Учебное пособие 1085

2.ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

2.1.Основные правила комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, связанный с решением задач выбора и размещения элементов конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества. Полученные конструкции называются комбинаторными конфигурациями.

Цель комбинаторного анализа заключается в изучении комбинаторных конфигураций, алгоритмов их построения, а также решении задач по их перечислению.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Пусть A, B – конечные множества, |A| = n, |B| = m.

| | = + − | ∩ |,

следовательно

| | = + ↔ ∩ = .

Комбинированная интерпретация.

Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, то выбор "либо A, либо B" можно осуществить n+m способами.

Комбинаторная интерпретация.

Если объект A можно выбрать nспособами, а после каждого такого выбора другой объект Bможно выбрать (независимо от выбора объекта A) mспособами, то пары объектов A и B можно выбрать m n способами.

11

Тогда правило произведения записывается следующим образом:

| A B| | A| |B|

Пример. Сколько всего существует двузначных чи-

сел?

Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то

A = {1, 2, ..., 9}, B = {0, 1, 2, ..., 9} и

×= {10,11,…,19,…,90,91,…,99}, | A B| | A| | B| 90.

2.2. Выборки элементов без повторений

Простейшими комбинаторными конфигурациями являются перестановки, размещения и сочетания.

следования элементов.

Теорема. Число всех перестановок равно n!

= !

12

Доказательство. На первом месте можно разместить nэлементов, на втором – любой из оставшихся (n-1) элементов и т.д. Для последнего места остается 1 элемент. В силу правила произведения имеем:

= ∙ ( − 1)∙…∙1 = !.

Пример. Сколькими способами можно разместить 5 студентов при наличии 5 мест.

= 120.

Размещения.

Пусть множество Mсостоит из n элементов. Размещением (упорядоченной выборкой) из nэлементов по m элемен-

Mможно представить, как заполнение некоторых m позиций элементами множества M. При этом первую позицию можно заполнить nспособами, вторую позицию (n-1) способами. Последнюю позицию можно заполнить (n-m+1) способами.

Пример. Из 10 книг производным образом берутся 3 книги и ставятся на полку. Сколько существует способов такой расстановки книг.

13

=!! = 8∙9∙10 = 720.

Заметим, что размещение из n элементов по nэлементам представляет собой перестановку, т.е.:

= = !

подмножество множества M, состоящее из nразличных эле-

Доказательство. Если объединить размещения из nэлементов по m, которые состоят из одних и тех же элементов (то есть не учитывать порядка расположения элементов), то получим сочетание из nэлементов по m. Так как для каждого такого сочетания можно получить n! размещений. Тогда

=! и, следовательно:

2.3. Выборки элементов с повторениями

Размещением (упорядоченной выборкой) с повторениями из n элементов по m называется любой упорядочен-

ся любой из n элементов, то число размещений с повторе-

Пример. Из чисел 1, 2, 3, 4 составляются трехзначные числа. Сколько чисел можно получить таким образом.

= 4 = 64..

Сочетанием (неупорядоченной выборкой) с повторениями из n элементов по mэлементов называется множество, состоящее из элементов, выбранных m раз из множества M. При этом допускается выбирать элемент повторно.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается .

Пример. Сколько существует различных результатов бросания двух одинаковых кубиков.

7!

= = 2!5! = 21

2.4. Объединение комбинаторных конфигураций

Комбинаторные числа не всегда определяются непосредственно по известным комбинаторным конфигурациям. Часто используются различные способы сведения одних комбинаторных комбинаций к другим. Простейший из этих способов – метод включений и исключений. В этом методе комбинаторная комбинация представляет собой объединение

15

других комбинаторных конфигураций, число которых легко вычислить непосредственно. Таким образом, возникает задача вычисления числа комбинаторных конфигураций в объединении. В простейшем случае справедлива формула.

| | = | | +| | − | ∩ |

Доказательство. Используем круги Эйлера.

A B

Рис. 8 Здесь можно выделить три непересекающихся между

= [ ( ∩ )] [ ( ∩ )] ( ∩ )

Указанные в этих объединениях множества не пересекаются, поэтому можно воспользоваться правилом суммы для определения их мощности, т.е.

| | = | ( ∩ )| +| ∩ | | | = | ( ∩ )| +| ∩ |

| | = | ( ∩ )|+ | ( ∩ )| +| ∩ |

Подставим из первых двух равенств в 3е, получим

| | = | | −| ∩ | + | | −| ∩ | +| ∩ | = | | +| | −| ∩ |

В более сложном случае имеет место равенство

| | = | | + | | +| | −| ∩ | −| ∩ | − | ∩ | +| ∩ ∩ |

16

Доказательство.

| | = | | +| | − |( ) ∩ | = = | | + | |− | ∩ | + | |

Пример. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Всего натуральных чисел меньших тысячи 999.Из них

1)999:3 = 333делятся на 3

2)999 5 = 199 делятся на 5

3)999 7 = 142 делятся на 7

4)999 (3×5) = 66 делятся на 3 и 5

5)999 (3×7) = 47 делятся на 3 и 7

6)999 (5×7) = 28 делятся на 5 и 7

7)999 (3×5×7) = 9 делятся на 3, на 5 и на 7

Врезультате имеем

=999−(333+199+142− 66− 47− 28+9) == 457

2.5. Бином Ньютона

номиальные коэффициенты обладают рядом замечательных свойств: они являются целыми положительными числами,

17

крайние из них равны единице, коэффициенты, равноотстоящие от концов одинаковы, они возрастают от краёв к середине, сумма всех коэффициентов равна 2 .Особенно важное свойство + = . Пользуясь этим свойством строится так называемый треугольник Паскаля, состоящий из биномиальных коэффициентов

По боковым сторонам треугольника Паскаля стоят единицы, внутри числа, образованные сложением двух чисел, стоящих над ними. При этом ( +1) строка даёт биномиальные коэффициенты для разложения –ой степени бинома.

18

3.ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ

3.1.Декартово произведение множеств

При задании конечных множеств не имеет значения порядок, в котором перечислены его элементы. Однако бывают случаи, когда необходимо работать с упорядоченными наборами элементов. Для этого необходимо познакомимся с упорядоченной парой элементов.

×= {(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )}.

Заметим, что при этом × ≠ × . Далее

×=

{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.

Прямое произведение множеств может быть изображено графически. Для этого используется диаграмма Венна.

19

Таблица 4

А

В качестве следующего примера рассмотрим произведение множества вещественных чисел R на самого на себя.

Элементы этого множества – конечные упорядоченные наборы, с которыми работают все языки программирования и базы данных.

20