Учебное пособие 1085

an c1 c2 3n

a1 c1 c2 3 10a2 c1 c2 9 16

6c2 6, c2 1,

c1 7 3n.

6.2. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное рекуррентное уравнение

an+k + p1an+k-1 + … + pkan = f(n), (n = 0, 1, 2,…) (3)

Пусть {bn} – общее решение однородного уравнения

(1). {cn} – частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (3).

Тогда последовательность {bn + cn} образует общее решение уравнения (3). Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 4. Общее решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного рекуррентного уравнения и некоторого частного решении неоднородного уравнения.

В результате, задача нахождения общего решения неоднородного уравнения (3) сводится к нахождению его частного решения. В отдельных случаях имеются рецепты нахождении частного решения.

1сли f(n) = βn, (где β не является корнем характеристического уравнения), то частное решение следует искать в виде cn = Cβn. Тогда, подставляя его в (3), получаем:

2) Пусть f(n)–многочлен степени rот переменной n, и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда (1) = 1+ +...+ ≠ 0 и частное решение следует ис-

кать в виде

лученного равенства, найдём соотношения для чисел di, позволяющие эти числа определить.

Пример. Найти решение рекуррентного уравнения

Его корень = −2. Тогда по теореме 1 общее решение соответствующего однородного рекуррентного уравнения

правой части последнего равенства, получаем систему урав-

начального условия = 1,находим = . В результате,

окончательно имеем: = + + (−2) .

6.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи задаётся ре-

член этой последовательности, начиная с третьего члена, равен сумме двух её предыдущих членов. Таким образом, мы можем найти начальные члены этой последовательности. Это будут числа -1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. Для того, чтобы определить любой член последовательности при больших её номерах, не проводя длительных арифметически расчётов целесообразно решить данное рекуррентное уравнение. Воспользуемся для этого выше приведённой теорией. С этой целью перепишем уравнение в следующем виде:

Анализ этого выражения показывает, что оно представляет собой линейное однородное рекуррентное уравнение второго порядка. Составляем для него характеристическое уравнение -

.

щее решение исходного рекуррентного уравнения имеет вид:

уравнений преобразуется к виду

+= 1

−= √ .

Сложив эти два уравнения, получим:

84

= 1+ √ = √√ ,

а вычитая из первого уравнения второе, получим:

85

7.ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

7.1.Общие сведения о производящих функциях

Для решения комбинаторных задач могут быть использованы методы математического анализа. Основой этого служит метод производящих функций. Этот метод позволяет достичь изучения свойств последовательностей. Он применяется для перечисления комбинаторных чисел и для установления комбинаторных тождеств.

Исходным пунктом этого метода является последовательность комбинаторных чисел {ak} и последовательность базисных функций ( ),( = 0,1,…).

Рассмотрим формальный ряд

( )

В частности, если последовательность конечна, т.е.

деленных ограничениях, ряд будет сходиться и тогда, в некоторой области он будет задавать функцию

заданной последовательности комбинаторных чисел {ak} относительно заданной базисной последовательности функций

обычные производящие функции имеют вид:

( ) =

86

В комбинаторном анализе используются также экспоненциальные производящие функции

Для производящих функций по аналогии со сходящимися рядами определяются операции сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и т.д. при этом x является действительной или комплексной переменной. При выполнении условий сходимости производящие функции являются аналитическими.

Рассмотрим ряд примеров.

7.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов

Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел, представляющих собой различное чис-

( + ) = ( + )( + )…( + )

Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором

( + ) = ( + )( + )( + ) =

каждом размещении, а в нижнюю формулу - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле мы получим всевозможные размещения с повторениями букв и , состоящие из элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв (тогда и букв в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит

(1+ ) =

В данном случае в качестве производящей функции выступает бином Ньютона (1+ ) .

88

Используя заданную производящую функцию, докажем тождество:

=( )

Для этого возьмем тождество

(1+ ) = (1+ ) (1+ )

Они эквивалентны следующему

=

Сравнивая коэффициенты при xn, получим

= = ( )

7.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Т.е. последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным уравнением:

сходится при | | < и определяет производящую функцию

89

( ) =

Помножив данное выражение на x и на , получим:

( ) =