Учебное пособие 1085

Пример: На следующем рисунке представлены: а) - исходный граф, б) – граф после удаления вершины v3, в) - результат удаления ребра e2, г) –отождествления вершин v3 и v4, д) –стягивание ребра e1, е) – подразбиение ребра e2.

Рис. 14

51

5.7. Маршруты в графах

Маршрутом в графе G=(V,E) называется чередующаяся последовательность вершин и ребер (дуг) – v1, e1, v2, e2, ….,vn, en,vn+1, в которой любые два соседних элемента инциденты.

Маршрут, соединяющий вершины v1 и vn+1 можно также задать последовательностью из одних вершин v1, v2, v3,…,vn, vn+1 или последовательностью ребер e1, e2,…,en. Число n ребер (или дуг) в маршруте называется его длиной. Маршрут называется циклическим, если v1=vn+1.

Маршруты в неориентированных графах.

Маршрут в неорграфе называется цепью, если все его ребра различны. Цепь называется простой, если все её вершины, кроме возможно первой и последней, различны. Циклическая цепь называется циклом, а простая циклическая цепь – простым циклом.

Неорграф без циклов называется ациклическим графом. Минимальная из длин циклов неорграфа называется его обхватом.

Пример 1: Рассмотрим неорграф

1 2

7 8

Рис. 15 В данном примере наборы вершин: (1,2) ; (1,2,4,7) яв-

ляются простыми цепями,: (1,2,4,7,8,4) - непростая цепь, (1,2,4,7,8,4,2) – маршрут, который не является цепью, (1,2,4,8,7,4,1) – непростой цикл, (1,2,4,1) – простой цикл. Об-

хват графа равен 3.

52

Маршруты в ориентированных графах.

Маршрут ориентированного графа называется путем, если все его дуги различны.

Путь называется контуром, если v1=vn+1. Граф не имеющий контуров называется безконтурным. Вершина v называется достижимой из вершины u, если существует путь из u в v.

Пример 2: Рассмотрим ориентированный граф

2

4 5

1 3

Рис. 16 В данном примере наборы вершин (1,2,3,1) образуют

контур. Заметим, что здесь вершина 5 – достигается из любой другой вершины, а из вершины 5 не достигается ни одна из остальных вершин.

5.8. Связность в графах.

Неорграф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Граф называется связным, если соответствующий ему неорграф является связным. В данном случае соответствующий неориентированный граф получается из исходного графа путём замены всех его дуг рёбрами. Граф называется сильно связным, если для каждой пары различных вершин u и v существуют маршруты (u,v) и (v,u). Из этого определения следует, что любой связный неорграф является также сильно связным. Понятия связности и сильной связности распространяются также и на мультиграфы.

Отметим, что граф в примере 1 является сильно связным, а в приме2 – не сильно связный граф.

53

Пример 3. На следующем рисунке показан несвязный

граф.

6

2

3 4

5 7

1

Рис. 17 Всякий максимальный по включению сильно связный

подграф данного графа называется его сильно связной компонентой, или сильной компонентой связности.

В примере 3 граф имеет две сильно связных компоненты.

Связность и матрица смежности графа.

Теорема 1. Любой граф представляется в виде объединения непересекающихся (сильно) связных компонент. Разложение графа на (сильно) связные компоненты определяется однозначно.

Таким образом, множество вершин связных компонент, а также сильных компонент образуют разбиение множества вершин графа, причем число с(G) связных компонент графа G определяется однозначно.

Теорема 2. Если A матрица смежности графа G, то (i, j) элемент матрицы Ak=A·A·A··…·A (k раз), есть число (vi, vj) маршрутов длины k.

Следствие 1. В графе G мощности n тогда и только тогда существует маршрут (vi, vj) , причем vi ≠vj , когда (i, j) – элемент матрицы A+A2+ A3+ A4+…+ An-1 не равен нулю.

Следствие 2. В графе G мощности n тогда и только тогда существует цикл, содержащий вершину vi когда (i, i) – элемент матрицы A+A2+ A3+ A4+…+ An-1+An не равен нулю.

54

Пример. При помощи матрицы смежности определим существование всевозможных (1, 3) - маршрутов в графе, изображенном на рисунке.

Eё элемент (1, 3)=1, т.е. существует ровно один (1, 3) - маршрут длины 3. Этот маршрут определяется набором вер-

шин (1, 4, 2, 3)

Эту последовательность вершин можно найти на основе перемножения матрицы смежности: Элемент (1, 3) матрицы A3 получается при перемножении элемента (1, 2) матрицы A2 на элемент (2, 3) матрицы A. В свою очередь элемент (1, 2) матрицы A2 образуется при перемножении элемента (1, 4) матрицы A на элемент (4, 2) матрицы A, т.е. следовательно, двигаясь от 1 к 3 за 3 шага, получаем маршрут

(1,4, 2, 3).

В матрице A3 элемент (4, 2) равен 3, это значит, что существуют три (4,2) маршрута длины 3 : (4, 1, 4, 2), (4, 2, 4, 2), (4, 2, 3, 2).

5.9. Матрица взаимодостижимости.

Образуем из матрицы E+ A+A2+…+ An=(bi, j) матрицу С порядка n по правилу:

Полученная матрица С называется матрицей связности, если G – неорграф и матрицей достижимости, если G – орграф.

Элемент этой матрицы сi, j=1 тогда и только тогда, когда в графе есть (vi, vj) – маршрут (i≠j).

Матрицей контрдостижимости называется матрица Q=(qi, j), элементы которой:

Отметим, что Q=CT. Матрицы достижимости и контрдостижимости используются для нахождения сильных компонент графа. Для этого используется матрица взаимодостижимости (сильных компонент) S C Q, где символ означает поэлементное произведение матрицС и Q, т.е. sij=cij·qij.

Элемент sij=1 тогда и только тогда, когда вершины vi и vjвзаимодостижимы. Это означает, что они находятся в одной сильной компоненте. Следовательно, сильная компонента, содержащая вершину vi, состоит из тех элементов vij, для которых sij=1.

Пример. Для графа, изображённого ниже, определим матрицы достижимости, контрдостижимости и взаимодостижимости

57

По второй строке матрицы S находим, что сильная компонента, содержащая вершину 2 состоит из вершин (1, 2, 3).

5.10. Деревья

Свободные деревья.

Деревом называется связный граф без циклов (конту-

ров).

Несвязный граф без циклов (контуров) называется лесом. Компоненты связности леса являются деревьями.

Подграф G1=(V1, E1) графа G=(V, E) называется остовным деревом в графе G=(V, E), если G1=(V1, E1) – дерево и V1=V.

Дерево – это минимальный связный граф, т.к. при удалении хотя бы одного ребра (дуги) он теряет связность. Неориентированное дерево называется свободным.

Например: 1) Диаграммы всех различных свободных деревьев с 5-ю вершинами:

58

Рис. 20 2) Диаграммы всех различных свободных деревьев с

6-ю вершинами:

Рис. 21

Лемма 1. Если граф G=(V, E)связный и ребро(u, v)содержится в некотором цикле графа G, то при удалении этого ребра получится новый связный граф.

Доказательство: При удалении ребра (u, v), вершины u и v останутся в одной и той же связной компоненте, т.к. они остаются связными за счет оставшейся части цикла.

Теорема 1. Любой связный граф содержит хотя бы одно остовное дерево.

Доказательство: Если в графе G нет циклов, то G является искомым остовным деревом, если в G есть цикл, то удалим из G какое-нибудь ребро, входящее в цикл. В результате этого получается некоторый подграф G1. По лемме 1 G1

– связный граф. Если в графе G1 нет циклов, то G1 есть искомое остовное дерево. В противном случае процесс продолжается. Этот процесс должен завершиться, т.к. Е – конечное множество.

59

Лемма 2. Если к связному графу добавить новое ребро на тех же вершинах, то в нём появится цикл.

Доказательство: Пусть G=(V, E) – связный граф. Пусть u V, v V, (u, v) E. Т.к. G – связный граф, то в нем есть цепь от v к u, при этом она является простой цепью соединяющей v и u. Поэтому во вновь полученном графе с добавленным ребром (u, v) имеется цикл C(u, v).

Лемма 3. Пусть в графе G=(V, E) имеется n вершин и m ребер. Тогда в G не менее n-m связных компонент. Если при этом в графе G нет циклов, то он состоит ровно из n-m связных компонент.

Доказательство: Пусть к некоторому графу H, содержащему вершины u и v добавляется ребро (u, v). Тогда, если u и v лежат в разных связных компонентах графа H, то число связных компонент уменьшается на единицу. Если u и v лежат в одной связной компоненте графа H, то число связных компонент не уменьшится. Таким образом, число связных компонент при добавлении ребра уменьшается не более чем на единицу. Значит, при добавлении m ребер, число связных компонент уменьшается не более чем на m. Т.к. граф G, можно получить из графа G1=(V,Ø), добавлением m ребер, то в графе G не менее n-m связных компонент. Пусть далее в графе G нет циклов, и пусть в процессе получения G из G1 добавляется ребро (u, v). Если бы u и v лежали в одной связной компоненте, то в G, согласно лемме 2, возникал бы цикл. Следовательно, u и v лежат в разных связных компонентах и при добавлении ребра (u, v) число связных компонент уменьшается ровно на 1. Следовательно, G состоит ровно из n-m компонент.

Теорема 2. О различных определениях свободного дерева. (Свойства свободных деревьев).

Следующие пять определений эквивалентны:

1)G – свободное дерево

2)G – без циклов и m=n-1

60