ( k R ).

При вычислении определенных интегралов формула интегрирования по частям используется часто для получения рекурентных соотношений.

Пример 1.14. Вычислить интеграл ∫ cos k x d x, k Î N.

Решение. Для вычисления интеграла применим формулу интегрирования по частям

I k

= ∫ cos k x d x = ∫ cos k −1 x d (sin x ) = cos k −1 x sin x

2 +

+ (k -1) ∫ cos k −2 x sin 2 x d x = + (k -1) ∫ cos k −2 x (1 - cos 2 x ) d x =

= (k -1) ∫ cos k −2 x d x - ( k -1) ∫ cos k x d x = ( k -1) I k −2 - ( k -1) I k .

Отсюда получаем

k −1

Ik =

I k −2 .

Так как при

k = 0

I 0 = ∫ d x = p , то при четных k = 2 n.

2 n -1

2 n - 3

× p =

( 2 n -1)!!

× p .

Имеем I 2n = ∫ cos 2n x d x =

×××

2 n

2 n - 2

4 2 2

( 2 n )!! 2

При k = 1

I1 = ∫cos x d x = sin x

2 = 1.

Отсюда при нечетных

k = 2 n + 1 получается

2 n

2 n - 2

( 2 n )!!

I 2n+1 = ∫ cos 2n+1 x d x=

× 1 =

2 n +1 2 n -1

3 1

( 2 n +1)!!

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы при m и n N

1. ∫sin n x d x .

2. ∫ cos n x ×cos n x d x .

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.16 Mб3Учебное пособие 1434.pdf
#
30.04.20221.16 Mб16Учебное пособие 1435.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1436.pdf
#
30.04.20221.16 Mб114Учебное пособие 1437.pdf
#
30.04.20221.16 Mб2Учебное пособие 1438.pdf
#
30.04.20221.16 Mб15Учебное пособие 1439.pdf
#
30.04.2022300.67 Кб2Учебное пособие 144.pdf
#
30.04.20221.16 Mб4Учебное пособие 1440.pdf
#
30.04.20221.17 Mб4Учебное пособие 1441.pdf
#
30.04.20221.17 Mб1Учебное пособие 1442.pdf
#
30.04.20221.17 Mб7Учебное пособие 1443.pdf