Учебное пособие 1085

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

А.Н. Шелковой Н.А. Ююкин

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

В

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2016

УДК 519.17

Шелковой А.Н. Дискретная математика в информационных технологиях: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (736 Кб) / А.Н. Шелковой, Н.А. Ююкин. – Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и

выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; Adobe Acrobat ; 1024x768

;CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана.

Впособии рассмотрены вопросы теории множеств, комбинаторики, отношений на множествах, графы и рекуррентные уравнения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии», профили «Информационные системы и технологии в машиностроении», «Информационные технологии в дизайне», дисциплине «Дискретная математика».

Табл. 11. Ил. 30. Библиогр.: 10 назв.

Рецензенты: кафедра высшей математики Воронежского института МВД России (начальник кафедры д-р физ.- мат. наук, проф. В.В. Меньших); канд. физ.-мат. наук, доц.

А.В. Ряжских

©Шелковой А.Н., Ююкин Н.А., 2016

©Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие может быть использовано в курсе “Дискретная математика” студентами ВГТУ, обучающимися на специалиста по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии», профили «Информационные системы

итехнологии в машиностроении», «Информационные технологии в дизайне».

Дисциплина “Дискретная математика” обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с Государственным, общеобразовательным стандартом, и при этом содействует повышению уровня образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.

Дискретная математика является эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Она используется при моделировании систем управления, исследовании автоматов и логических сетей, в системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных

иинформационных сетей и т.п.

Вучебном пособии излагаются основы, базовые методы и алгоритмы теории. В нём нашли отражение основные понятия теории множеств; простейшие комбинаторные комбинации и их объединения; отношения, отображения и алгебраические операции на множествах; неориентированные, ориентированные, эйлеровы, гамильтоновы и планарные графы; потоки в сетях; рекуррентные уравнения и методы их решения. Здесь также отрабатываются практические навыки по использованию вышеприведенных понятий.

Целью курса является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области моделирования процессов и явлений в естествознании и технике, с возможностью употребления математических символов для выражения количественных и качественных отношений объектов, необходимых для выполнения служеб-

3

ной деятельности в области разработки информационных систем на высоком профессиональном уровне.

Достижению данной цели служат следующие задачи: изучить максимально широкий круг понятий теории;

получить навыки решения учебных и практических

задач;

выработать навыки постановки и решения информационных задач,

моделирования и анализа информации с помощью методов теории множеств, отношений, комбинаторики и графов.

Дисциплина “Дискретная математика” относится к числу прикладных математических дисциплин. Она базируется на знаниях, приобретенных студентами при изучении дисциплин “Алгебра” и “Начала информатики”. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины “Дискретная математика” используются при изучении обще профессиональных и специальных дисциплин.

4

1.ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1.1.Основные понятия

Вматематике понятие множества принадлежит к числу первичных, то есть неопределяемых через более простые. Это понятие лишь проясняется, то есть даётся описание его основных свойств.

Множеством называется любая совокупность определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимая, как единое целое. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, а их элементы –

малыми. Запись x X означает, что элемент x принадлежит множеству X, в противном случае пишут x X.

Вэтом “определении” совокупность предметов рассматривается, как один общий объект и при этом предметы как бы собираются в один мешок, а дальше работают с этим мешком, как с единым целым, не задумываясь о его содержании. Такой подход известен в биологии, где растения и животные, классифицируются по видам, классам, отрядам и т. д. При этом внимание переносится с отдельных представителей на общие свойства группы, как совокупности. В языке это отражается в словах “компания”, “стая”, “стадо” и т.д.

В“определении” множества нет никаких ограничений на природу элементов. Это может быть множество студентов первого курса, множество пятен на солнце, множество зелёных яблок, множество звёзд на небе и так далее. Заметим, что в качестве элементов множеств могут быть также множества. Например: с одной стороны, группа студентов – это множество, состоящее из людей, а с другой стороны, эта группа является элементом множества всех групп в институте.

5

В математике часто используют числовые множества, элементами которого являются числа. Некоторые из этих множеств часто используются математиками и имеют стандартные названия и обозначения. К ним относятся множества N – натуральных, Z – целых, Q – рациональных, I – иррациональных, R – действительных чисел.

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой оси, то есть прямой на которой выбрано: 1) начало отсчёта, 2) положительное направление и 3) единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие.

Множества точек X числовой оси называются: a ≤ x ≤ b – отрезком,

a<x<b – интервалом,

a<x ≤ b, a ≤ x<b– полуинтервалом,

Все указанные множества называются промежутками. Всякий интервал, содержащий точку a, называется

окрестностью точки a.

Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, а в противном случае – бесконечным.

Мощностью конечного множества называется число его элементов. Мощность множества X обозначается символом |X|.

Конечное множество обычно задаётся перечислением его элементов с заключением их в фигурные скобки, то есть

X= {x1,x2,,…,xn}.

Здесь порядок, в котором записываются элементы множества, значения не имеет.

Перечисление элементов является громоздким для описания больших множеств и не применимо для бесконечных множеств. Такие множества задаются с помощью характеристических свойств. Пусть P(x)- предикат, т. е. некоторое

6

предложение, зависящее от x. Оно может быть истинным или ложным в зависимости от x. Тогда множество задаётся в виде:

X={x|P(x)}.

Эта запись означает, что x X тогда и только тогда, когда P(x) истинное утверждение.

Например: A= {1,2}={x N | x<3}.

Способ задания множеств с помощью характеристических свойств таит в себе некоторые опасности, которые могут привести к противоречиям. Например, парадокс Рассела заключается в том, что рассматривается множество всех множеств, которые не являются своими собственными подмножествами. То есть, К={М|М М}. Является ли множество К своим элементом? С одной стороны, если К К, то должно выполняться свойство, задающее множество К, т.е. К К, Получили противоречие. С другой стороны, если К К, то исходя из свойства, задающего К, приходим к тому, что К К. А это также противоречит предположению. Таким образом, любое характеристическое свойство, должно всегда приводить к осмысленному заданию множества.

1.2. Операции над множествами

Существует несколько способов конструирования нового множества из некоторого количества исходных множеств. Эти способы представляют собой операции над множествами.

ПодмножествомA множества B (A B) или (A содержится в B) называется множество A, каждый элемент которого принадлежит B. Графически это изображается с помощью кругов Эйлера, как показано на рисунке.

7

А

В

Рис. 1 Пустое множество есть подмножество любого множе-

ства.

Совокупность всех подмножеств множества А называется множеством-степенью и обозначается P(А), то есть

P(А)={В В А}.

Множества A и B называются равными (A=B), если

A B и B A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Совокупность всех допустимых объектов в рамках решаемой задачи называется универсальным множеством и обозначается U.

Дополнением множестваA называется множество Ā, состоящее из элементов универсального множества, не являющихся элементами множеством A.

Рис. 2

8

Пересечение множествA B, есть множество элементов принадлежащих A и B.

Рис. 3

ОбъединениеA B есть множество всех элементов принадлежащих A или B. Следует иметь в виду, что существуют два значения союза или:

1)«исключающее или» - либо то, либо другое и третьего не дано;

2)«не исключающее или» - то или другое, или то и другое вместе.

В определении объединения множеств подразумевается второе “не исключающее или”, то есть элемент может принадлежать только A, только B, а также одновременно этим множествам

Рис. 4

РазностьA\B, есть множество, состоящее из элементов A, не входящих в множество В.

Рис. 5

9

Симметричная разность A B

Рис. 6

1.3. Алгебраические свойства операций над множествами

Таблица 1

1. идемпотентность